Carl Friedrich Gauss

Kvant 1977, số 8 tr. 2, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 13, 14 Thẻ SB06

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

S. Gindikin

Carl Friedrich Gauss
(K kỷ niệm 200 năm ngày sinh)

Năm 1854, sức khỏe của Ủy viên Hội đồng Cơ mật Gauss, như các đồng nghiệp của ông tại Đại học Göttingen gọi ông, rõ ràng là xấu đi. Không thể nghi ngờ gì về những chuyến đi bộ hàng ngày từ Đài thiên văn đến Bảo tàng Văn học kéo dài suốt hai mươi năm. Vị giáo sư đã gần tám mươi tuổi được thuyết phục đi khám bác sĩ! Vào mùa hè, ông cảm thấy dễ chịu hơn và thậm chí còn bắt đầu mở tuyến đường sắt Hanover-Göttingen. Vào tháng 1 năm 1855, Gauss đồng ý làm mẫu cho nghệ sĩ Hesemann chụp ảnh.

khoa học yêu thích
sự vĩ đại của các nhà toán học

Đây là một trong nhiều tính từ mà Gauss đưa ra cho lý luận (lý thuyết số). Vào thời điểm đó, những lập luận từ một tập hợp các quan sát và tuyên bố riêng biệt đã trở thành khoa học.

Gauss sau này viết: “Chủ yếu là nhờ các nhà nghiên cứu sau này, phải thừa nhận là số lượng ít, nhưng đã giành được danh tiếng lâu dài, chẳng hạn như Fermat, Euler, Laherange, Legendre, mà chúng ta nợ họ một sự thật là họ đã tìm ra cách tiếp cận kho tàng khoa học đóng hộp này và cho thấy nó chứa đựng sự phong phú biết bao.” Nhưng cậu bé đến từ Brunswick vẫn chưa biết tất cả những điều này, cậu bé với tốc độ đáng kinh ngạc đã khám phá lại điều mà những người tiền nhiệm vĩ đại của cậu phải mất nhiều năm mới đạt được. Dưới đây là một số chủ đề khiến anh ấy bận tâm.

Gauss đã sớm nhận thấy rằng số dư khi chia bình phương của số nguyên cho số nguyên tố $p$ không thể tùy ý. Ví dụ: khi chia cho 3, số dư có thể là 0 hoặc 1; khi chia cho 5 - 0,1 hoặc 4. Nhưng bạn có thể nhìn tình huống từ phía bên kia: $p$ có những số $n^2$ nào mà khi chia cho $p$ thì cho số dư $q$ ? Với $q=1$ bất kỳ $p(n=p+1)$ nào cũng phù hợp, nhưng phần còn lại $p-1$ là $p$ đối với một số người, nhưng không phải đối với một số người: đối với $p=3$ không có số dư 2 khi chia hình vuông, nhưng đối với $p=5$ số dư 4 là $(n=3)$ , đối với $p=7, 11, 19$ không có số dư $p-1$ không tồn tại, nhưng với $p=13, 17$ thì có. Một giả thuyết được đặt ra: nếu $p=4k-1$ , thì không có $n^2$ khi chia cho $p$ cho số dư $p-1$ , nhưng đối với $p=4k+1$ thì có thể chỉ ra $n^2$ như vậy. Gauss không biết rằng Fermat đã đưa ra giả thuyết này trước ông và nó đã được Euler thiết lập một cách đúng đắn.

“Tôi vô tình bắt gặp một sự thật có tính tranh luận đáng kinh ngạc, và vì đối với tôi, nó không chỉ có vẻ hoàn hảo mà còn cho tôi ý tưởng rằng nó được kết nối với các kiểu nói sự thật khác bằng sự thật, tôi đã xem xét nó bằng tất cả sức lực của mình để tìm ra lý do mà nó dựa vào và xây dựng bằng chứng cho nó. Sau khi mong muốn này cuối cùng đã thành hiện thực, việc theo đuổi những nghiên cứu này khiến tôi mỉm cười nhiều đến mức không muốn rời xa chúng nữa.”

Gauss quan tâm đến việc $p$ số $n^2$ có thể cho số dư $q=2$ , 3, v.v. Với $q=2$ ông đồng ý rằng toàn bộ điểm nằm ở phần dư của phép chia $p$ cho 8 (Euler không thể chứng minh điều này, nhưng Lagrange đã chứng minh điều đó), với $q=3$ mọi thứ được xác định bởi phần còn lại của phép chia $p$ cho 12. Tuyên bố chung là tất cả các số nguyên tố $p$ có cùng số dư khi chia cho $4q$ có thể đồng thời cho số dư $q$ khi chia một số $n^2$ cho $p$ hoặc không thể. Gauss gọi phát biểu này là “định lý vàng”; Ngày nay nó thường được gọi là luật bình phương có đi có lại *). Định lý Vàng không ủng hộ Gauss trẻ tuổi. “Định lý này đã dày vò tôi suốt một năm trời và không hề khuất phục trước những nỗ lực của anh ấy”. Nhưng đây chính là lúc ông “bắt kịp” nền toán học mà ông đã hoàn thiện: số lượng các nhà toán học lớn cố gắng chứng minh định luật tương hỗ bậc hai là không thuyết phục.

Đây là một chủ đề khác trong suy nghĩ của Gauss. Little Gauss hài lòng rằng nếu bạn chia 1 cho $p$ , thì sau một thời gian, các chữ số thập phân bắt đầu lặp lại - bạn sẽ nhận được một phân số thập phân tuần hoàn vô hạn. Chứng minh tính tuần hoàn không khó, nhưng làm sao tính được độ dài của chu kỳ? Gauss không vội đưa ra kết luận, liệt kê các số nguyên tố liên tiếp, không lười viết chính xác các dấu chấm. Đây có vẻ là một nhiệm vụ nhàm chán (ví dụ, trong 97, dấu chấm có 96 dấu), nhưng Gauss đã trải qua tất cả $p<1000$ . Ông đã chứng minh rằng độ dài của một khoảng thời gian luôn là ước số của số $p-1$ . (Điều này dễ dàng được rút ra từ Định lý nhỏ của Fermat**, mà Gauss đã bác bỏ.) Gauss quan tâm đến những $p$ mà chu kỳ của chúng chính xác bằng $p-1$ . Để làm được điều này, chỉ cần trong số các số dư khi chia cho $p$ của các số $10, 10^2, \dots, 10^{p-1}$ có tất cả các số dư khác 0 là đủ. Cho đến ngày nay, số lượng $p$ như vậy là vô hạn hay hữu hạn.

*) Xem bài “Định lý vàng” («Kvant», 1973, số 1).
**) Xem bài “Định lý nhỏ Fermat” («Kvant», 1972, số 10).

Gauss nhận thấy rằng khi chia các số 3, 9, 27, …, 3 $^{16}$ cho 17, tất cả các số dư phi chính trị có thể tìm được: 1, 2, …, 16. Quan sát này chỉ dẫn đến khám phá vĩ đại đầu tiên của Gauss - việc xây dựng một 17-giác thông thường *).

Gauss biết rằng với la bàn và thước kẻ, người ta có thể tạo ra các $n$ -giác thông thường (hoặc, tương tự, chia một vòng tròn thành $n$ các phần bằng nhau) cho $n = 3, 4, 5$ . Tất nhiên, anh ấy hiểu rằng việc xây dựng như vậy cũng có thể thực hiện được đối với $n = 2^k, 2^k \cdot 3, 2^k \cdot 5, 15\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{2}{15}\right)$ . Rõ ràng, Gauss biết rằng người xưa không thể hoàn thành việc xây dựng bất kỳ $n$ nào khác.

Thời đại mới đã mang lại cơ hội dịch cấu trúc bài toán của $n$ -giác thông thường sang ngôn ngữ đại số. Khả năng dựng một đa giác như vậy bằng compa và thước thẳng phụ thuộc vào việc biểu diễn các nghiệm ) của phương trình $z^n - 1 = 0$ hoặc (nếu chúng ta loại bỏ nghiệm $z = 1$ ) $z^{n-1} + z^{n-2} + \dots + z + 1 = 0$ ở dạng số vô tỉ bình phương (tức là biểu diễn chúng thông qua các số hữu tỉ bằng cách sử dụng các phép tính số học và trích ra căn bậc hai).

Sự quy giản này giúp có thể xem xét thống nhất các trường hợp mà người xưa có sẵn, trong khi bản thân người xưa lại tìm kiếm một phương pháp đặc biệt cho từng trường hợp.

Gauss nghĩ về các phương trình chia (đó là tên của phương trình trên), đồng thời nghĩ về tính chia hết của các số. Vào ngày 30 tháng 3 năm 1796, do sự bất ngờ thúc đẩy, ông đã nhìn thấy mối liên hệ giữa những nhiệm vụ này.

Hãy để $n = 17$ . Nếu $\varepsilon$ là nghiệm của phương trình $z^{16} + z^{15} + \dots + z + 1 = 0$ thì $\varepsilon^2, \varepsilon^3, \dots, \varepsilon^{16}$ là các nghiệm khác của phương trình đó. Gauss

*) Xem bài “Sự ra mắt của Gauss” («Kvant», 1972, số 1).

**) Ở đây và bên dưới chúng ta đang nói về số phức - sự phân bố của một tập hợp số thực, được đưa vào sao cho phương trình bậc hai có nghiệm. Bạn có thể đọc về số phức, chẳng hạn như trong cuốn sách của P. Kurat và G. Robbins “Toán học là gì?” (M., nhà xuất bản “Prosveshcheniye”, 1967).

Do đó Gauss đã có thể tiến tới bài toán, trong đó chưa có gì mới được thực hiện kể từ thời Euclid. Sự đơn giản của cách diễn đạt khiến người ta có thể đưa tin về phát hiện này trên báo.

Gauss sau đó đã giải được bài toán chia đường tròn một cách hoàn toàn. Bài toán rút gọn về trường hợp số nguyên tố $n$ có dạng $2^{2k} + 1$ (đây gọi là số nguyên tố Fermat), việc xây dựng theo sơ đồ tương tự như đối với $n = 17$ . $n$ tiếp theo của loại này bằng 257. Có bằng chứng cho thấy Gauss cũng không quá lười để thực hiện các công trình xây dựng cho trường hợp này. Đối với $n$ đơn giản không có dạng này, việc xây dựng, như Gauss đã chứng minh (nhưng không công bố), là không thể (một phần, đối với $n = 7, 11$ ).

Bây giờ số phận của Gauss đã được định đoạt: không còn ai nói đến ngữ văn nữa. Anh ấy sẽ là một nhà toán học! Trong những năm cuối đời, Gauss nhớ lại những ý tưởng đang sôi sục trong đầu ông vào thời điểm đó như thế nào. Anh ấy đã cố gắng ghi chép sơ sài về những gì anh ấy đang làm. Gauss bắt đầu viết nhật ký. Mục đầu tiên ghi ngày 30 tháng 3 năm 1796. Nó đề cập đến việc xây dựng một 17-giác thông thường. Tờ thứ hai (ngày 8 tháng 4) chỉ ra rằng ông đã chứng minh được định luật bình phương có đi có lại. Từ cuốn nhật ký, chúng ta biết được rằng nhà toán học vĩ đại vẫn tiếp tục nghiên cứu, chính xác là thông qua hoạt động của một bài tập “học sinh”.

Năm 1798, Gauss tốt nghiệp đại học và đến quê hương Braunschweig để ghi lại

Đại học Göttingen (Graviopa hiện đại).

kết quả trong lý thuyết số. Công việc này mất bốn năm tận tâm. Năm 1801, cuốn “Nghiên cứu số học” nổi tiếng của Gaus được xuất bản. Cuốn sách khổng lồ này (hơn 500 trang khổ lớn) chứa đựng các kết quả chính của Gaus: định luật bình phương tương hỗ, bài toán phép chia hình tròn, câu hỏi về khả năng biểu diễn của các số nguyên ở dạng $am^2 + bmn + cn^2$ (đặc biệt, ở dạng tổng các bình phương). Cuốn sách được xuất bản với chi phí của Công tước và dành tặng cho ông. Ở dạng xuất bản, cuốn sách bao gồm bảy phần. Không có đủ đại biểu cho phần thứ tám. Trong phần này, chúng ta phải nói về sự khái quát hóa của định luật tương hỗ bậc hai lên các bậc cao hơn bậc hai, đặc biệt là về định luật hai phương tương hỗ. Gauss chỉ tìm thấy bằng chứng đầy đủ về định luật bình phương vào ngày 23 tháng 10 năm 1813, và trong nhật ký của mình, ông ghi lại rằng điều này trùng hợp với sự chia ly của con trai ông.

Ngoài nghiên cứu số học, Gauss về cơ bản không nghiên cứu lý thuyết số. Anh chỉ suy nghĩ thấu đáo và hoàn thành những gì đã dự định trong những năm đó. Ví dụ, ông đã đưa ra sáu cách chứng minh khác nhau về luật tương hỗ bậc hai. “Số học

Gauss trẻ. (1803).

Luận án Gelstadt

Ở Braunschweig, Gauss không có tài liệu cần thiết để nghiên cứu số học của mình. Vì vậy, ông thường đến Gelstadt lân cận, nơi có một thư viện tốt. Tại đây, vào năm 1798, Gauss đã chuẩn bị một luận án chứng minh Định lý cơ bản của Đại số - phát biểu rằng mọi đa thức có hệ số phức (đặc biệt là với hệ số thực) đều có nghiệm phức (nếu bạn muốn ở lại trong trường số thực thì Định lý cơ bản của đại số có thể được phát biểu như sau: mọi đa thức có hệ số thực được phân tách thành tích các đa thức bậc một và bậc hai). Gauss xem xét một cách nghiêm túc tất cả các nỗ lực chứng minh và thực hiện ý tưởng của D’Alembert một cách hết sức cẩn thận. Một bằng chứng hoàn hảo vẫn không thành công vì thiếu một lý thuyết chặt chẽ về tính liên tục. Sau đó, Gauss đưa ra thêm ba cách chứng minh Định lý cơ bản (lần cuối cùng vào năm 1848).

Lemniscate và trung bình số học-hình học

Hãy nói về một dòng khác trong tác phẩm của Gauss, bắt đầu từ thời thơ ấu.

Năm 1791, khi Gauss 14 tuổi, ông đang bận tâm tới trò chơi sau đây. Anh ấy lấy hai số $a_0, b_0$ và xây dựng cho chúng trung bình số học $a_1 = \frac{a_0 + b_0}{2}$ và trung bình hình học $b_1 = \sqrt{a_0 b_0}$ . Sau đó, ông tính các giá trị trung bình của $a_1, b_1$ : $a_2 = \frac{a_1 + b_1}{2}, b_2 = \sqrt{a_1 b_1}$ , v.v. Gauss đã tính toán cả hai chuỗi với một số lượng lớn các dấu hiệu. Rất nhanh sau đó anh ta không còn phân biệt được giữa $a_n$ và $b_n$ - tất cả các dấu tính được đều trùng khớp. Nói cách khác, cả hai chuỗi nhanh chóng hội tụ về một giới hạn chung $M(a_0, b_0)$ (được gọi là trung bình số học-hình học).

Cũng trong những năm đó, Gauss đã mày mò rất nhiều với một đường cong gọi là lemniscus (hay Bernoulli’s lemniscus) - một tập hợp các điểm, tích của khoảng cách giữa chúng với hai điểm cố định $O_1, O_2$ (tiêu điểm) được dựng và bằng $\left(\frac{1}{2} \left| O_1 O_2 \right|\right)^2$ (Hình 1). Gauss bắt đầu nghiên cứu lemniscate một cách có hệ thống vào năm 1797. Ông cố gắng tìm kiếm lemniscate trong một thời gian dài cho đến khi nhận ra rằng nó bằng $\frac{2\pi}{M(\sqrt{2}, 2)} \left| O_1 O_2 \right|$ .

Chúng ta không biết Gauss đã báo cáo điều này như thế nào, nhưng chúng ta biết rằng đó là ngày 30 tháng 5 năm 1799 và dù không có bằng chứng trước tiên, ông đã tính cả hai đại lượng với cùng một chữ số thập phân (!). Gauss đã đưa ra các hàm cho lemniscate tương tự như các hàm lượng giác cho đường tròn. Ví dụ, đối với lemni-

Trước hết, chúng ta phải nhớ rằng, bắt đầu từ công trình của Kepler, Galileo và Newton, thiên văn học là ứng dụng nổi bật nhất của toán học. Truyền thống này được tiếp tục trong các tác phẩm của Euler, d’Alembert, Clairaut, Lagrange và Laplace. Dự đoán và giải thích các hiện tượng thiên thể, các nhà toán học cảm thấy như được thừa nhận những bí mật của vũ trụ. Gauss, với niềm đam mê sớm với các phép tính cụ thể, tất nhiên không thể không thử sức mình trong lĩnh vực truyền thống này.

Tuy nhiên, cũng có những lý do hoa mỹ. Gauss chiếm vị trí khiêm tốn trong công ty tư nhân ở Braunschweig, nhận 6 thaler mỗi tháng. Khoản trợ cấp 400 thaler từ công tước bảo trợ không nhất quyết cải thiện địa vị của mình để có thể nuôi sống gia đình mà lại đang nghĩ đến việc chuyển sang màu vàng. Không dễ để có được một vị trí trong toán học ở đâu đó, và Gauss không mấy quan tâm đến việc giảng dạy tích cực. Mạng lưới đài quan sát ngày càng mở rộng khiến sự nghiệp của nhà thiên văn học trở nên dễ tiếp cận hơn.

Gauss bắt đầu quan tâm đến thiên văn học khi còn ở Göttingen. Ông đã thực hiện một số quan sát ở Brunswick và dành một phần tiền lương hưu của công tước để mua sextrate. Anh ấy thực hiện một phép tính khá tốt bài toán, đồng thời giải các phép tính nhỏ bài toán. Vì vậy, ông đã xuất bản một phương pháp đơn giản để tính thời gian của Lễ Phục sinh và các thời điểm theo chu kỳ khác cùng với những chiếc sàng cực kỳ hữu ích; đã được sử dụng trước đây. Ý tưởng về bài toán thực sự xuất hiện vào năm 1801 trong hoàn cảnh sau.

Vào ngày 1 tháng 1 năm 1801, nhà thiên văn học Piashi, khi biên soạn một danh mục sao, đã phát hiện ra một ngôi sao chưa biết có cấp sao thứ 8. Sau khi quan sát nó trong 40 ngày, Piashi quay sang các nhà thiên văn học lớn với yêu cầu tiếp tục quan sát. Do nhiều nguyên tắc khác nhau, yêu cầu của anh ấy đã không được đáp ứng. Vào tháng 6, thông tin này đến tai Tsakh, người đã xuất bản tạp chí thiên văn học duy nhất vào thời điểm đó. Tsach đưa ra giả thuyết rằng lò nung là “về một hành tinh lớn mới được nghi ngờ từ lâu giữa Sao Hỏa và Uniter”. Giả thuyết của Tsach có vẻ hợp lý và việc tìm kiếm hành tinh “đã mất” là việc cấp thiết. Và để làm được điều này, cần phải tính toán quỹ đạo của nó. Việc xác định đường đi hình elip dọc theo cung 9°, điều mà Piashi biết, nằm ngoài khả năng tính toán của các nhà thiên văn học. Vào tháng 9 năm 1801, bỏ lại mọi công việc của mình, chúng tôi tính toán quỹ đạo của Gauss. Vào tháng 11, việc tính toán đã được hoàn thành. Chúng được công bố trên tạp chí Tsach số tháng 12, và vào đêm 31 tháng 12 đến ngày 1 tháng 1—chính xác một năm sau khi quan sát Piasha—nhà thiên văn học nổi tiếng người Đức Olbers, dựa trên quỹ đạo được tính toán bởi Gauss, đã tìm thấy một hành tinh (nó được gọi là Zirera). Nó đã được ký kết!

Ngày 25 tháng 3 năm 1802 Olbers phát hiện ra một hành tinh khác - Pallas. Gauss nhanh chóng tính toán quỹ đạo của nó, cho thấy rằng nó cũng nằm giữa Sao Hỏa và Juniter. Hiệu quả của phương pháp tính toán của Gausast đối với các nhà thiên văn học là không thể phủ nhận.

Sự công nhận đến với Gauss. Một trong những dấu hiệu của điều này là việc ông được bầu làm thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học St. Petersburg. Chẳng bao lâu sau, ông được mời đảm nhận vị trí giám đốc Trường Tổng hợp St. Petersburg. Gauss viết rằng ông rất vui khi nhận được lời mời đến thành phố nơi Euler làm việc và đang suy nghĩ nghiêm túc về việc chuyển đi. Trong những bức thư của mình, Gauss viết rằng thời tiết ở St. Petersburg thường xấu, do đó ông sẽ không quá bận rộn với việc quan sát mà sẽ có thời gian cho việc nghiên cứu. Anh ấy cũng viết rằng 1000 rúp mà anh ấy sẽ nhận được nhiều hơn 400 thaler mà anh ấy có hiện tại, nhưng cuộc sống ở St. Petersburg đắt đỏ hơn.

Đồng thời, Olbers đang nỗ lực thành công để cứu Gaus cho Đức. Trở lại năm 1802, ông đề nghị người phụ trách Đại học Göttingen mời Gaus vào vị trí giám đốc của trường tổng hợp mới được tổ chức. Olbers đồng thời viết rằng Gauss “có ý nghĩa tích cực đối với khoa toán học”. Theo dado, việc di chuyển chỉ diễn ra vào cuối năm 1807.

Trong thời gian này, Gauss kết hôn (“đối với tôi cuộc sống dường như giống như mùa xuân với những bông hoa mới tươi sáng”). Năm 1806, Công tước, người mà Gauss có vẻ rất gắn bó chân thành, chết vì vết thương. Bây giờ không có gì có thể cản trở anh ấy ở Brunswick.

Cuộc sống của Gauss ở Göttigen không hề ngọt ngào. Năm 1809, sau khi sinh con trai, vợ ông qua đời và sau đó là chính đứa trẻ. Ngoài ra, Napoléon còn áp đặt một khoản bồi thường nặng nề cho Goettigen. Bản thân Gauss đã phải trả khoản thuế cắt cổ 2.000 franc. Olbers và ngay tại Paris, Laplace đã cố gắng giới thiệu tiền cho anh ta. Cả hai lần Gauss đều kiêu hãnh từ chối. Tuy nhiên, một nhà hảo tâm khác đã được tìm thấy, lần này ẩn danh và không có ai trả lại tiền (mãi sau này họ mới biết đó là Tuyển hầu tước Main, một người bạn của Goethe). “Cái chết ít hơn cuộc sống của tôi,” Gauss viết giữa những ghi chú về lý thuyết hàm số elip. Những người xung quanh không đánh giá cao công việc của anh ấy và ít nhất coi anh ấy là một kẻ lập dị. Olbers trấn an Gauss, nói rằng không nên trông cậy vào sự hiểu biết của mọi người: “họ phải được mong muốn và phục vụ”.

Năm 1809, “Lý thuyết chuyển động của các thiên thể quay quanh Mặt trời, hoàn thành năm 1807” nổi tiếng được xuất bản. Sự chậm trễ xảy ra do sản phẩm lo ngại rằng cuốn sách bằng tiếng Đức sẽ không tìm được nhu cầu, và Gauss, từ các báo cáo bảo trợ, đã từ chối in cuốn sách bằng tiếng Pháp. Thỏa hiệp là xuất bản cuốn sách bằng tiếng Latinh. Đây là cuốn sách duy nhất của Gauss về thiên văn học (ngoài cuốn sách này, ông còn xuất bản một số bài báo).

Gauss phác thảo các phương pháp tính toán quỹ đạo của mình. Để bị thuyết phục về sức mạnh của phương pháp của mình, ông lặp lại phép tính quỹ đạo của sao chổi vào năm 1769, mà Euler, người sau đó bị mất thị lực, đã tính toán trong ba ngày tính toán trực tiếp. Gauss phải mất một giờ để làm điều này. Cuốn sách mô tả phương pháp bình phương tối thiểu, đây vẫn là một trong những phương pháp phổ biến nhất để xử lý kết quả của lớp phủ.

Gauss cho biết ông đã biết đến phương pháp này từ năm 1794 và từ năm 1802 ông đã sử dụng nó một cách có hệ thống. (Hai năm trước khi xuất bản Lý thuyết chuyển động của Gauss, phương pháp bình phương tối thiểu đã được Legendre xuất bản.)

Năm 1810, có nhiều vinh dự hơn: Gauss nhận được Giải thưởng của Viện Hàn lâm Khoa học Paris và Huy chương Vàng của Hiệp hội Hoàng gia Luân Đôn, đồng thời được bầu vào một số học viện.

Năm 1804, Viện Hàn lâm Paris chọn lý thuyết nhiễu loạn của Pallas làm đề tài cho một giải thưởng lớn (huy chương vàng nặng 1 kg). Thời hạn được hoãn lại hai lần (đến năm 1816) với hy vọng Gauss sẽ nộp tác phẩm. Gauss đã được học trò Nikolan (“một chàng trai trẻ tính toán không biết mệt mỏi”) giúp đỡ trong việc tính toán, tuy nhiên các phép tính vẫn chưa được hoàn thành. Gauss đã vượt qua họ khi đang bị trầm cảm nặng.

Các nghiên cứu thường xuyên về thiên văn học vẫn tiếp tục cho đến khi ông qua đời. Sao chổi nổi tiếng năm 1812 (đã “báo trước” trận hỏa hoạn ở Moscow!) đã được quan sát trước tòa, sử dụng tính toán của Gauss. Vào ngày 28 tháng 8 năm 1851, Gauss quan sát thấy nhật thực. Gauss có nhiều sinh viên thiên văn học (Schumacher, Herming, Nikolan, Struve). Các nhà hình học vĩ đại nhất người Đức Möbnitz và Staudt đã nghiên cứu từ ông không phải hình học mà là thiên văn học. Ông thường xuyên trao đổi thư từ với nhiều nhà thiên văn học, thường xuyên đọc các bài báo và sách về thiên văn học và xuất bản lời giải. Từ những lá thư đến các nhà thiên văn học, chúng ta đã học được rất nhiều điều về toán học. Làm thế nào mà sự xuất hiện của nhà thiên văn học Gauss lại tương phản với ý tưởng về một ẩn sĩ không thể tiếp cận tồn tại trong giới toán học!

trắc địa

Đến năm 1820, trung tâm trí tuệ thực tiễn của Gauss đã chuyển sang trắc địa. Vào đầu thế kỷ này, ông đã cố gắng sử dụng kết quả đo các kinh tuyến khác do các nhà khảo sát người Pháp thực hiện để xác lập chiều dài tiêu chuẩn (mét) nhằm tìm ra góc quay thực sự của Trái đất. Nhưng vòng cung hóa ra lại quá nhỏ. Gauss

cơ hội để làm việc bình tĩnh. Anh ta cảnh báo Hermin, người chỉ định đề cập rằng những gì anh ta làm về sự tương đồng có thể trở thành sai lầm: “Không phải những con ong bắp cày mà bạn tiêu diệt sẽ vượt lên trên con bò của bạn”. Nó đang dần chín muồi lời giải để ghi lại kết quả, nhưng không công bố chúng: “Có lẽ sẽ không lâu nữa tôi có thể xử lý nghiên cứu sâu rộng của mình về vấn đề này để chúng có thể được công bố. Thậm chí có thể tôi sẽ không quyết định về điều này trong suốt quãng đời còn lại của mình, vì căn bệnh này an toàn hơn *), tỷ lệ này sẽ tăng lên nếu tôi bày tỏ quan điểm của mình một cách đầy đủ” (thư gửi Besselo, 1829). Vào tháng 5 năm 1831, Gauss bắt đầu viết một cách có hệ thống: “Trong vài tuần nay, tôi đã bắt đầu sắp xếp bằng văn bản một số kết quả suy ngẫm của riêng mình về chủ đề này, một số trong số đó đã 40 tuổi nhưng chưa bao giờ được viết ra nhiều, kết quả là tôi đã phải đổi mới tất cả công việc trong lĩnh vực của mình 3 hoặc 4 lần. Tôi không muốn điều này xảy ra với mình” (thư gửi Schumacher).

Tuy nhiên, vào năm 1832, ông nhận được từ Farkas Boyan một tác phẩm nhỏ của con trai ông là Janos, “Phụ lục” (tên này là do nó được xuất bản dưới dạng phụ lục cho cuốn sách lớn hơn của cha ông). “Con trai tôi đặt cược vào sự thu hẹp đó hơn là vào sự thu hẹp của toàn châu Âu.” Nội dung của cuốn sách làm Gauss ngạc nhiên: nó xây dựng hình học phi Euclid một cách hoàn chỉnh và có hệ thống. Đây không phải là những thỏa thuận và thỏa thuận rời rạc giữa Schweikart và Taurinus. Bản thân Gauss sắp nhận được một bài thuyết trình như vậy trong tương lai gần. Anh ấy viết cho Hermin: “… Tôi tìm thấy tất cả các ý tưởng và kết quả của riêng mình, được phát triển một cách hết sức duyên dáng, mặc dù là do tính ngắn gọn của cách trình bày, ở dạng khó hiểu đối với những người mà lĩnh vực này xa lạ… Tôi tin rằng nhà hình học trẻ tuổi Boya này là một thiên tài tầm cỡ đầu tiên.” Và đây là những gì được viết cho người cha: “… toàn bộ nội dung của tác phẩm này, con đường mà con trai ông đã đi, và kết quả mà nó nhận được, gần như hoàn toàn trùng khớp với của tôi, mà tôi đã nhận được một phần cách đây 30-35 năm. Tôi thực sự vô cùng ngạc nhiên về điều này. Tôi đã có ý định về công việc của riêng mình, một số trong đó bây giờ tôi đã viết ra giấy, không xuất bản bất cứ điều gì trong suốt cuộc đời của mình… Tôi đã có ý định… để những suy nghĩ này, ít nhất, sẽ không đến gần tôi. Vì vậy, tôi vô cùng kinh ngạc trước những gì đang tồn tại - nó giải phóng tôi khỏi sự cần thiết này; và tôi rất vui vì chính con trai của người bạn cũ đã chờ đợi tôi một cách tuyệt vời như vậy.” Janos không nhận được bất kỳ đánh giá hay hỗ trợ công khai nào từ Gauss. Rõ ràng, cùng lúc đó, Gauss đang thực hiện những ghi chú có hệ thống về hình học phi Euclide, mặc dù những ghi chú thỉnh thoảng vẫn được bảo tồn, có niên đại từ những năm 40.

*) Theo truyền thuyết, cư dân Boston nổi tiếng ở Hy Lạp cổ đại vì sự ngu ngốc của họ.

Năm 1841, Gauss làm quen với ấn bản tiếng Đức của tác phẩm của Lobachevsky (các ấn phẩm đầu tiên của Lobachevsky có từ năm 1829). Đúng với bản thân mình, Gauss quan tâm đến các ấn phẩm khác của tác giả, hạn chế nói về ông trong thư từ với các phóng viên thân cận. Tuy nhiên, theo gợi ý của Gauss, vào năm 1842 Lobachevsky, “với tư cách là một trong những nhà toán học xuất sắc nhất của nhà nước Nga,” đã được bầu làm thành viên tương ứng của Hiệp hội Khoa học Hoàng gia Goettigen. Gauss đã đích thân trích xuất thông tin của lobachevsky. Tuy nhiên, cả bài trình bày của Gauss lẫn bằng tốt nghiệp được trao cho Lobachevsky đều không đề cập đến hình học phi Euclide.

Công trình của Gauss về hình học phi Euclide chỉ được biết đến sau khi xuất bản một kho lưu trữ sau khi ông mất. Do đó, Gauss đã tạo cho mình cơ hội làm việc một cách bình tĩnh bằng cách từ chối tiết lộ khám phá vĩ đại của mình, gây ra cuộc tranh luận kéo dài cho đến ngày nay về khả năng được chấp nhận cho vị trí mà ông đảm nhận.

Cần lưu ý rằng Gauss không chỉ quan tâm đến câu hỏi logic thuần túy về khả năng chứng minh của các tuyên bố về sự tương tự. Ông quan tâm đến hình học trong khoa học tự nhiên, câu hỏi về hình học thực sự của thế giới vật chất của chúng ta (xem tuyên bố trên năm 1817). Ông thực hiện khả năng xác minh thiên văn học, đáp lại những thông điệp của Lobachevsky về vấn đề này một cách hứng thú. Khi nghiên cứu trắc địa, Gauss không thể cưỡng lại việc thay đổi tổng các góc của một tam giác với các đỉnh High Hagen, Brocken, Inselberg. Sự lắng đọng từ 2l không vượt quá 0,2′.

Điện động lực học và từ trường mặt đất

Đến cuối những năm 20, Gauss, người đã bước qua mốc 50 năm, bắt đầu tìm kiếm những lĩnh vực hoạt động khoa học mới. Điều này được chứng minh bằng hai ấn phẩm vào năm 1829 và 1830. Ấn phẩm đầu tiên mang dấu ấn phản ánh các nguyên lý chung của cơ học (ở đây, “tên chính của việc thu hẹp” của Gauss được xây dựng); cái còn lại được dành cho việc nghiên cứu các hiện tượng mao dẫn. Gauss quyết định nghiên cứu vật lý, nhưng sở thích của anh vẫn chưa được quyết định. Năm 1831, ông cố gắng nghiên cứu tinh thể học. Đây là một năm rất khó khăn

Cuộc đời của Gauss: Người vợ thứ hai qua đời, ông bắt đầu mắc chứng mất ngủ trầm trọng. Cùng năm đó, nhà vật lý 27 tuổi Wilhelm Weber, được Gauss mời, đã đến Göttingen. Gauss gặp ông vào năm 1828 tại nhà Humboldt. Gauss đã 54 tuổi; sự kín đáo của ông đã trở thành huyền thoại, tuy nhiên ở Weber, ông đã tìm thấy một người bạn đồng hành trong khoa học mà trước đây ông chưa từng có.

“Sự khác biệt bên trong của những người này cũng được thể hiện rõ ràng ở khía cạnh bên ngoài của họ. Gauss - được công nhận; có thân hình cường tráng, một đại diện thực sự của Lower Saxony, ít nói và thu mình vào chính mình. Một kiểu đối lập với anh ta là Weber nhỏ bé, duyên dáng, nhanh nhẹn, người cực kỳ nhã nhặn và có lối trò chuyện ngay lập tức bộc lộ bản chất cấp tiến; anh ta thực sự đến từ Wittenberg, đất nước của “những người Saxon bình phương.” Trên tượng đài Göttingen tưởng nhớ Gauss và Weber, sự tương phản giữa các bộ sưu tập nghệ thuật của họ được làm dịu đi và ngay cả khi xét về độ tuổi, chúng dường như gần gũi hơn so với thực tế.” (Klein)

Mối quan tâm của Gauss và Weber nằm ở lĩnh vực điện động lực học và từ trường mặt đất. Hoạt động của họ không chỉ mang lại kết quả về mặt lý thuyết mà còn mang lại kết quả thực tiễn. Năm 1833, họ phát minh ra điện thoại điện từ (sự kiện này được mô tả trong tượng đài chung của họ). Chiếc điện thoại đầu tiên gọi tới đài thiên văn và viện vật lý. Do nguyên tắc tài chính nên việc đưa điện thoại vào cuộc sống là điều không thể.

Trong quá trình nghiên cứu từ tính, họ dựa vào cả những quan sát tại đài quan sát từ tính được thành lập ở Göttingen và dựa vào những vật liệu được thu thập ở các quốc gia khác nhau bởi “Liên minh quan sát từ tính trên trái đất” do Humboldt tạo ra sau khi trở về từ Nam Mỹ. Đồng thời, Gauss đã tạo ra một trong những chương quan trọng nhất của vật lý toán học - lý thuyết thế năng.

Các nghiên cứu chung của Gauss và Weber đã thay đổi vào năm 1843, khi Weber, cùng với sáu giáo sư nổi tiếng khác, bị trục xuất khỏi Göttingen vì đã ký một bức thư gửi nhà vua, trong đó chỉ ra những vi phạm cấu trúc của nhà vua (Gauss không ký vào bức thư). Weber chỉ trở lại Gottingen vào năm 1849, khi Gauss đã 72 tuổi.

Chúng ta sẽ kết thúc câu chuyện về Gauss bằng những lời của Klein: “Gauss mang đến cho tôi hình ảnh của đỉnh cao nhất của dãy núi Bazaar, như nó hiện ra trước mắt tôi, được quan sát hàng ngày. Ở phía bên này của chuỗi, theo hướng từ đông sang tây, các đỉnh riêng lẻ ngày càng cao hơn, đạt đến độ cao tối đa trong chuỗi nước tiểu, cao chót vót; kết thúc một cách tròn trịa, cuộc hành hình miền núi này với một hình thức mới đã thay đổi, trong đó sự rộng mở của nó được nghe thấy từ cách xa hàng chục km, và những dòng suối chảy ra từ nó mang theo sức mạnh và sự sống.”

Chân dung Gauss trên trang. 2 do Giáo sư K. R. Biermann từ CHDC Đức gửi.