Решения задач М396, М397, М400—М402; Ф407—Ф412

Квант 1977, №5 с. 22-29 Тег A9DT

Ф455. Потери мощности в линии электрон передачи составляют 5% от мощности, получаемой потребителем. Как нужно изменить напряжение на входе линии и сопротивление потребителя для того, чтобы при той же мощности, получаемой потребителем, потреби в линии сизить до 1%?

И. Слободецкий

Ф456. Какую минимальную скорость нужно сообщить на Земле космического кораблю для того, чтобы он попал на Солнце? Каким будет время полета корабля к Солнцу?

Ф457. Два плоских воздушных конденсатора с одинаковыми обкладками заряжены до одинаковых зарядов. Расстояние между обкладками у первого конденсатора вдвое больше, чем у второго. Как изменится энергия электронского поля системы, если второй конденсатор вставить между обкладками первого так, как показано на рисунке 7, а и б?

С. Козел

Решения задач

M396, M397, M400—M402*); Ф407—Ф412

М396. Треугольник, все стороны которого больше 1 см, называем «большим». Дан правильный треугольник ABC со стороны 5 см. Доказите, что: а) из треугольника ABC можно вырезать 1000 «больших» треугольников; б) треугольник ABC можно разрезать на 1000 «больших» треугольников; с) треугольник ABC можно разрезать его так, чтобы любые два треугольника либо не имели общих мочек, либо имели молко общую вершину, либо имели общую стороны; д) сделайте пункты б) и в) для правильного треугольника со стороны 3 см.

Мы решим пункты б) и в) задачи для треугольника со стороны 3 см (рис. 1). Пусть K и L — точки, делящие стороны AC на три равные части, P — середина стороны BC. Восстановим из точки K и L перепедикуляры KN и LM к стороне AC; пусть $N_1 = [AP] \cap [KN)$ , $M_1 = [CN_1] \cap [LM)$ , $N_2 = [AM_1] \cap [KN)$ , $M_2 = [CN_2] \cap [LM)$ , и т. д. Мы получаем разбиение треугольника на треугольники АBP, CPN $_1$ , AN $_1$ M $_1$ , CM $_1$ N $_2$ , AN $_2$ M $_2$ и т. д. Все эти треугольники — «большие» стороны каждого из них больше 1 см (|BP| = |CP| = 1,5 см, а остальные стороны больше 1 см, поскольку их проекции на AC не меньше 1 см). Из решения ясно, что вместе числа 1000 можно было бы написать любое другое сколью угоду большего число.

*) Решение задачи M398 будет помещено в следующем номере журнала; задача M399 решена в статье A. Савина «От школьной задачи — к проблеме» (см. «Квант», 1976, № 12).

Построение триангуляции треугольника $ABC$ на «большие» треугольники (пункт в) задачи основано на той же идее.

Пусть точки $K, L$ и $P$ — такие же, как и раньше, $KN$ и $LM$ — перпендикуляры к $AC$ , точка $N_1 = [AP] \cap [KN]$ .

Возьем на отрезке $KN_1$ точку $N_2$ и соединим ее с точками $A, P$ и $C$ (рис. 2). Обозначим через $M_1$ точку пересечения $[LM]$ с $[CN_2]$ : $M_1 = [CN_2] \cap [LM]$ . На отрезке $LM_1$ возьмем точку $M_2$ и соединим ее с точками $A, N_2$ и $C$ . Через $M_3$ обозначим точку пересечения $[KN]$ с $[AM_2]$ ; на отрезке $KM_3$ возьмем точку $M_4$ , соединним ее с точками $A, M_2$ и $C$ и т. д.

Продолжая этот процесс, мы получим (по той же причине, что и выше) исключую триангуляцию треугольника $ABC$ на «большие» треугольники $ABP, APN_2, CN_2P, AN_2M_2, CN_2M_2$ , … (число треугольников может быть сделано каким угодно).

С. Фомин

**M397. На плоскости данных три окружности одинакового радиуса. а) Доказите, что если они пересекаются в одной точке, как показано на рисунке 3, то сумма отмеченных дуг $AK, CK, EK$ равна $180^\circ$ . b) Доказите, что если они расположены так, как показано на рисунке 4, то сумма отмеченных dуг $AB, CD, EF$ равна $180^\circ$ .

Рис. 3.

Рис. 4.

**M400. Послеовательность намуральных чисел $a_1, a_2, \dots, a_k$ наовет универсальной для заданного $N$ , если все можно получить вычеркиванем частями членов любую последовательность из $N$ чисел, в котором каждое a) Выписав подряд $N$ групп вида 1, 2, …, $N$ , мы получим универсальной последовательность длины $N^2$ . b) Вот пример $N$ -универсальной последовательности длины $N^2 - N + 1$ . Выпишем подряд $N - 1$ группу чисел 1, 2, …, $N$ и в конце пример число 1. Доказем, что эта последовательность действительное $N$ -универсной.

дое из чисел 1, 2, …, N входит по одному разу.
a) Приведите пример универсальной последовательности из $N^2-N+1$ членов.
b) Докажите, что любая универсальная последовательность состоит не менее чем из $\frac{N(N+1)}{2}$ членов.
c) Докажите, что при $N=4$ сама коротка универсальной последовательности состоит из 12 членов.
d) Попробуйте найти длину данного $N$ как можно более коротку универсальной последовательности.

Пусть $q = (b_1, b_2, \dots, b_N)$ — произвольная перестановка чисел 1, 2, …, $N$ . Если эта перестановка вида $q = (N, N-1, \dots, 1)$ , то вычеркием в нашей последовательности в первой группе все числа, кроме $N$ , во второй — все числа, кроме $N-1$ , и т. д. Если же $q$ не такого вида, то для некоторого $k$ будем иметь: $b_k < b_{k+1}$ . В этом случае, если $i < k$ , то вычеркием в $i$ -й группе нашей последовательности все числа, кроме $b_i$ ; в $k$ -й группе вычеркием все числа, кроме $b_k$ и $b_{k+1}$ , а если $j > k$ , то вычеркием в $j$ -й группе все числа, кроме $b_j+1$ . И, наконец, вычеркием самое последнее число 1, — получим перестановку $q = (b_1, b_2, \dots, b_N)$ .

Для решения пункту д) нам понадобится некоторое обобщение этой конструкции*. А именно: пусть $1 \leq k \leq N$ . Выпишем подряд $k-1$ группу чисел 1, 2, …, $N$ , а за ним укороченную $k$ -ю группу вида 1, 2, …, $N-k+1$ (например, при $N=5$ , $k=3$ получим 1234512345123); получим последовательность длины $kN-k+1$ . Совершенно аналогично доказывается, что из этой последовательности вычеркииваем части членов можно получить любую последовательность длины $k$ , в которой встречются числа 1, 2, …, $N$ — каждое не более одного раза. Такое свойство мы будем называть $(N, k)$ -унверсальностью.

Построим теперь $N$ -унверсальную последовательность длины $N^2-2N+4$ (это является уличшением предыдущей оценки, начиная с $N=4$ ). Выпишем подряд $N-2$ группы чисел 1, 2, …, $N-1$ . За ним написем укороченную $(N-1)$ -ю группу, состоящую всего из двух чисел: 1 и 2. Затем вставим в эту последовательность $N$ экземпляров числа $N$ по следующему правилау: первый экземпляр написем в самом начале, второй — в первой группе, после первого входения числа $N-1$ , третьий экземпляр — во второй группе, после второго входения в нашу последовательность числа $N-2$ и т. д. Послений, $N$ -й экземпляр числа $N$ вставим в последнюю укороченную группу после последнего входения числа 1 (например, при $N=5$ получим последовательность 5123451235412534152). Получим последовательность длины $(N-1)(N-2)+2+N=N^2-2N+4$ ; обозначим ее через $P$ . Докажем, что последовательность $P$ является $N$ -унверсальной. В самом деле, пусть $q$ — произвольная перестановка чисел 1, 2, …, $N$ , и пусть число $N$ встречается в последовательности $q$ на $k$ -м месте. Число $N$ разбивает последовательность $q$ на две части: левую — длины $k-1$ и правую — длины $N-k$ . Нам нужно из $P$ вычернуть часть членов так, чтобы получилась последовательность $q$ . Вычеркием сначала все экземпляры числа $N$ , кроме $k$ -го. Слева от невычернутього $N$ остается, очевидно, $(N-1, k-1)$ -унверсальная последовательность, из которой вычеркииваем можно получить последовательности $q$ , стоящую от $N$ справа. Значит, построенная последовательность $P$ (длины $N^2-2N+4$ ) действительно $N$ -унверсальна.

Перейдем теперь к оценкам сизу. Мы решим одновременно пункты в) и г), доказав более сильное утверждение и е: при $N \geq 2$ длина любой $N$ -унверсальной последовательности не меньше $\frac{N^2+3N-4}{2} = \frac{N(N+1)}{2} + N-2$ .

*) Изящное решение задачи d) присладачили А. Касчинук из Николаева и А. Мошонкин из Ленинграда.

Прежде всего заметим, что если число $N$ впервые встреется в $N$ -унверсальной последовательности $P$ на $k$ -м месте, то часть $P$ , расположенная справа от этого $N$ , образует $(N-1)$ унверсальной последовательность, так как для получения любой перестановки чисел 1, 2, …, $N$ , начнашося с числа $N$ , нужно вычернуть из $P$ все числа с номерами до $k-1$ -го включительно.

Будем доказывать утверждение по индуцини. При $N=2$ оно легко проверяется. Пусть оно верно при $N=M$ , и пусть $P=(a_1, \dots, a_L)$ — произвольная $(M+1)$ -унверсальная последовательность. Если какое-то число встреется в $P$ только один раз, то, изменив в случае необходимости обозначения, можно считать, что это число есть $M+1$ , и тем самым справа и слева от него стоит $M$ -унверсальные последовательности; дляна каждой из них по индуционному предположению не менее $\frac{M^2+3M-4}{2} (M \geq 3)$ . Тогда $(\Delta \text{лина } P) \geq 1+2\left(\frac{M^2+3M-4}{2}\right) \geq \frac{(M+1)^2+3(M+1)-4}{2}$ , что дает доказательство шага индуцини. Итак, можно считать, что каждое число в $P$ встреется не менее двух раз. Пусть $k$ — наименьший номер такой, что среди чисел $a_1, a_2, \dots, a_k$ встреется все числа 1, 2, …, $M+1$ . Изменив, если потребуется, обозначения, можно считать, что $a_k=M+1$ . Тогда очевидно, что $k$ есть номер первого входения числа $M+1$ в последовательность $P$ . Слева от него стоит числа от 1 до $M$ — всего не менее $M$ штук. Кроме того, в $P$ найдется по крайней мере два числа $M+1$ , а если все их выбросить, то справа от $a_k$ останется $M$ -унверсальной последовательностью, дляна которой по индуционному предположению не менее, чем $(M^2+3M-4)/2$ . Отсюда общая длина $P$ не менее $\frac{M^2+3M-4}{2} + M+2 = \frac{(M+1)^2+3(M+1)-4}{2}$ . Утверждение доказано. Применя его в случае $N=4$ , получим доказательство пункт г) (унверсальный последовательность из 12 членов постройте теперь легко; например, 123412314213).

Д. Берништейн

M401. Внутри остроугольного треугольника ABC дана точка $P$ makая, что $\widehat{APB} = \widehat{ABC} + 60^\circ, \widehat{BPC} = \widehat{BAC} + 60^\circ, \widehat{CPA} = \widehat{CBA} + 60^\circ$ . Докажите, что точки пересечения продолжений отрезков $AP, BP, CP$ (за точку $P$ ) с окружностью, описанной вокруг $\triangle ABC$ , лежат в вершинах равностороннего треугольника.

M402. Докажите, что не существует строю возрастицей последовательности целых неотрицательных чисел $a_1, a_2, a_3, \dots$ , для которых при любых $n$ и $m$ выполняется соответствие $a_{nm} = a_n + a_m$ .

Обозначим точки пересечения продолжений отрезков $AP, BP, CP$ с окружностью, описанной вокруг треугольника $ABC$ , через $A', B'$ и $C'$ соответственно (см. рис. 5). Величина угла с вершиной внутри круга равна получиме угловых величины двух других из которых одна заключина между сторонами этого угла, а другая — между продолжениями сторона; а величина вписаного угла равна половине угловой величины других, на которой он опирается. Позмоту $\widehat{APC} = \frac{1}{2}(AB'C + A'BC') = \widehat{ABC} + A'B'C'$ ; но по условию $\widehat{APC} = \widehat{ABC} + 60^\circ$ , открываем $\widehat{A'B'C'} = 60^\circ$ .

Аналогично доказывается, что и $\widehat{A'C'B'} = C' \widehat{A'B'} = 60^\circ$ . А. Ягуььяч

Первое решение. Заметим, что $a_{22} = a_2 + a_2 = 2a_2, a_{23} = a_{22} = 2a_2 + a_2 = 3a_2$ , и вообще $a_{2n} = na_2$ для любого $n$ . Возьмем часть последовательности $a_1, a_2, a_3, \dots, a_{2n}$ . Если последовательность строю возрастицей, то, поскольку числа и неотрицательные, $a_{2n} \geq 2^n$ . С другой стороны, $a_{2n} = na_2$ . Значит, если такая последовательность $a_1, \dots, a_n$ ,..

существует, то для любого $n$ должно выполняться неравенство $2^n \leq n a_2$ . Доказем, что это невозможно; именно, показем, что отношение $\frac{2^n}{n}$ стремится к бесконечности с ростом $n$ .

Обозначим отношение $\frac{2^n}{n}$ через $b_n$ и рассмотрим отношение $b_{n+1}: b_n$ :

$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2^{n+1}}{n+1}: \frac{2^n}{n} = 2 \cdot \frac{n}{n+1} = 2 \left(1 - \frac{1}{n+1}\right) \geq \frac{4}{3},$

если $n \geq 2$ . Из этого следует, что $\frac{b_n}{b_2} \geq \left(\frac{4}{3}\right)^{n-2}$ , т. е.

$b_n = \frac{2^n}{n} \geq 2 \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^{n-2} > \left(\frac{4}{3}\right)^{n-2}.$

Очевидно, что $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{4}{3}\right)^{n-2} = \infty$ , следовательно, $\lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{n} = \infty$ .

Значит, строго возрастишей последовательности $a_1, \dots, a_n, \dots$ , о котором говорится в условиям, быть не может.

Второе решение. Предположим, что такая последовательность существует. Пусть $n$ — натуральное число, большее, чем $a_2$ . Тогда $a_{2n} = a_n + a_2 < a_n + n$ ; значит, натуральные числа $a_{n+1}, a_{n+2}, \dots, a_{2n}$ лежат в промежутке $[a_n+1, a_n+n-1]$ и различны, чего не может быть, так как в этом промежутке всего $n-1$ целое число.

С. Фомин

Ф407. Машинистм пассажирского поезда, движение со скоростью $v_1 = 108$ км/час, замемил на расстоянии $s_0 = 180$ м впереди движущемся в ту же сторону со скоростью $v_2 = 32,4$ км/час movарный поезд. Машинистм сразу включил мороз, блаодарчему пассажирскому поезд начал движаться с ускорением $a = -1,2$ м/ сек $^2$ . Достаточно ли это ускорения для мого, чтобы поезда не столкнулись?

Ф408. Из сопротивления в 1, 2, 3 и 4ом собрана схема, показанная на рисунке 7. Какой ток quem через амperметр $A_2$ , если ток quem амperметр $A_1$ 5а? Показанная волтметра 10 в. Измерительные приборы идеальны.

Нарисуем графики зависимости координат поездов от времени. За начало отсчета выберем точку, в которой началось торможение пассажирского поезда, а за направление оси координат примем направление скоростей поездов. В такой системе координаты поездов в момент времени $t$ равны

$x_{\text{пас}} = v_1 t + \frac{at^2}{2},$

$x_{\text{TОВ}} = v_2 t + s_0,$

где $v_1 = 108$ км/час = 30 м/ сек, $v_2 = 32,4$ км/час = 9 м/ сек.

Из графиков (рис. 6) видно, что в момент времени $t'$ и $t''$ координаты поездов равны. Это означает, что в момент $t'$ и $t''$ произойдет стольновое поезд. Найдем значения $t'$ и $t''$ из ускорения $x_{\text{пас}} = x_{\text{TОВ}}$ :

$30t - 0,6t^2 = 9t + 180,$

или $t^2 - 35t + 300 = 0$ , откуда $t' = 15$ сек, $t'' = 20$ сек.

координаты поездов в момент $t = t'$ равны $x_{\text{пас}} = x_{\text{TОВ}} = 315$ м.

Согласно показанным волтметра и амperметра $A_1$ , сопротивление всей изображенной на рисунке 7 цепи $R = \frac{U}{I} = 2$ ом.

Найдем, каковы при этом сопротивления $R_1, R_2, R_3$ и $R_4$ . Так как амperметр $A_2$ идеальный, его сопротивление можно считать равным нулю, и точки $a$ и $b$ при расчете сопротивления можно считать соединиными друг с другом накоротко. Положим $R_1 = 1$ ом. Тогда простым перебором убеждаемся в том, что $R_2 = 4$ ом, а для сопротивления $R_3$ и $R_4$ возможны два варианта: или $R_3 = 2$ ом и $R_4 = 3$ ом, или $R_3 = 3$ ом и $R_4 = 2$ ом.

Рассмотрим точку разветвления цепи, например, точку $a$ . Алгебраическая сумма токов, схождения в этой точке, равна нулю:

$I_1 - I_3 - I_5 = 0.$ (*)

Следовательно, чтобы определить ток $I_5$ , текущий через амperметр $A_2$ , достаточно знать $I_1$ и $I_3$ . Найдем их.

Токи $I_1$ и $I_2$ , текущие по сопротивлениям $R_1$ и $R_2$ , обратно пропорциональны значениям этих сопротивлений:

$\frac{I_1}{I_2} = \frac{R_2}{R_1} = \frac{4}{1}.$

В то же время

$I_1 + I_2 = I = 5a.$

Отсюда

$I_1 = 4a.$

Аналогично можно записать соответствующие выражения для токов $I_3$ и $I_4$ :

$\frac{I_3}{I_4} = \frac{R_4}{R_3}$
$I_3 + I_4 = I.$

Если $R_3 = 2$ ом и $R_4 = 3$ ом, то

$\frac{I_3}{I_4} = \frac{3}{2}$
$I_3 + I_4 = I = 5a,$

откуда

$I_3 = 3a.$

Тогда из равенства (*)

$I_5 = I_1 - I_3 = 1a.$

Если же $R_3 = 3$ ом и $R_4 = 2$ ом, то

$I_3 = 2a,$
$I_5 = 2a.$

Таким образом, возможно два значения для тока, текущого через амператор $A_2$ .

Н. Слободецкий

Ф410 *). В электроновакуумном приборе чистый волфрамовый камод находится в большой колбе, содержащей остатки кислорода при давлении $p = 10^{-7}$ атом и температуре $T = 300^\circ\text{K}$ . Считая, что каждая молекula, попавшая на камод, прилапает к нему, оценить время образования монолекулярного слоя. Молеклы можно считать шариками диаметром $d \approx 3 \cdot 10^{-8}$ см.

Найдем среднее число молекул $z$ , которые за время $t = 1$ сек оседают на единице площади поверхности катода. Для оценки воспользования прошеной моделью газа, согласно которой все молекулы в состоянии двигаются по тем взамимо перпендикулярным направлениям (в обе стороны по каждой направлению) со средней квадратичной скоростью $\bar{v}$ . Пусть среднее число молекул в единице объема (концентрация молекул) равно $n$ . Из общего числа молекул в стороны катода двигается $1/6$ часть. Единичная площадка катода за время $t$ совершает все молекулы, оказывается в столбце единчного сечения и высоты $\bar{v}$ . Отсюда

$z = \frac{n}{6} \bar{v}.$

Более точное выражение, учитывающее движение молекул по всевозможным направлениям и с разными по абсолотной величины скоростями, имеет вид $z = \frac{n}{4} \bar{v}$ . Это различие в числовом коэффициенте несущественно, поскольку по условиям задачи мы должны дать лишь приближенную оценку результат по порядку величины.

Средняя квадратиная скорость молекул

$\bar{v} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$

где $k = 1,38 \cdot 10^{-23}$ дж/град — постоянная Больцмана, $T = 300^\circ\text{K}$ — абсолотная температура газа, $m = \frac{\mu}{N_A} = 5,3 \cdot 10^{-26}$ ке — масса молекул кислорода. Концентрацию молекул можно выразить через давление газа и его температуру:

$n = \frac{p}{kT}.$

Подстановка числовых значений в выражении для $\bar{v}$ и $n$ дает $\bar{v} \approx 5 \cdot 10^2$ м/сек, $n \approx 2,5 \cdot 10^{18}$ м $^{-3}$ .

Таким образом,

$z = \frac{n}{6} v \approx 2 \cdot 10^{20} \text{ m}^{-2} \cdot \text{cek}^{-1}.$

Число молекул $z_0$ в мономолекулярном слое, покрывающем площадь в $1\text{ m}^2$ , можно оценить по формуле

$z_0 \approx \frac{1}{d^2} \approx 10^{19} \text{ m}^{-2}.$

Для осаждания такого количества молекул необходимо время

$\tau = \frac{z_0}{2} \approx 5 \cdot 10^{-2} \text{ сек}.$

Приведенные выше оценки являются достаточно грубыми. Мы не учитывали, например, возможность более плотной упаковки молекул или неравномерного образования слоев. Для вычисления $z$ была использована упрощенная модель газа. Поэтому полученный результат верен только по порядку величины. Оценки такого рода в реализации физических задачах играют важную роль, поскольку они позволяют ориентироваться в масштаб изучаемого явления.

С. Козел

Ф411. Оdnим U-образным рутным манометром можно измерить давление до 1 атm. Какое наиболее давление можно измерить, если соединить последовательно два таких манометра короткой прубкой?

Рис. 8.

Рис. 9.

U-образный рутный манометр (рис. 8) изменяет избыточное давление $\Delta p$ , т. е. показывает, на сколько давление $p$ в левом колене манометра больше атмосферного давления $p_0$ . Ограничение на изменяемое давление накладывается длиной трубок манометра: нельзя изменить избыточное давление больше такого, при котором ртуть доходит до края правого колена. Иначе манометр выйдет из строя. Отсюда ясно, что

$\Delta p = p - p_0 = \rho |\vec{g}| H = 1 \text{ атm}.$

Пусть атмосферное давление тоже равно 1 атm. Тогда

$\rho |\vec{g}| H = p_0.$

При последовательном соедининии двух манометров (рис. 9) давление $p_1$ в левом колене манометра 1 будет больше давления $p$ в случae одного манометра. В самом деле, давление $p_2$ в левом колене манометра 2 не равно атмосферному, а больше его на величины давления столбца ртути высотой $h$ . Таким образом,

$p_1 = \rho |\vec{g}| H + p_2 = p_0 + p_2,$

$p_2 = p_0 + \rho |\vec{g}| h.$

С другой стороны, $p_2$ — это давление скатого воздуха, занимающего объем $S (H/2 + h/2)$ (S — площадь сечения трубок). Первоначально этот воздух занимает объем $SH/2$ в правом колене манометра 1 и такой же объем в левом колене манометра 2. Давление воздуха было равно $p_0$ . Полягая скатие воздуха изготовлением, запишем такое соответствие:

$\frac{p_2}{p_0} = \frac{2S H/2}{S (H/2 + h/2)},$

откуда

$p_2 = 2p_0 \frac{H}{H + h}.$

Умножим числитель и знаменатель в правой части этого равенства на $\rho |\vec{g}|$ :

$p_2 = 2p_0 \frac{\rho |\vec{g}| H}{\rho |\vec{g}| H + \rho |\vec{g}| h} = 2 \frac{p_0^2}{p_0 + \rho |\vec{g}| h}.$

Из равенств (2) и (3) получаем

$p_2^2 = 2p_0^2,$

или $p_2 = \sqrt{2}p_0$ .

Тогда из равенства (1)

$p_1 = (1 + \sqrt{2})p_0 \approx 2.4 \text{ amm},$

т. е. давление $p_1$ может превышать атмосферное давление на величины

$\Delta p_1 = p_1 - p_0 \approx 1.4 \text{ amm}.$

И. Слободецкий

Ф412. Учитель, отвернуть шись к доске, следим за классом по отражениям в стеклах очков. При этом он видит два отражения ученика, сидящое от него в 5 м: одно на расстоянии 5 м, другое — на расстоянии $5/7$ м. Повернуть шись лицом к классу, он через очки видит изобравжение много же ученика на расстоянии 2,5 м. Определить показатель предолления этmekла, из которого изготовлены линии очков.

Показатель предолления стека $n$ можно найти из формулы для оптической силы линии

$D = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right),$

(1)

если знать оптическую силу $D$ линии и радиусы $R_1$ и $R_2$ ее сферических поверхностей.

Рассмотрим, как получаются изобравжение ученика, когда учитель следит за ним, отвернуть шись к доске. Однако изобравжение образовано лучами, отраженными от передней (ближайшей к глазу) поверхности очковых линии. Другое создают лучи, прошедшие линии, отразившие от ее задней поверхности и вновь прошедшие линии.

По условию задчи расстояние до одного из этих изобравжения равно расстоянию до ученика: $f_1 = d = 5 \text{ m}$ . Это характерное, прежде всего, для плоского зеркала (рис. 10). Поэтому естественно предположить, что передняя поверхность и вновь прошедшие линии плоская, и

$\frac{1}{R_1} = 0.$

Изобравжение, находящемся на расстоянии $f_2 = 5/7 \text{ m}$ , создано оптической системой линии — зеркало — линии. Эту систему можно заменить одной эквивалентной линии. Ее оптическая сила равна алгебраической сумме оптических сил элементов системы:

$D + \frac{2}{R_2} + D = 2D + \frac{2}{R_2}.$

Тогда по формуле линии

$\frac{1}{d} - \frac{1}{f_2} = 2D + \frac{2}{R_2}.$

(2)

Знак «минус» перед величины $1/f_2$ стоит потому, что изобравжение минимое.

Когда учитель смотрит на ученика через очки, он видит его минимое изобравжение на расстоянии $f_3 = 2,5 \text{ m}$ (рис. 11). Для этого случая формула линии записется так:

$\frac{1}{d} - \frac{1}{f_3} = D.$

(3)

Из равенств (2) и (3)

$D = -\frac{1}{5} \partial n m p$ и $\frac{1}{R_2} = -\frac{2}{5} \frac{1}{m}.$

Как и следовало ожидать, мы получили, что зеркало выпуклое, а линии, соответствующей, плоско-вогнутая.

Подставляя значения $D, 1/R_1$ и $1/R_2$ в формулу (1), найдем

$n = 1,5.$

Если предположить, что после отражения от передней поверхности линии изобравжение оказывается на расстоянии $5/7 \text{ m}$ , и проведи соответствующие вычисления, то приdem к непомогу результату $n = 0,75$ . Убедитесь в этом самостояльно.

В. Белонучкин