О понятиях площади и объёма

2

Обычно говорят, что площад $S(F)$ фигуры $F$ есть число, показывающее, из скольких единиц площад «составляется» эта фигура (за единицу площад берется квадрат, сторона которого равна единице длины). Однако такое наглядное погсение не может служить точным математическим определением понятия площад. Няясно, например, каким образом из единиц площад «составляется» круг заданного радиуса.

Один из способов уточнения понятия площад основывается на рассмотрении палетки — разбиения плоскости на конгрузные квадраты. Пусть сторона квадрата палетки имеет длину 1. На рисунке 1 фигура $F$ содержит фигуру, составленную из 9 квадратов палетки, и содержится в фигуре, составленной из 29 квадратов; поэтому $9 \leq S(F) \leq 29$. Для более точной оценки можно использовать палетку, квадраты которой имеют стороны длиной 1/10 (так что в каждой квадрате приходят палетки содержится 100 квадратов новой палетки). Если, скажем, $F$ содержит фигуру, составленную из 1716 квадратов новой палетки, и содержится в фигуре, составленной из 1925 таких квадратов, то $17,16 \leq S(F) \leq 19,25$. Еще раз измельчая палетку (т. е. уменшая в 10 раз длины сторона квадратов), мы сможем еще точнее оценить $S(F)$ и т. д.

Описанный процесс измерения используется не только для вычисления площади, но и для самого определенения понятия площад. Именно, рассмотрим палетку, у которой длины сторона квадратов равны $1/10^k$. Пусть $F$ содержит фигуру, составленную из $a_k$ квадратов этой палетки, и содержится в фигуре, составленной из $b_k$ таких квадратов (например, выше у нас $a_1 = 1716$, $b_1 = 1925$). Тогда можно сказать, что $\frac{a_k}{10^{2k}}$ есть значение площад фигуры $F$ с недостатком, а $\frac{b_k}{10^{2k}}$ с избытком.

Неограниченно увеличивая $k$, мы можем рассмотреть предыдую

$$S(F) = \lim_{k \to \infty} \frac{a_k}{10^{2k}}, \quad S(F) = \lim_{k \to \infty} \frac{b_k}{10^{2k}},$$

4

внутренних точек, то $S(F_1 \cup F_2) = S(F_1) + S(F_2)$;
($\gamma$ функция $S$ инвариантна относительной перемещений, т. е. если $F_1 \cong F_2$, то $S(F_1) = S(F_2)$;
($\delta$ единный квадрат имеет площадь 1.

После рассмотрения этих свойств наступает поворотный пункт в теории плошадей. Дело в том, что справедлива следующая теорема существования и единственности: на классе всех квадриумных фигур существуют, и при этом только одна, функция $S$, обладающая свойством $(\alpha), (\beta), (\gamma), (\delta)$. Теорема эта играет весна важную роль. Изложенное выше определение плошади (с помощью палеток) можно назвать конструктивным, поскольку плошадь определяется с помощью чего описанной конструкции (процесс измерения). Теперже можно дать другое описание понятия плошади; грубо говоря, площадь есть «то, что обладает свойством $(\alpha), (\beta), (\gamma), (\delta)$». В самом деле, согласно теореме существования и единственности, кроме плошади, нет никакой другой функции, обладающей указанным свойством. Более точно, мы можем теперь сказать, что площадь называется числовая функция, заданная на множество всех квадриумных фигур и удовлетворяющая условием $(\alpha), (\beta), (\gamma), (\delta)$. При таком подходе свойства $(\alpha), (\beta), (\gamma), (\delta)$ доказывается не нужно (они рассматривают как аксиомы плошади), а само определение становится аксиоматически, а не конструктивным, как прежде.

При аксиоматическом определении плошади палетки становятся неизжными $^*$), а все дальнейшие свойства плошадии выводятся из аксиом $(\alpha), (\beta), (\gamma), (\delta)$ как теоремы. Например, из аксиом можно вывести, что при $F \supset G$ справедливо неравенство $S(F) \geq S(G)$ (свойство мономонности плошади); что для любых квадриумных фигур $F_1, F_2$ справедливо соответствие $S(F_1 \cup F_2) = S(F_1) + S(F_2) - S(F_1 \cap F_2)$; что относение плошадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия и т. д.

Перейдем, наконец, к вопросу о вычислении плошадей. Самым простым методом вычисления плошадей, известным еще из глубокой древности, является метод разложения. Для уяснения этого метода рассмотрим фигуры $F$ и $H$, изображенные на рисунке 3. Пунктные линии разбиают эти фигуры на одинаковое число соответствующего конгруэнтных частей, т. е. фигуры $F$ и $H$ равно составлены. Вообщество две фигуры называются равносствальными, если, разрезав одну из них на конечное

Рис. 3.

число частей, можно (располагая эти части иначе, т. е. рассматривая фигуры, конгруэнтные этим частям) составить из них вторую фигуру.

Из аксиом $(\beta)$ и $(\gamma)$ непредставлено следует, что две равносствленные фигуры равновелики, т. е. имеют одинаковую плошадь. На этом и основан метод разложения: фигуру, площадь которого нужно вычислить, питания разбит на конечное число частей так, чтобы из этих частей можно было составить более простую фигуру (плошадь которой уже известна). Например, параллельграмма равносствлен с прямой угловиком, имеющим то же основание и ту же высоту (рис. 4), и потому, зная формулу площади прямой угловика, мы установливаем формулу площади параллельграмма. Треугольник равносствлен с параллельграммом, который имеет то же основание и вдвое меньшую высоту (рис. 5), и это позволяет вычислить площадь треугольника.

Умя вычисляется площадь треугольника, легко вычислить площадь

7

и для всех отрицательных $\Delta x$, если только $-\delta < \Delta x < 0$. Таким образом, при любом $\varepsilon > 0$ найдет такое $\delta > 0$, что при $0 < |\Delta x| < \delta$ выполняется неравенство (*). По определению предела это означает, что

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta S(x)}{\Delta x} = f(x),$$

т. е.

$$S'(x) = f(x).$$

Доказанное равенство позволяет вычислить площадь функции $F$. Пусть $\varphi$ — какая-нибудь первогообразная для функции $f$. Так как $S$ — также первогообразная для этой функции, то $\varphi$ и $S$ отличаются на константу, т. е. существует такое число $c$, что $\varphi(x) = S(x) + c$ для любого $x \in [a, b]$.

Следовательно,

$$\varphi(b) - \varphi(a) = (S(b) + c) - (S(a) + c) = S(b) - S(a) = S(F)$$

(поскольку $S(a) = 0$, а $S(b)$ есть площадь всей функции $F$). Итак, если $\varphi$ — какая-нибудь первогообразная для функции $f$, то разность $\varphi(b) - \varphi(a)$ равна площади функции $F$, т. е. $S(F) = \int_a^b f(x) dx$.

Если, например, $F$ представляет собой «криволинейный треугольник», ограниченный параболю $y = x^2$ и прямыми $y = 0$, $x = b$ (рис. 11), то прямая, которая проходит через точку $x$ отрезка $[0, b]$ и параллельна оси ordinат, высечает из этого «треугольника» $F$ отрезок длины $x^2$, т. е. в данном случае $f(x) = x^2$. Для функции $f(x) = x^2$ одной из первообразных является функция $\varphi(x) = \frac{1}{3} x^3$. Следовательно, площадь функции $F$ находится по формуле

$$S(F) = \varphi(b) - \varphi(0) = \frac{1}{3} b^3.$$

Заметим, что, вычитая из площади прямогоугольника $ABCD$ (рис. 12) удовлетворяют площадь «треугольника» $F$, мы получаем площадь сегмента парабола, которая, таким образом, оказывается равной $\frac{4}{3} b^3$. Как видите, с помощью первогообразной оцень просто получается тот результат, который Архимед выводил с помощью сложного расчёжения, основанного на использовании метода исчерпывания *). Сегодняшие школьники знают намного больше того, что было известно великом Архимеду!

Заканчивая рассказ о понятии площади, рассмотрим так называемый прицили Кавальери**). Пусть,

*) Подробно об этом см. в статье А.Д.Бен}дукидзе «Архимед и квадратура параболы« (Квант), 1971, № 7, с. 7).

**) Приципп Кавальери для площадей уже упоминался на страницах «Квант» — в статье С. Верова «Тайны циклопды» («Квант», 1975, № 8, с. 21) и в статье С. Пухова «Задача о выпуклых телах» («Квант», 1977, № 2, с. 30).

8

кроме $F$, имеется еще одна фигура $H$ (рис. 13), проекцией которого на основе слияния тот же отрезок $[a, b]$. Предположим, кроме того, что каждой пряма, параллельная оси ordinат, пересекает фигуры $F$ и $H$ по конгруентным отрезкам. Тогда площад фигуры $H$ выражается тем же интергралом, что и площад фигуры $F$, т. е. $S(H) = \int_{a}^{b} f(x) dx$, и потому $S(F) = S(H)$. Итак, если любая пряма, параллельная заданной фиксированной прямой (например, оси ordinат), пересекает фигуры $F$ и $H$ по конгруентным отрезкам, то фигуры $F$ и $H$ равновелики: $S(F) = S(H)$. Это и есть принципи Кавальери (для площадей). Мы вывели его с помощью формулы, выражающей площад фигуры через интерграл. Кавальери же высказал свой принцип (и применял его для вычисления площадей и объемов) еще до того, как в трудах Ньютона, Лейбница и других ученых

Рис. 13.

Рис. 14.

были введены понятия первого и интеграла.

На рисунке 14 показаны две фигуры, которые, в силу принципи Кавальери, являются равновеликами. Впрочем, равенство площадей этих фигур можно легко установить и методом разбиения (как?).

Понятие объема вводится аналогично понятию площади. При конструктивном определении расматриются кубиляжи (аналгори палеток), т. е. разбиения пространства на конгруентные кубы. Расмотрим кубиляж, у которого длина ребер кубов равна $1/10^k$. Пусть пространственная фигура $F$ содержит фигуру, составленную из $a_h$ кубов этого кубиляжа, и содержится в фигуре, составленной из $b_h$ таких кубов. Тогда $\frac{a_h}{10^{3k}}$ есть значение объема фигуры $F$ с недостатком, а $\frac{b_h}{10^{3k}}$ — с избытком. Если фигура $F$ такова, что предель

$$V(F) = \lim_{k \to \infty} \frac{a_k}{10^{3k}}, \quad V(F) = \lim_{k \to \infty} \frac{b_k}{10^{3k}}$$

совпадают, то фигура $F$ называется кубируемой, а число $V(F) = \overline{V}(F)$ называется объемом фигуры $F$ и обозначается через $V(F)$. Объем $V$ представляет собой функцию, заданную на классе всех кубируемых фигур и приннимающего числовые значения.

Как и площадь, объем может быть определен аксиоматически, причем аксиомы, на которых основывается понятие объема, совершено аналогичным аксиомам площади:

(α) функция $V$ неотрицательна, т. е. $V(F) \geq 0$ для любой кубируемой фигуры $F$;

(β) функция $V$ аддитивна, т. е. если $F_1$ и $F_2$ — кубируемые фигуры, не имеющие общих внутренних точек, то

$$V(F_1 \cup F_2) = V(F_1) + V(F_2);$$

(γ) функция $V$ инвариантна относительно перемещений, т. е. если $F_1 \cong F_2$, то $V(F_1) = V(F_2);$

(δ).edиничный куб (т. е. куб, ребро которого имеет длину 1) имеет объем 1.