Bề mặt yên xe

20

Bề mặt yên xe

Mỗi người trong số các bạn chắc chắn đều biết rằng tập hợp các điểm trên một mặt phẳng cách đều hai điểm cho trước là phân giác của đoạn vuông góc nối chúng. Tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng song song hoặc cắt nhau cũng được sắp xếp đơn giản. Hình 1 cho thấy hai trong số các tập hợp này, mặc dù không dành cho mặt phẳng mà dành cho không gian.

Và tập hợp các điểm cách đều hai giao điểm trông như thế nào?

w và v a y u sh i h s i đường thẳng? Bạn sẽ tìm hiểu về điều này bằng cách đọc bài viết.

Trước khi chuyển sang phần trình bày chính, chúng tôi đưa ra định nghĩa về không gian mới xung quanh trục.

Chuyển động quay của không gian là bất kỳ chuyển động nào của không gian trong đó một tập hợp các điểm bất động tạo thành một đường thẳng (được gọi là trục của bề mặt). Khi không gian quay quanh trục của mỗi mặt phẳng thì mặt phẳng vuông góc với trục quay biến thành chính nó. Chuyển động kết quả của các mặt phẳng này là các phép quay xung quanh điểm giao nhau của chúng với trục ở cùng một góc và cùng hướng *) (Hình 2).

Chúng ta sẽ biểu thị một ngã rẽ có trục $l$ bằng $R_l$, một ngã rẽ, một ngã rẽ ngược $R_l$, bằng $R_{-l}^1$,

*) Sự dịch chuyển giống hệt nhau cũng có thể được coi là một phép quay không gian xung quanh một trục (theo một góc bằng 0), nhưng các phép quay cũng sẽ không được tìm thấy trong bài viết này.

21

Hình 1.

Để mô tả tập hợp các điểm của chúng ta (ký hiệu là $F$), chúng ta cần một số phát biểu về phép quay. Chúng tôi sẽ xây dựng chúng khi cần thiết dưới dạng bổ đề và cách chứng minh tất cả các bổ đề được đưa ra ở cuối bài viết. Sẽ rất hữu ích cho người đọc khi tự mình chứng minh các bổ đề này.

1. Trước hết, chúng ta sẽ chỉ ra rằng qua mỗi điểm của tập hợp có hai đường thẳng thuộc nó đi qua.

Đặt $m$ và $n$ là dữ liệu của đường giao nhau và điểm $A$ cách đều chúng. Chúng ta hãy biểu thị bằng $A_1$ và $A_2$ các hình chiếu trực giao của điểm này lên các đường thẳng $m$ và $n$ tương ứng (Hình 3). Giả sử $l$ vuông góc với mặt phẳng $A_1AA_2$ đi qua điểm $A$. Chúng ta hãy xoay không gian xung quanh trục $l$ sao cho điểm $A_1$ tiến tới điểm $A_2$. Khi đó đường thẳng $m$ sẽ biến thành đường thẳng $m_1$, đi qua điểm $A_2$ và vuông góc với đường thẳng $AA_2$. Tiếp theo, bạn có thể thực hiện hai phép quay với trục $AA_2$ sao cho đường thẳng $m_1$ biến thành đường thẳng $n$: $R_{AA_2}$ và $R'_{AA_2}$. Do sự kết hợp của các lượt $R_l$ và $R_{AA_2}$ ($R_l$ và $R'_{AA_2}$), đường thẳng $m$ sẽ biến thành đường thẳng $n$. Hoá ra bổ đề sau đây là đúng: hợp của hai phép quay quanh hai trục cắt nhau là một phép quay quanh trục đi qua giao điểm của chúng. Do đó, tồn tại một đường thẳng $u$ đi qua điểm $A$ sao cho $R_{AA_2} \circ R_l = R_u$. Tương tự, có một đường thẳng $v$ đi qua $A$ sao cho $R'_{AA_2} \circ R_l = R_v$.

Hình 2.

từ điểm $A$ đến đường thẳng $n$.

2. Có ít nhất một điểm thuộc tập hợp của chúng ta không?

Chúng ta hãy vẽ qua đường thẳng $m$ một mặt phẳng song song với đường thẳng $n$ và qua đường thẳng $n$ một mặt phẳng song song với đường thẳng $m$. Những mặt phẳng này song song. Chúng ta hãy biểu thị bằng $\alpha$ mặt phẳng cách đều chúng. Các hình chiếu trực giao $m'$ và $n'$ là trực tiếp $m$ và $n$ lên mặt phẳng $\alpha$ sẽ giao nhau tại một điểm nào đó $O$ (Hình 4). Rõ ràng,

22

điểm $O$ thuộc tập $F$. Và sau đó, như chúng ta đã tìm ra, có ít nhất hai đường thẳng đi qua nó, bao gồm các điểm trong tập hợp của chúng ta.

Đúng 2. Chứng minh có đúng hai đường thẳng như vậy đi qua điểm $O$ (ta ký hiệu chúng là $x$ và $y$). Chứng minh rằng các đường thẳng này là trục đối xứng của các đường thẳng $m'$ và $n'$.

Vì vậy, tập hợp của chúng tôi chứa các dòng thay thế $x$ và $y$, và qua mỗi điểm của những dòng này sẽ đi qua một dòng khác thuộc tập hợp của chúng tôi.

3. Bây giờ chúng ta hãy đảm bảo rằng sự kết hợp các điểm của những đường này tạo thành toàn bộ tập hợp của chúng ta. Để làm điều này, chúng ta hãy chứng minh rằng nếu điểm $A \in F$ không nằm trên đường thẳng $x$, cũng không nằm trên đường thẳng $y$, thì một trong các đường thẳng thuộc tập hợp đi qua nó cắt $x$, và đường kia $y$, và rằng qua mỗi điểm của nó chỉ có hai đường thẳng như vậy đi qua.

a) Trên mỗi đường thẳng $m$ và $n$, chúng ta dùng mũi tên đánh dấu một hướng nhất định, chẳng hạn như trong Hình 4. Khi đó, bất kỳ trục quay nào biến đường thẳng có hướng $m$ thành đường thẳng có hướng $n$ (với các hướng được chỉ ra trong Hình 4!) thì song song với mặt phẳng đi qua đường thẳng $x$ và vuông góc với mặt phẳng $\alpha$.

Trên thực tế, trục $u$ tạo thành các góc bằng nhau với các đường thẳng $m$ và $n$. Chúng ta hãy cắt các đường thẳng song song $m$, $n$ và trục $u$ sao cho chúng đi qua điểm $O$ (xem Hình 4). Chúng ta có các đường thẳng $m'$, $n'$ và $u'$. Vì trong quá trình dịch song song, các góc giữa các đường thẳng không thay đổi nên đường thẳng $u'$ tạo thành các góc bằng nhau với các đường thẳng $m'$ và $n'$. Điều này có nghĩa là nó nằm trong mặt phẳng $xOz$, trong đó $z \perp \alpha$ (xem bài tập 2 và Hình 4). Do đó, đường thẳng $u$ song song với mặt phẳng này.

Bây giờ chúng ta lấy hai trục $u$ và $v$ phép quay biến đường thẳng $m$ thành đường thẳng $n$ trong khi vẫn giữ nguyên hướng. Hãy chứng minh rằng các đường $u$ và $v$ cắt nhau.

Trước tiên chúng ta giả sử rằng chúng giao nhau tại điểm $B$. Chúng ta hãy thực hiện một phép quay quanh trục $u$, biến đổi $m$ thành $n$ trong khi vẫn giữ nguyên hướng, sau đó xoay quanh $v$, biến đổi $n$ thành $m$, cũng giữ nguyên hướng. Vì $u$ và $v$, theo mệnh đề, cắt nhau, nên thành phần của các phép quay được chỉ định là một phép quay (bổ đề từ mục 1). Vòng xoay này ánh xạ đường thẳng $m$ lên chính nó trong khi vẫn duy trì hướng. Nhưng điều này là không thể, như bổ đề sau đây cho thấy: khi quay không gian quanh một trục, một đường thẳng được ánh xạ lên chính nó trong khi vẫn giữ nguyên hướng - trục quay.

Bây giờ chúng ta giả sử rằng $u \parallel v$. Như trên, khi di chuyển $R^{-1}_v$ $\circ R_u$ đường thẳng $m$ biến thành chính nó đồng thời giữ nguyên hướng. Mặt khác, thành phần của hai phép quay có trục song song là phép quay quanh một trục thẳng song song với chúng hoặc phép dịch chuyển theo hướng phân bố lại cho các trục này. Trong trường hợp đầu tiên $m \parallel u$, sau đó là $n \parallel m$. Trong phần thứ hai - $m \perp u$ và thu được từ $m$ bằng cách quay quanh đường thẳng $u$ đường thẳng $n$ nằm trong cùng một mặt phẳng $c$ $m$.

Do đó, các đường thẳng $u$ và $v$ không song song cũng không cắt nhau. Vậy là chúng đang giao phối với nhau. Hãy kết hợp các trục này thành một lớp.

6. Ví dụ: thay đổi hướng trên một trong các đường đã cho thành $n$. Khi đó, các trục quay ánh xạ đường thẳng $m$ lên $n$ (với các hướng mới được chỉ định trên chúng) cũng giao nhau theo cặp và song song với mặt phẳng $yOz$ (xem Hình 4). Các trục kết quả sẽ được gán cho một lớp khác.

23

Hình 5.

c) Cho trục $u$ thuộc lớp thứ nhất và trục $v$ thuộc lớp thứ hai. Hãy chứng minh rằng các đường $u$ và $v$ cắt nhau. Thật vậy, khi di chuyển $R^{-1}_v \circ R_u$, đường thẳng $m$ sẽ biến thành chính nó với sự thay đổi hướng. Do đó, chúng ta thu được một phép biến đổi của đường $m$ - đối xứng đến một điểm nhất định $C \in m$ (bằng chứng!). Do đó $R^{-1}_v \circ R_u(C) = C$ và $R_v(C) = R_u(C) = D$. Từ $R_u(C) = D, R_v(C) = D$ suy ra rằng tất cả các điểm của đường thẳng $u$ và $v$ đều cách đều các điểm $C$ và $D$. Nhưng khi đó $u$ và $v$ nằm trong cùng một mặt phẳng (xem Hình 1). Do đó, nếu $u$ và $v$ không giao nhau thì chúng song song. Vì $u \parallel xOz$ và $v \parallel yOz$, nên từ $u \parallel v$ sẽ dẫn đến $u \parallel z$. Nhưng điều này là không thể, vì $z \perp m$. Do đó, $u$ và $v$ cắt nhau.

d) Trục $x$ và $y$ rõ ràng thuộc các lớp khác nhau. Do đó, mỗi trục giao nhau với đường $x$ hoặc đường $y$. Vì ba trục không thể đi qua điểm $F$ (vì khi đó hai trục sẽ thuộc cùng một lớp) nên không có điểm “không liên quan” nào trong hình.

4. Nó vẫn còn để xây dựng bộ của chúng tôi. Để làm điều này, chúng ta dựng một hình song song có các trục song song với đường thẳng $x, y, z$ và tâm tại điểm $O$ (xem Hình 5), sao cho đường chéo của đáy trên và đáy lần lượt nằm trên đường thẳng $m$ và $n$ và khoảng cách từ đỉnh $A$ đến đường thẳng $m$ bằng cạnh bên của nó. Các điểm $O_1$ và $O_2$ phải có trục song song với mặt phẳng $yOz$. Rõ ràng đây là những đường thẳng $O_1A$ và $O_2B$. Mỗi trục song song với mặt phẳng $xOz$ phải giao với $O_1A$ và $O_2B$, sau đó là $|O_1A| = |O_2B|$. Cấu trúc tương ứng được đưa ra ở trang 20 của tạp chí. (Tất nhiên, bạn có thể sử dụng các đường thẳng $y$ và $OA$, nhưng khi đó kết cấu sẽ không đối xứng như vậy.) Như bạn có thể thấy, kết quả là một bề mặt tương tự như một cái yên ngựa.

5. Lấy các đường thẳng $x, y$ và $z$ làm trục tọa độ, chúng ta rút ra khả năng điều khiển bề mặt này. Các điều kiện được thiết lập bằng sự điều khiển trực tiếp của hai mặt phẳng cắt nhau dọc theo nó. Khi đó phần điều khiển của dòng $m$ và $n$ sẽ được viết dưới dạng

$$\begin{cases} y = kx \\ z = c, \end{cases}$$

Các vectơ chỉ phương của các đường thẳng này có tọa độ:

$$\vec{m} = \{1; k; 0\}, \vec{n} = \{1; -k; 0\}.$$

Đặt điểm $P(x, y, z)$ cách đều các đường $m$ và $n$. Nếu $M$ và $N$ lần lượt là các hình chiếu trực giao của điểm $P$ lên các đường thẳng $m$ và $n$ thì $|MP| = |MN|$. Hãy để chúng tôi biểu thị tọa độ của điểm $P$.

Vì $M \in m$, tọa độ của điểm $M$ là $k, y$ và $z$. Xét rằng $\vec{MP} \cdot \vec{m} = 0$, $\vec{MP} = (x - \alpha, y - k\alpha, z - c)$, $m = \{1, k, 0\}$, ta thu được $x - \alpha + yk - k^2\alpha = 0$, suy ra rằng $\alpha = \frac{x + ky}{1 + k^2}$, tức là các điểm $M$ có tọa độ

$$\frac{x + ky}{1 + k^2}, \frac{x + ky}{1 + k^2}, c.$$

Lập luận tương tự ta tìm được tọa độ của điểm $N$:

$$\frac{x - ky}{1 + k^2}, -k \frac{x - ky}{1 + k^2}, -c.$$

Viết đẳng thức $|MP| = |NP|$ sau khi rút gọn, ta thu được biểu thức

$$xy = 2pz,$$

ở đâu $p = -\frac{1 + k^2}{2k}$.

Do đó, tập hợp các điểm $m$ và $n$ là các bề mặt có điều khiển có dạng (1). (Điều khiển (1) lần đầu tiên được L. Euler thu được vào năm 1748.)