Nghịch lý thân hình to lớn

54

V. Orlov

Nghịch lý thân hình to lớn

Đối với lời giải bài toán, trong đó sự tương tác của một vật thể có khối lượng khác nhau đáng kể được xem xét, sự thay đổi năng lượng của một vật thể có khối lượng lớn hơn thường bị bỏ qua. Và sự bỏ bê này thường hóa ra lại đúng. Tuy nhiên, cần phải hiểu rõ ràng khi nào giả định đó có thể thực hiện được và khi nào điều này không thể thực hiện được.

Để làm rõ vấn đề này, hãy xem xét một chuỗi bài toán được xây dựng dưới dạng nghịch lý.

Bài toán 1. Một hòn đá có khối lượng $m$ rơi xuống Trái đất từ ​​độ cao $h$. 1) Hãy viết định luật bảo toàn năng lượng, xét chuyển động của hòn đá trong hệ thống báo cáo gắn với khối tâm của hệ đá-Trái Đất. Vào thời điểm hòn đá rơi xuống Trái đất, toàn bộ thế năng $mgh$ của nó đã chuyển hóa thành động năng $\frac{mv^2}{2}$:

$$mgh = \frac{mv^2}{2},$$

trong đó $v$ là tốc độ của hòn đá trước khi chạm đất.

2. Chúng ta hãy viết định luật bảo toàn năng lượng, xét chuyển động trong hệ thống báo cáo liên quan đến một thang máy chuyển động xuống với tốc độ không đổi

Trong bài viết này, chúng ta sẽ gọi một vật thể “lớn” là vật thể có khối lượng lớn gấp nhiều lần khối lượng của các vật thể khác tương tác với nó.

chiều cao $v$ so với Trái đất. Trong hệ này, Trái đất có động năng $\frac{Mv^2}{2}$ (M là khối lượng của Trái đất), hòn đá tại thời điểm ban đầu có động năng $\frac{mv^2}{2}$ và thế năng $mgh$. Vào thời điểm hòn đá rơi xuống Trái đất, cả động năng và thế năng của nó đều bằng 0, nên đối với mọi hệ ta có thể viết:

$$\frac{Mv^2}{2} + \frac{mv^2}{2} + mgh = \frac{Mv^2}{2} \Rightarrow \frac{mv^2}{2} + mgh = 0.$$

Hóa ra định luật bảo toàn năng lượng không được đáp ứng trong hệ thống “thang máy”, mà được đáp ứng trong hệ thống báo cáo, liên quan đến việc thang máy chuyển động với tốc độ không đổi. Nghịch lý?!

Bài toán 2. Một viên đạn có khối lượng $m$ di chuyển với tốc độ $v$ đâm vào sườn núi và mắc kẹt ở đó.

Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng trong hệ tường thuật trong đó Trái Đất đứng yên, ta tìm được sự biến thiên năng lượng của viên đạn:

$$\Delta K_1 = 0 - \frac{mv^2}{2} = -\frac{mv^2}{2}.$$

Chúng ta sẽ xem xét chuyển động của một viên đạn trong hệ thống báo cáo liên kết với súng máy, hệ thống này di chuyển với tốc độ $u$ cùng hướng với viên đạn. Khi đó độ biến thiên động năng của viên đạn bằng

55

$$\Delta K_2 = \frac{mu^2}{2} - \frac{m(|\vec{v} - \vec{u}|)^2}{2} = -\frac{mv^2}{2} + m|\vec{v}||\vec{u}|.$$

3. Trong hệ quy chiếu gắn với súng máy di chuyển với tốc độ $\vec{u}$ theo hướng ngược với hướng chuyển động của viên đạn,

$$\Delta K_3 = \frac{mu^2}{2} - \frac{m(|\vec{v} + \vec{u}|)^2}{2} = -\frac{mv^2}{2} - m|\vec{v}||\vec{u}|.$$

Một phần động năng của viên đạn đi đâu? Khi viên đạn đột ngột giảm tốc độ sẽ sinh ra nhiệt; nói cách khác, năng lượng của viên đạn chuyển thành nhiệt: $|\Delta K| = Q$. Và chúng ta có thể thay đổi lượng nhiệt thoát ra (chẳng hạn như một viên đạn bắn trúng nhiệt lượng kế một cách chính xác). Tuy nhiên, theo lý luận của chúng tôi, nếu chúng tôi thực hiện cùng một thay đổi ba lần, chúng tôi sẽ nhận được các kết quả khác nhau: $Q_1 \neq Q_2 \neq Q_3$. Nghịch lý?!

Bạn có thể nghĩ ra nhiều bài toán tương tự khác, trong đó “nghịch lý” chỉ phát sinh do hệ thống các vật thể đang được xem xét không khép kín và trong mọi lý do, điều này không được tính đến. Trong bài toán 2 ở trên, hệ thống không bao gồm các vật thể “lớn” như Trái đất. Và trong bài toán 1, ​​​​đoạn 2), mặc dù được đưa vào hệ Trái đất nhưng độ biến thiên năng lượng của nó được coi là bằng 0. Tuy nhiên, trong đoạn 1) Năng lượng Trái đất hoàn toàn không xuất hiện, bất kỳ độc giả nào cũng có thể sẽ nói rằng mọi thứ được viết ở đây đều chính xác.

Có chuyện gì vậy? Tại sao chúng ta nhận được kết quả hoàn toàn chính xác khi chọn một số hệ quy chiếu nhưng lại nghịch lý khi chọn các hệ quy chiếu khác? Nên chọn hệ quy chiếu nào cho lời giải bài toán sao cho chỉ có thể bỏ qua khối lượng lớn hơn, từ đó đơn giản hóa lời giải bài toán? Để trả lời những câu hỏi này, chúng ta hãy quay trở lại những vấn đề “nghịch lý” và thực hiện mọi lý luận “tuyệt đối nghiêm ngặt”.

Bài toán 1.1) Trong hệ quy chiếu gắn với khối tâm của hệ vật thể Đá-Trái Đất, tại thời điểm ban đầu Trái Đất sẽ kết thúc và toàn bộ năng lượng của hệ bằng thế năng của hòn đá. Vào thời điểm hòn đá rơi xuống Trái đất, năng lượng của hệ bằng $\frac{mv^2}{2} + \frac{Mu^2}{2}$, trong đó $\vec{v}$ là tốc độ mà hòn đá đã di chuyển dưới tác dụng của lực hấp dẫn của Trái đất, và $\vec{u}$ là tốc độ mà Trái đất đã di chuyển dưới tác dụng của lực hấp dẫn của hòn đá. Hãy tìm vận tốc $\vec{u}$, áp dụng định luật bảo toàn động lượng:

$$m|\vec{v}| - M|\vec{u}| = 0,$$

Ở đâu

$$|\vec{u}| = \frac{m}{M}|\vec{v}|.$$

Bây giờ hãy viết định luật bảo toàn năng lượng của hệ:

$$mgh = \frac{mv^2}{2} + \frac{M|\vec{v}|^2}{2} = \frac{mv^2}{2}\left(1 + \frac{m}{M}\right).$$

Mục này là “hoàn toàn nghiêm ngặt.” Tuy nhiên, rõ ràng là trong mọi nhận thức bài toán (về sự rơi của các vật thể trên Trái đất) $m \ll M$ và độ lớn $\frac{m}{M}$ không có gì nhỏ so với 1 nên có thể bỏ qua. Khi đó trong hệ quy chiếu gắn với khối tâm của hệ vật thể đá-Trái đất, định luật bảo toàn năng lượng sẽ được viết như sau:

$$mgh = \frac{mv^2}{2}.$$

2. Trong hệ quy chiếu “thang máy”, năng lượng naal của hệ đá-Trái đất bằng $mgh + \frac{mv^2}{2} + \frac{Mu^2}{2}$, tại thời điểm hòn đá rơi xuống, năng lượng của hệ bằng $\frac{Mu^2}{2}$, trong đó $\vec{u}$ là tốc độ.

56

sự phát triển của Trái đất cho đến thời điểm này. Áp dụng định luật bảo toàn động lượng -

$$m \overrightarrow{v} + M \overrightarrow{v} = M \overrightarrow{u},$$

hãy tìm $\overrightarrow{u}$:

$$\overrightarrow{u} = \left| \overrightarrow{v} \right| \left( 1 + \frac{m}{M} \right).$$

Vậy động năng của hệ tại thời điểm hòn đá rơi bằng

$$\frac{M u^2}{2} = \frac{M v^2}{2} + mv^2 + \frac{m}{M} \cdot \frac{m v^2}{2}.$$

Trước đây chúng ta tin rằng năng lượng của Trái đất không thay đổi và tại thời điểm hòn đá rơi bằng $\frac{M v^2}{2}$, tức là chúng ta đã bỏ qua giá trị $\frac{M u^2}{2} - \frac{M v^2}{2} = mv^2 + \frac{m}{M} \cdot \frac{m v^2}{2}$, giá trị này lớn hơn động năng của hòn đá. Rõ ràng đây là sai lầm của chúng tôi, dẫn đến nghịch lý này. Định luật bảo toàn năng lượng của một hệ phải được viết “nghiêm ngặt” như sau:

$$m g h + \frac{m v^2}{2} + \frac{M v^2}{2} = \frac{M v^2}{2} + mv^2 + \frac{m}{M} \cdot \frac{m v^2}{2}.$$

Sử dụng điều kiện vật “lớn”, tức là tính đến $m \ll M$, chúng ta có thể bỏ qua các đại lượng $\frac{m}{M} \cdot \frac{m v^2}{2}$, và sau đó từ định luật bảo toàn năng lượng chúng ta tìm được

$$m g h = \frac{m v^2}{2}!$$

Vì vậy, trong hệ quy chiếu gắn với khối tâm của hòn đá - hệ Trái đất, trong đó vật “lớn” - Trái đất - ban đầu bị bỏ rơi, sự biến thiên năng lượng của vật “lớn” có thể bỏ qua. Trong hệ thống “thang máy”, vật thể “lớn” Trái đất có tốc độ ban đầu là $v$, độ biến thiên năng lượng của nó tương đương với độ biến thiên năng lượng của một hòn đá và không thể bỏ qua sự thay đổi đó.

Những thay đổi về động năng của Trái đất trong hai hệ thống báo cáo đang xem xét có thể được tìm thấy theo một cách khác - bằng cách tính công của lực tại

57

chúng tôi nhận được

$$\Delta K_1 = \frac{mv^2}{2} \cdot \frac{m}{M},$$
$$\Delta K_2 = mv^2 + \frac{mv^2}{2} \cdot \frac{m}{M}.$$

Những kết quả này cho thấy sự thay đổi động năng của cùng một vật thể có thể khác nhau đáng kể trong các hệ thống cắt khác nhau. Tuy nhiên, định luật bảo toàn năng lượng đối với một hệ kín của các vật thể được thỏa mãn trong mọi hệ quy chiếu quán tính.

Bây giờ chúng ta chuyển sang bài toán 2.

Bài toán 2. Sự thay đổi động năng của viên đạn trong các hệ cắt được xem xét là khác nhau:

$$\Delta K_1 = -\frac{mv^2}{2},$$
$$\Delta K_2 = -\frac{mv^2}{2} + m |\vec{v}| |\vec{u}|,$$
$$\Delta K_3 = -\frac{mv^2}{2} - m |\vec{v}| |\vec{u}|.$$

Theo định lý về động năng - $A = \Delta K$ - công của ngoại lực, lực tác dụng lên viên đạn từ sườn núi cũng khác. Nói cách khác, hệ quả của chuyển động tương đối trong các hệ khác nhau bị cắt đứt bởi công tương đối của ngoại lực, và do đó, sự thay đổi động năng của hệ không kín của các vật cũng là tương đối.

Nghịch lý mà chúng tôi gặp phải trong bài toán này là do lỗi ghi âm

$$Q = -\Delta K.$$

Biểu thức này chỉ có giá trị đối với các hệ kín, vì đối với các hệ như vậy, sự thay đổi động năng của tất cả các vật trong hệ là bất biến (tức là không đổi) so với bất kỳ hệ ngưỡng quán tính nào.

Vậy trong bài toán 2 lượng vật được giải phóng là $Q = |\Delta K_\pi| + |\Delta K_3|$, trong đó $\Delta K_\pi$ và $\Delta K_3$ là sự thay đổi động năng của viên đạn và Trái Đất. Tuy nhiên, đáp số, thu được ở điểm 1), là đúng, đây là lượng nhiệt được giải phóng, trong bất kỳ hệ nào chúng ta giải bài toán:

$$Q = |\Delta K_1| = \frac{mv^2}{2}.$$

Hãy chứng minh nhận định này. Để làm điều này, chúng ta hãy thực hiện nghiêm túc tất cả các lý do trước đó:

1. Trong hệ giới hạn mà Trái đất (ngọn núi) ban đầu kết thúc, năng lượng của hệ bằng động năng của viên đạn $\frac{mv^2}{2}$. Khi một viên đạn bắn trúng một ngọn núi, Trái đất đạt được một tốc độ nhất định $\vec{u}$, mà chúng ta có thể tìm thấy từ định luật bảo toàn động lượng: $M |\vec{u}| = m |\vec{v}|$, do đó $|\vec{u}| = \frac{m}{M} |\vec{v}|$. Do đó, Trái đất thu được động năng $\Delta K'_3 = \frac{Mu^2}{2}$ và định luật bảo toàn năng lượng mọi hệ đều phải viết dưới dạng

$$|\Delta K_\pi| = \frac{mv^2}{2} = \frac{m}{M} \cdot \frac{mv^2}{2} + Q,$$

hoặc

$$Q = \frac{mv^2}{2} - \frac{m}{M} \cdot \frac{mv^2}{2}.$$

Sử dụng điều kiện của vật “lớn hơn” - $m \ll M$, ta có

$$Q = \frac{mv^2}{2} = |\Delta K_1|!$$

2. Trong hệ thống cắt liên kết với súng máy di chuyển với tốc độ $\vec{u}$ cùng hướng với viên đạn, động năng của Trái Đất thay đổi theo giá trị $\Delta K'_3$. Sự thay đổi này là do tốc độ của nó giảm từ giá trị $|\vec{u}|$ xuống giá trị $|\vec{u} - \Delta \vec{u}|$.

Giá trị $\Delta u$ có thể được xác định bằng cách áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hệ đạn-Trái Đất của các vật thể trong hệ giới hạn quán tính liên kết với khối tâm của chúng (sự thay đổi vận tốc của hệ số bất biến của hệ giới hạn quán tính!):

$$M |\vec{u}| = m |\vec{v}|, \quad \Delta u = \frac{m}{M} |\vec{v}|.$$

Cho giá trị này $\Delta u$ sự thay đổi động năng của Trái đất

58

trong hệ thống báo cáo đang được xem xét bằng

$$\Delta K_3' = \frac{M(u - \Delta u)^2}{2} - \frac{Mu^2}{2} = -$$

$$-M|\vec{u}||\Delta\vec{u}| + \frac{M\Delta u^2}{2} = -m|\vec{v}||\vec{u}| + \frac{m}{M} \cdot \frac{mv^2}{2}.$$

Vì $m \ll M$, chúng ta có thể viết: $\Delta K_3' = -mvu$.

Xét đến sự giảm năng lượng của Trái đất, ta viết định luật bảo toàn năng lượng dưới dạng

$$\frac{m(v - u)^2}{2} = \frac{mu^2}{2} - m|\vec{v}||\vec{u}| + Q.$$

Từ đây

$$Q = \frac{mv^2}{2}!$$

3. Trong hệ thống báo cáo liên quan đến súng máy di chuyển với tốc độ $u$ theo hướng ngược với hướng của viên đạn, động năng của Trái đất tăng lên một lượng $\Delta K_3''' = m|\vec{v}||\vec{u}|$. (Chứng minh điều này tương tự như trên.) Xét đến sự giảm động năng của Trái đất, định luật bảo toàn năng lượng có thể viết dưới dạng

$$\frac{m(v + u)^2}{2} = \frac{mu^2}{2} + m|\vec{v}||\vec{u}| + Q.$$

Từ đây

$$Q = \frac{mv^2}{2}!$$

Vì vậy, biểu thức $Q = \Delta K$, chỉ hợp lệ cho các hệ vật thể đóng (tức là khi $\Delta K$ là sự thay đổi năng lượng của toàn bộ hệ thống), hóa ra lại đúng cho một hệ vật thể mở, khi hệ thống này được xem xét trong hệ thống báo cáo trong đó vật thể “lớn” ban đầu sẽ kết thúc.

Để kết luận, chúng tôi mời bạn tự mình tìm ra những “nghịch lý” sau đây.

1. Ô tô $A$ di chuyển với tốc độ $v$ so với Trái đất. Sau khi tốc độ của máy tăng gấp đôi thì động năng của máy tăng một lượng

$$\Delta K_1 = \frac{m(2v)^2}{2} - \frac{mv^2}{2} = \frac{3}{2}mv^2.$$

Theo quan điểm của người quan sát nằm trong ô tô tự động $B$, chuyển động với cùng tốc độ $v$ và cùng hướng với ô tô tự động $A$, sự thay đổi động năng của ô tô tự động $A$ sẽ bằng

$$\Delta K_2 = \frac{mv^2}{2} - 0 = \frac{mv^2}{2}.$$

Đối với một người quan sát ở trong ô tô $B$, chuyển động với cùng tốc độ tuyệt đối với ô tô $A$, nhưng theo hướng ngược lại, độ biến thiên động năng của ô tô $A$ sẽ bằng

$$\Delta K_3 = \frac{m(3v)^2}{2} - \frac{m(2v)^2}{2} = \frac{5}{2}mv^2.$$

Kết quả thoạt nhìn thật kỳ lạ: lượng nhiên liệu đã tiêu hao trong số tự động $A$ không thay đổi, nhưng sự thay đổi trong động năng tự động $A$ là khác nhau trong các hệ thống báo cáo khác nhau. Ở đây có mâu thuẫn với định luật bảo toàn năng lượng không?

2. Một viên đạn có khối lượng $m$, di chuyển với tốc độ $v$, bắn trúng một bệ cát đang chuyển động với tốc độ $u$ theo cùng một hướng và bị kẹt ở đó. Chúng ta hãy tìm số lượng Tellot được phát hành trong trường hợp này.

Trong hệ thống báo cáo liên kết với Trái đất,

$$Q_1 = \frac{mv^2}{2} - \frac{mu^2}{2} = \frac{m}{2}(v^2 - u^2).$$

Trong hệ thống báo cáo được liên kết với nền tảng,

$$Q_2 = \frac{m}{2}(v - u)^2.$$

Hóa ra đó là một nghịch lý: có lẽ một viên đạn sẽ tan chảy trong hệ thống báo cáo này, nhưng lại không ở hệ thống báo cáo khác?

3. Trên thực tế, từ một khẩu pháo được lắp đặt, một phát đạn được bắn theo hướng bay dễ dàng với tốc độ $u$.

1. Để đường đạn, so với hệ thống báo cáo, di chuyển với tốc độ $u$, đạt tốc độ $v$. Động năng $\frac{mv^2}{2}$ được truyền vào đạn do năng lượng $\Pi$ của khí bột già:

$$\Pi = \frac{mv^2}{2}.$$

2. So với khung báo cáo liên quan đến Trái đất, tốc độ đạn là $v + u$ và do đó

$$\Pi = \frac{m(v + u)^2}{2} - \frac{mu^2}{2}.$$

Vì giá trị $\Pi$ là bất biến đối với hệ thống báo cáo, nên từ điều được xem xét ở trên, suy ra rằng

$$v^2 + u^2 = (v + u)^2.$$

Tìm lỗ hổng trong lập luận.