Olympic Toán Quốc tế lần thứ XIX

51

Olympic Toán quốc tế lần thứ 19, được tổ chức vào tháng 7 năm 1977 tại thủ đô Belgrade của Nam Tư, là kỷ lục về số lượng người tham gia - tham gia vào các đội gần gũi hiện đại từ 21 quốc gia: Úc, Algeria, Anh, Bỉ, Bulgaria, Hungary, Đông Đức, Ý, Cuba, Mông Cổ, Hà Lan, Ba Lan, Romania, Liên Xô, Mỹ, Phần Lan, Pháp, Đức, Tiệp Khắc, Thụy Điển và Nam Tư.

Đội Liên Xô bao gồm: Amiran Ambroladze từ Tbilisi, Andrey Auzin từ Rigga, Yaroslav Vinnishin từ trường nội trú ở KSU, Muscovite Viktor Galperin, Alexander Kodryan từ thành phố Rybnitsa thuộc Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Xô viết Moldavian, Grigory Rybnikov từ Moscow, Dmitry Flaas từ trường nội trú tại NSU và Andrey Churbanov từ trường nội trú tại Đại học quốc gia Moscow. Đi cùng nhóm có V. Orlov (Học viện Khoa học Sư phạm Liên Xô) và tác giả của những dòng này (trưởng nhóm).

Tất cả học sinh - những người tham gia thời hiện đại - đều được ở tại thị trấn Pinoje ở ngoại ô Belgrade, nằm trong một công viên râm mát, nơi đặc biệt dễ chịu: thời tiết nóng bức.

Lễ khai mạc Thế vận hội diễn ra vào tháng 7 năm 1977 tại thị trấn Pinoyer. Cả hai vòng thi Olympic đều được tổ chức ở đó vào ngày 6 và 7 tháng 6; mỗi vòng đưa ra ba bài toán.

Vào ngày 10 tháng 7, một hội nghị chuyên đề dành cho những người tham gia Olympic đã được tổ chức. Đội Liên Xô trình bày:
Ambroladze Amiran - “Biểu diễn số tự nhiên bằng hiệu của hai số nguyên tố”,
Auzin Andrey - “Tối ưu hóa công việc của hai người khuân vác”,
Galperin Victor - “Đa thức giao hoán”,
Flaas Dmitry - “Lý thuyết nhóm trong một phòng bài toán.”

Cùng ngày, những học sinh nhận được sự công nhận đặc biệt cho bản gốc lời giải bài toán đã nói với những người tham gia Olympic rằng lời giải của họ. Đội Liên Xô được đại diện bởi Viktor Galperin, người đã nhận được giải thưởng đặc biệt cho lời giải hạng ba bài toán. Các điều phối viên của ban giám khảo cũng lưu ý bản gốc lời giải thứ 6 bài toán của Grigory Rybnikov và Andrey Churbanov và bản thứ 2 bài toán của Viktor Galperin. Lời giải được chỉ định bài toán do những người tham gia của chúng tôi đưa ra sẽ được xuất bản trong một bộ sưu tập đặc biệt được xuất bản bằng tiếng Serbia-Croatia và tiếng Anh.

Vào ngày 11 tháng 7, tất cả những người tham gia Thế vận hội đã có một chuyến tham quan dọc sông Danube tới một trong những nhà máy thủy điện lớn nhất ở châu Âu do Nam Tư và Romania cùng xây dựng. Điều thú vị cần lưu ý là các tàu cánh ngầm dùng để thực hiện chuyến du ngoạn và tất cả 12 tuabin thủy lực được lắp đặt tại nhà máy thủy điện đều mang nhãn hiệu “Sản xuất tại Liên Xô”.

Vào ngày 2 tháng 7, một hội nghị chuyên đề của các nhà lãnh đạo khoa học của đội mang tên “Olympic Thanh niên và Toán học” đã diễn ra, tại đó đội Liên Xô A. Savin đã phát biểu.

Dưới đây chúng tôi xuất bản văn bản bài toán được cung cấp tại Olympic.

Ngày đầu tiên

1. Các tam giác đều ABK, BCL, CDM, DAN được dựng bên trong hình vuông ABCD này. Chứng minh rằng trung điểm của 4 đoạn KL, LM, MN, NK cùng với trung điểm của 8 đoạn AK, BK, BL, CL, CM, DM, DN, AN

52

Chúng là ngọn của cây 10 cây thông thường (6 điểm).

2. Trong một dãy hữu hạn các số thực, tổng của bảy số hạng liên tiếp bất kỳ là âm và tổng của các số hạng liên tiếp giống hệt nhau là dương. Tìm số hạng nhiều nhất của dãy đó (6 điểm).

3. Đặt $n$ là một số tự nhiên cho trước lớn hơn 2 và đặt $V_n$ là tập hợp các số có dạng $1 + kn$, trong đó $k = 1, 2, \ldots$. Số $m \in V_n$ sẽ được gọi là số tối giản trong $V_n$ nếu không có số $p, q \in V_n$ sao cho $pq = m$. Chứng minh rằng tồn tại một số $r \in V_n$ có thể phân tích thành thừa số tối giản thành $V_n$ theo nhiều cách (7 điểm).

Ngày thứ hai

4. Đặt $a, b, A, B$ là các số thực đã cho. Hãy xem xét $f(x) = 1 - a \cos x - b \sin x - A \cos 2x - B \sin 2x$. Chứng minh rằng nếu $f(x) \geq 0$ với mọi $x$ thực thì $a^2 + b^2 \leq 2$ và $A^2 + B^2 \leq 1$ (6 điểm).

5. Cho $a$ và $b$ là các số tự nhiên. Chia $a^2 + b^2$ cho $a + b$ được thương $q$ và số dư $r$. Tìm tất cả các cặp $(a, b)$ mà $q^2 + r = 1977$ (7 điểm).

6. Cho $f(n)$ là hàm xác định tập hợp số tự nhiên và lấy các giá trị trong cùng một tập hợp. Chứng minh rằng nếu với mỗi $n$ bất đẳng thức $f(n+1) > f(f(n))$ đúng thì với mỗi $n$ đẳng thức $f(n) = n$ đúng (8 điểm).

Vào ngày 12 tháng 7, lễ bế mạc Thế vận hội đã diễn ra, tại đó những người chiến thắng đã được công bố. Giải nhất được trao cho 13 học sinh đạt từ 40 đến 34 điểm: G. Rybnikov (Liên Xô, 40 điểm), K. Grill (Áo, 40), R. Dougherty (Mỹ, 40), M. Larsen (Mỹ, 40), D. Rickard (Anh, 40), G. Molder (Hà Lan, 39), I.-J. Balazs (Hungary, 36), Y. Rahman (Đức, 36), R. Duadi (Pháp, 35), 3. Magyar