Các vùng hình định hướng

2

A. Lopshitz

Các vùng hình định hướng

Người đọc tạp chí của chúng tôi thường bắt gặp nhiều bài toán trong đó thảo luận về các lĩnh vực. lời giải của họ cũng có được bằng nhiều cách khác nhau. Trong «Kvant» Số 3 năm 1977, chúng ta đã nói về ý tưởng của Möbius - để đo diện tích của các đa giác định hướng không chỉ bằng các đa giác dương như đã làm ở trường mà còn bằng các số âm. Chúng tôi hứa sẽ quay lại xem xét những câu hỏi này và giới thiệu cho người đọc giải pháp bài toán do Möbius đặt ra và bài toán, giải pháp mở rộng chúng một cách tự nhiên. Hiện tại, chúng tôi đề xuất đo diện tích của các đa giác định hướng trước tiên—đây là trọng tâm của phần đầu tiên; tình trạng của tài liệu được trình bày trong đó sẽ khiến người đọc chuẩn bị sẵn sàng cho lời giải độc lập không chỉ những bài toán về các lĩnh vực được trình bày trên tạp chí của chúng tôi, mà còn nhiều lĩnh vực khác.

1. Tính chất cơ bản của diện tích các hình định hướng

2. Như các nhà sử học tin rằng, nhu cầu đo diện tích của các hình phẳng là một trong những nguyên tắc cơ bản cho sự xuất hiện và phát triển của hình học: người Ai Cập cổ đại phải khôi phục - sau trận lũ sông Nile tiếp theo - ranh giới các mảnh đất của họ bị ngập bởi nước suối, và lại thay đổi diện tích của chúng.

Ngay trong lớp học làng, học sinh đã học quy tắc đơn giản nhất để tìm diện tích hình bình hành, hình tam giác và hình thang. Đạo hàm toán học của các quy tắc này sử dụng đa giác có diện tích bằng tổng diện tích của tam giác $A_1A_2A_3$ và đa giác $A_1A_3A_4 \dots A_n$:

$$\text{пл. } A_1A_2 \dots A_n = \text{пл. } A_1A_2A_3 + \text{пл. } A_1A_3A_4 \dots A_n.$$

Nhìn lướt qua Hình 1, có vẻ như đủ để chấp nhận tính chất này, tức là theo thực tế là mệnh đề toán học mà nó biểu thị là hợp lệ. Tuy nhiên, đối với đa giác thể hiện trong Hình 1, 6, đặc tính này không đúng; trong trường hợp này

$$\text{пл. } B_1B_2 \dots B_n = \text{пл. } B_1B_3B_4 \dots B_n - \text{пл. } B_1B_2B_3.$$

Do đó, chúng ta sẽ phải thay đổi công thức: diện tích của đa giác $A_1A_2 \dots A_n$ bằng tổng hoặc hiệu diện tích của đa giác $A_1A_3A_4 \dots A_n$ và tam giác $A_1A_2A_3$.

Tuyên bố này đúng cho cả đa giác lồi và không lồi, nhưng, than ôi! - một nhược điểm đáng kể: để sử dụng nó, bạn cần phải nhìn vào bản vẽ mỗi lần và chọn dấu “cộng” hoặc “trừ”.

2. Cách thoát khỏi tình trạng này đã được chỉ ra (trở lại năm 1827) bởi nhà hình học ký hiệu Möbius. Ông đề xuất chỉ gán giá trị dương cho diện tích của tam giác $B_1B_2B_3$ nếu

3

các đỉnh $B_1, B_2, B_3$ nằm theo chiều kim đồng hồ (Hình 2, a), còn ngược lại (Hình 2, b), “diện tích” của tam giác $B_1B_2B_3$ được coi là số âm, mô đun của nó bằng tổng diện tích của tam giác này.

Sự hữu ích của quan điểm mới này được minh họa rõ ràng bằng ví dụ sau. Nếu điểm $P$ nằm bên trong tam giác $ABC$ thì (Hình 3). làm ơn. $ABC =$ xin vui lòng. $PAB +$ xin vui lòng. $PBC +$

• làm ơn. $PCA$. (*)

Tuy nhiên, nếu điểm $P$ nằm bên ngoài tam giác $ABC$, thì đẳng thức này phải được thay thế bằng một đẳng thức khác, chẳng hạn như trong trường hợp được hiển thị trong Hình 4, và đẳng thức

làm ơn. $ABC =$ xin vui lòng. $PAB +$

• làm ơn. $PBC -$ xin vui lòng. $PCA$.

Người đọc có thể dễ dàng nhận thấy rằng, tùy thuộc vào vị trí của điểm $P$, có thêm năm “bình đẳng tương tự” nữa là hợp lệ (Hình 4, b, b; 5, a, b, b). Tuy nhiên, nếu bạn sử dụng quy tắc Möbinus, thì bạn có thể dễ dàng kiểm tra, “tất cả” bảy đẳng thức này có thể được viết dưới dạng (*) (Hình 6).

Vì vậy, Möbinus đúng có thể khẳng định rằng điều đó là công bằng.

Định lý 1. Dù tam giác nằm trong mặt phẳng như thế nào,

4

naka $ABC$ điểm $P$,
làm ơn. $ABC = \text{пл. } PAB + \text{пл. } PBC + \text{пл. } PCA$.

Thay vì bảy định lý - một! Vậy liệu có thể đồng ý về tính hiệu quả của quy tắc Mobinus không?

3. Bây giờ chúng ta đưa ra một định nghĩa chặt chẽ về diện tích bằng cách sử dụng quy tắc Mobinus.

Trước hết, chúng ta hãy làm rõ khu vực mà chúng ta sẽ nói đến những nhân vật nào. Chúng ta hãy gọi một đường gãy khép kín tùy ý là đa đỉnh mà thứ tự các đỉnh $^*$ được chỉ định.

Ký hiệu $\overline{A_1A_2 \dots A_n}$ có nghĩa là đỉnh $A_2$ theo sau đỉnh $A_1$, $A_3$ theo sau $A_2$, …, $A_n$ theo sau $A_{n-1}$ và cuối cùng, và rất quan trọng! — $A_1$ theo sau $A_n$. Thứ tự này được gọi là tuần hoàn (hoặc tuần hoàn). Từ định nghĩa này, suy ra rằng đối với các đỉnh $n$-đỉnh $\overline{A_1A_2 \dots A_n}$ phù hợp cũng có thể được biểu thị như sau: $\overline{A_2A_3 \dots A_nA_1}$. Do đó, các mục $\overline{ABC}$, $\overline{BCA}$, $\overline{CAB}$ có nghĩa là ba đỉnh có thứ tự giống nhau và các mục $\overline{BAC}$, $\overline{ACB}$, $\overline{CBA}$ có nghĩa là ba đỉnh có thứ tự khác. Chúng ta sẽ nói rằng ba đỉnh $\overline{ABC}$ và $\overline{BAC}$ hướng ngược với vị trí.

Đối với các cấu trúc đa đỉnh được định hướng (có thứ tự) mà chúng ta muốn định nghĩa khái niệm diện tích.

Hãy làm theo cách này. Hãy để chúng tôi chỉ ra một số tính chất chính của nó. Các tính chất này sẽ không được chứng minh nhưng mọi phát biểu khác về diện tích các cấu trúc đa đỉnh định hướng sẽ được suy ra từ các tính chất này. (Phương pháp định nghĩa này, được hiểu trong toán học, được gọi là tiên đề.) Vì vậy, chúng tôi tin rằng mỗi đa đỉnh $\overline{A_1A_2 \dots A_n}$ được gán một số nhất định - pl. $\overline{A_1A_2 \dots A_n}$; nó có thể không chỉ dương mà còn có thể âm, thậm chí bằng 0; trong trường hợp này các tính chất sau được đáp ứng:

(I) $\overline{ABC} = -\text{пл. } \overline{BAC}$;

(II) $\overline{A_1A_2A_3 \dots A_n} = \text{пл. } \overline{A_1A_2A_3} + \text{пл. } \overline{A_1A_3A_4 \dots A_n}$. Nếu chúng ta cho rằng đa đỉnh $\overline{A_1A_2 \dots A_n}$ trùng với đa đỉnh $\overline{A_2A_3 \dots A_nA_1}$ thì tính chất này có thể được viết như sau:

(II’) $\overline{A_2A_3 \dots A_nA_1} = \text{пл. } \overline{A_2A_3A_4} + \text{пл. } \overline{A_2A_4 \dots A_nA_1}$.

Bây giờ chúng ta hãy quay lại Định lý 1. Cơ sở của sự tương ứng (I) và (II), nó đã có thể được xây dựng và chứng minh rồi! Trên thực tế, cho dù các điểm $PABC$ nằm trong mặt phẳng bốn như thế nào thì các đẳng thức vẫn diễn ra - theo (II) và (II’): pl. $\overline{PABC} = \text{пл. } \overline{PAB} + \text{пл. } \overline{PBC}$; làm ơn. $\overline{PABC} = \text{пл. } \overline{ABCP} = \text{пл. } \overline{ABC} + \text{пл. } \overline{ACP}$ và do đó xin vui lòng. $\overline{PAB} + \text{пл. } \overline{PBC} = \text{пл. } \overline{ABC} + \text{пл. } \overline{ACP}$, tức là xin vui lòng. $\overline{ABC} = \text{пл. } \overline{PAB} + \text{пл. } \overline{PBC} - \text{пл. } \overline{ACP}$. Có tính đến điều đó nhờ vào (I), pl. $\overline{ACP} = -\text{пл. } \overline{PCA}$, chúng tôi nhận được xin vui lòng. $\overline{ABC} = \text{пл. } \overline{PAB} + \text{пл. } \overline{PBC} + \text{пл. } \overline{PCA}$.

Bây giờ hãy thử tìm ra ký hiệu cần thiết cho Định lý 1:

Định lý 2. Cho dù điểm $P$ nằm trong mặt phẳng của đa đỉnh có thứ tự $\overline{A_1A_2 \dots A_n}$ thì đẳng thức pl. $\overline{A_1A_2 \dots A_n} = \text{пл. } \overline{PA_1A_2} + \text{пл. } \overline{PA_2A_3} + \dots + \text{пл. } \overline{PA_nA_1}$.

Rút ra một hệ quả từ điều này

7

Hình 12, A.

Bài 4. Chứng minh $(A_3)$ nếu
a) $\lambda$ là số nguyên dương,
b) $\lambda$ là số hữu tỉ dương,
c) $\lambda$ là số hữu tỉ âm.

Thư từ $(A'_3)$ $S(\lambda AB, MN) = S(AB, MN) \cdot \lambda$ cũng hợp lệ. (Bạn chỉ nên sử dụng $(A_3)$ và $(A_2)^*$.))

Để kết thúc danh sách các công thức này, chúng tôi sẽ chỉ ra rằng chúng bao hàm một định lý rất quan trọng cho toàn bộ lý thuyết về mặt phẳng:

Nếu các đoạn $AB$ và $CD$ thẳng hàng (tức là nằm trên các đường thẳng song song hoặc trên cùng một đường thẳng), thì

$$S(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}) = 0^*.$$

Thật vậy, do $(A_2)$ ta có

$$S(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AB}) = -S(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AB}),$$

và do đó

$$S(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AB}) = 0.$$

Nếu đoạn $\overrightarrow{CD}$ thẳng hàng với đoạn $\overrightarrow{AB}$ thì $\overrightarrow{CD} = \lambda \overrightarrow{AB}$; Đó là lý do tại sao

*) Không thể thiết lập tính đúng đắn của các công thức $(A_3)$ và $(A'_3)$ đối với số vô tỷ $\lambda$ dựa trên công thức $(A_1)$. Để mở rộng các công thức này thành số vô tỷ $\lambda$, cần phải áp đặt các hạn chế neokotny đối với biểu thức $S(\overrightarrow{AB}, \lambda MN)$ như một hàm của $\lambda$. Chẳng hạn, chỉ cần giả định rằng hàm này là đơn điệu là đủ.

**) Vâng, điều này rất tuyệt! - người đọc sẽ nói.

Xét cho cùng, hình bình hành $PQRS$, được xây dựng trên các đoạn thẳng thẳng hàng, được biểu thị như sau: tất cả các đỉnh của nó nằm trên cùng một đường thẳng và do đó diện tích của nó bằng 0. Tuy nhiên, việc sử dụng từ “posto” trong “điều kỳ diệu” này về mặt logic là không hợp lý chút nào - chỉ trong những trường hợp đó, chúng ta mới có thể nói “posto” khi chúng ta dựa vào các quy định chính của I, II, III hoặc dựa trên các định lý đã được chứng minh với sự trợ giúp của chúng.

8

III. Tính toán mặt phẳng định hướng của đa đỉnh phẳng có thứ tự tùy ý

7. Đặt $O$ là một điểm được chọn tùy ý trên mặt phẳng và đặt các vectơ $\overrightarrow{OE}_1$ và $\overrightarrow{OE}_2$ nằm trong đó không phải là hình tròn.

Nếu $x_1$ và $x_2$ là hai số tùy ý thì vectơ $x_1\overrightarrow{OE}_1+x_2\overrightarrow{OE}_2$ được gọi là tổ hợp tuyến tính của các vectơ $\overrightarrow{OE}_1$ và $\overrightarrow{OE}_2$.

Cho phép

(1) $x_1\overrightarrow{OE}_1+x_2\overrightarrow{OE}_2=\overrightarrow{OP}$.

Như vậy, việc chỉ định một cặp số có thứ tự ($x_1; x_2$) đồng thời xác định điểm $P$ (tương ứng với cặp số này). Người ta thường nói rằng $x_1$ là tọa độ đầu tiên của điểm $P$, $x_2$ là tọa độ thứ hai của điểm $P$ so với hệ tọa độ $\langle O; E_1, E_2 \rangle$ được xác định bởi gốc $O$ và “vectơ tỷ lệ” $\overrightarrow{OE}_1$ và $\overrightarrow{OE}_2$.

Trong phần trình bày sau đây, chúng tôi sẽ giả sử rằng điểm $O$ và các vectơ $\overrightarrow{OE}_1$ và $\overrightarrow{OE}_2$ là cố định và chúng tôi sẽ sử dụng ký hiệu (1) cùng với ký hiệu ngắn: $P=(x_1, x_2)$.

Bài toán 6. Các điểm của mặt phẳng nằm ở đâu ($O, E_1, E_2$):

a) có tọa độ đầu tiên (trong hệ $\langle O; E_1, E_2 \rangle$) là một số dương (âm) và tọa độ thứ hai bằng 0,

b) cả hai tọa độ đều là số dương (âm),

b) tọa độ đầu tiên là dương (âm) và tọa độ thứ hai là dương)?

Cho các số $x_1$ và $x_2$ tất cả các giá trị có thể có trong công thức (1), ta thu được tất cả các vectơ có thể có $\overrightarrow{OP}$ của mặt phẳng chứa các điểm $O$, $E_1$, $E_2$; nói cách khác, mỗi điểm $P$ của mặt phẳng này có cặp tọa độ riêng: $x_1; x_2$ (Hình 13). Dễ dàng thấy rằng chúng có thể được tính bằng các công thức sau:

(2) $x_1 = \frac{\pi l. \overrightarrow{OPE}_2}{\pi l. \overrightarrow{OE}_1 E_2}; \quad x_2 = \frac{\pi l. \overrightarrow{OPE}_1}{\pi l. \overrightarrow{OE}_2 E_1}$.

Thật vậy, nhân (xiên!) lần

9

IV. Bài toán Mobius và các sản phẩm của nó

10. Trong bài viết có tựa đề này (trong số thứ ba của tạp chí của chúng tôi năm ngoái), chúng tôi đã đề xuất chứng minh rằng dù các hình ngũ giác A, B, C, D và E nằm trong mặt phẳng như thế nào thì diện tích x của hình ngũ giác $\overline{ABCDE}$ vẫn là nghiệm của phương trình bậc hai

(3) $x^2 - x(a + b + c + d + e) + (ab + bc + cd + de + ea) = 0$,

trong đó a, b, c, d, e là diện tích ba đỉnh định hướng $\overline{ABC}, \overline{BCD}, \overline{CDE}, \overline{DEA}, \overline{EAB}$.

Sự quan tâm đặc biệt mà bài toán này gợi lên là do ngũ bộ $\overline{ABCDE}$ có thể không lồi và thậm chí có các cạnh cắt nhau (Hình 14); Do đó, không có gì đáng ngạc nhiên khi các số a, b, c, d và e cũng có thể âm.

Chứng minh tao nhã mà Möbius đưa ra sử dụng bộ máy toán học đặc biệt mà ông mô tả - phép tính barycentric (barycenter - trọng tâm), mà Möbius phát hiện ra khi nghiên cứu các vấn đề của cơ học vật rắn. Đại số vectơ hiện đại cũng phát sinh dưới ảnh hưởng của những ý tưởng này của Möbius. Chúng tôi sẽ giới thiệu với độc giả bằng chứng vectơ bài toán của Möbius - nó sử dụng lý thuyết về các vùng định hướng được mô tả ở trên, chính xác hơn là “danh tính Möbius” đã được chứng minh ở đoạn 8 - mà chúng tôi sẽ viết như sau:

làm ơn. $\overline{ABC} \cdot$ xin vui lòng. $\overline{ADE}$ +
(4) + xin vui lòng. $\overline{ADB} \cdot$ xin vui lòng. $\overline{ACE}$ +

• làm ơn. $\overline{ABE} \cdot$ xin vui lòng. $\overline{ACD} = 0$.

Do tính chất của khu vực định hướng pl. $\overline{ABCDE} = x =$ xin vui lòng. $\overline{ABC}$ +

• làm ơn. $\overline{ACD} +$ xin vui lòng. $\overline{ADE} = a +$ xin vui lòng. $\overline{ACD} +$d;

x = hình vuông $\overline{CDE} +$ pl. $\overline{CEA}$ +

• làm ơn. $\overline{CAB} = c +$ xin vui lòng. $\overline{CEA} + a$,

x = hình vuông $\overline{DEA} +$ pl. $\overline{DAB}$ +

• làm ơn. $\overline{DBC} = d +$ xin vui lòng. $\overline{DAB} + b$, và do đó