Đại học quốc gia Moscow được đặt theo tên. M. V. Lomonosova

45

Khoa Vật lý

4. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} \sqrt{\frac{2x-1}{y+2}} + \sqrt{\frac{y+2}{2x-1}} = 2, \\ x+y = 12. \end{cases}$$

5. Giải phương trình
   $$\log_2 x - \log_2 \cos x - \log_2 (1-tg x) - \log_2 (1+tg x) = 1.$$

6. Giải phương trình
   $$3^{2x^2} - 2.3^{x^2+x+6} + 3^{2(x+6)} = 0.$$

7. Với những giá trị nào của $x$ thì bất đẳng thức đúng?
   $$2 \sin^2 \left( x - \frac{\pi}{3} \right) - 5 \sin \left( x - \frac{\pi}{3} \right) + 2 > 0?$$

Vật lý
Khoa Cơ học và Toán học

1. Sự trộn lẫn của chùm tia tới từ không khí lên một tấm kính phẳng song song có thể lớn hơn độ dày của tấm này không? Tìm sự trộn chùm tia tối đa.

Khoa Vật lý

2. Tìm cường độ dòng điện chạy qua ampe kế và điện tích trên các bản tụ trong mạch như hình vẽ, nếu các giá trị $d$, $c$ của nguồn dòng điện là $\varepsilon$ thì điện trở trong của nó là $r$, điện dung của tụ là $C$, giá trị điện trở ở mạch ngoài là $R$.

Khoa Hóa học và Sinh học

3. Một quả bóng tennis được ném ở độ cao $H$ so với sàn và khoảng cách $s$ tính từ bức tường thẳng đứng song song với sàn. Vận tốc ban đầu của quả bóng phải là bao nhiêu để sau khi phản xạ đàn hồi tuyệt đối từ tường, nó rơi xuống sàn ở khoảng cách tính từ tường lớn hơn $s$?

V. Alimtsev, L. Berkovich, S. Meshchkov, A. Khvostmov

Đại học quốc gia Moscow được đặt theo tên. M. V. Lomonosova

Dưới đây là các phiên bản đã xuất bản của bài kiểm tra viết môn toán được cung cấp tại Khoa Toán tính toán và Điều khiển học cũng như tại Khoa Vật lý (dành cho những học sinh tốt nghiệp trung học năm 1977) và các ví dụ về bài kiểm tra miệng bài toán trong vật lý.

Matematika

Khoa Toán tính toán và Điều khiển học

1. Giải bất đẳng thức
   $$2^{2x+1} - 21 \left( \frac{1}{2} \right)^{2x+3} + 2 \geq 0.$$

2. Trong một tam giác, một trong các góc bằng hiệu của hai góc còn lại, chiều dài cạnh ngắn hơn là 1 và tổng diện tích các hình vuông dựng trên hai cạnh kia gấp đôi diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác. Tìm độ dài cạnh dài nhất của tam giác.

3. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} \sin^2 \left( -2x \right) - \left( 3 - \sqrt{2} \right) tg \left( 5y \right) = \\ = \frac{3 \sqrt{2}-1}{2}, \\ tg^2 \left( 5y \right) + \left( 3 - \sqrt{2} \right) sin \left( -2x \right) = \\ = \frac{3 \sqrt{2}-1}{2}. \end{cases}$$

4. Các thành phố $A, B, C, D$, nằm sao cho tứ giác $ABCD$ lồi, được kết nối bằng các đường thẳng $AB=6$ km, $BC=14$ km, $CD=5$ km, $AD=15$ km và $AC=15$ km.

Ba du khách rời khỏi một trong những thành phố cùng lúc, đi bộ không ngừng với tốc độ không đổi. Các tuyến đường của tất cả khách du lịch đều khác nhau, và mỗi tuyến đường bao gồm ba con đường và đi qua các thành phố. Khách du lịch thứ nhất và thứ hai gặp nhau ở cùng một thành phố trước khi hoàn thành tam giác tuyến đường đắt đỏ, còn khách thứ ba thì hoàn thành

46

tuyến đường đi trước một giờ so với khách du lịch đã hoàn thành tuyến đường cuối cùng.

Tìm vận tốc của khách du lịch nếu tốc độ của khách du lịch thứ ba lớn hơn tốc độ của khách du lịch thứ hai và nhỏ hơn tốc độ của khách du lịch thứ nhất $\frac{1}{2}$ km/giờ và tốc độ của tất cả khách du lịch đều nằm trong khoảng từ 5 km/giờ đến 8 km/giờ.

5. Tìm tất cả các giá trị của tham số $\alpha$ thỏa mãn các bất đẳng thức $0 \leqslant \alpha \leqslant \frac{\pi}{2}$ sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm $f(x) = 3x^4 + 4x^3(\cos\alpha - \sin\alpha) - 3x^2\sin2\alpha$ trên khoảng $-\sin\alpha \leqslant x \leqslant \cos\alpha$ nhận giá trị nhỏ nhất.

Khoa Vật lý

1. Giải phương trình
   $$\sin^2x = \frac{3}{4}.$$

2. Tìm diện tích của hình khép kín được giới hạn bởi các đường thẳng:
   $$y = 0, \quad y = 20 - 2x^2 - 6x.$$

3. Tìm số hạng phủ định của dãy
   $$x_n = \frac{A_n^4 + 4}{P_n + 2} - \frac{143}{4P_n} (n = 1, 2, 3, \dots),$$
   trong đó $A_n^4$ là số lượng vị trí và $P_n + 2$ và $P_n$ là số lượng hoán vị.

4. Cho một hình thang đều có đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp xung quanh. Tỉ số giữa chiều cao của hình thang và bán kính của đường tròn ngoại tiếp là $\sqrt{\frac{2}{3}}$. Tìm các góc của hình thang.

5. Độ dài của cạnh hình lập phương $ABCDA_1B_1C_1D_1 \times ((AA_1)||(BB_1)||(CC_1)||(DD_1))$ bằng 1. Trên cạnh $AA_1$ lấy một điểm $E$ sao cho độ dài của đoạn $AE$ bằng $\frac{1}{3}$. Trên cạnh $BC$ lấy một điểm $F$ sao cho độ dài của đoạn $BF$ bằng $\frac{1}{4}$.

Một mặt phẳng $\alpha$ được vẽ qua tâm của khối lập phương và các điểm $E$ và $F$. Tìm khoảng cách từ đỉnh $B_1$ đến mặt phẳng $\alpha$.

I. Gorev

Vật lý

Khoa Vật lý

1. Sau vụ nổ của một tên lửa bay thẳng đứng, ba mảnh có khối lượng bằng nhau được hình thành, đồng thời rơi xuống đất. Khoảng cách từ nơi phóng đến nơi rơi của hai người bằng $s_1 = 3$ km và $s_2 = 4$ km, các đường nối điểm rơi của chúng với nơi xuất phát tạo thành một góc vuông với nhau. Khoảng cách $s_3$ từ điểm xuất phát đến nơi mảnh thứ ba rơi là bao nhiêu? (Sức cản của không khí không được tính đến khi tính toán).

2. Một vật có khối lượng $m = 1$ kg được nối bằng một sợi dây với một điểm cố định $O$ và bằng sợi dây thứ hai,

ném qua một khối không trọng lượng $B$, có khối lượng $M = 2$ kg (Hình 1). Tại một thời điểm nào đó, góc $OAB$ vuông và đoạn $OA$ tạo thành một góc $\alpha = 30^\circ$ với đường chân trời. Xác định độ căng chỉ $AB$ tại thời điểm này.

3. Trên một cân bệ có khối lượng $M = 10$ kg có khối lượng $m = 3$ kg (Hình 2). Với lực tối thiểu là bao nhiêu $|\vec{F}|$ lò xo của cân phải được nén lại để sau khi dừng lực, vật nảy lên trên bệ khi nâng?

4. Hình dạng một cái thang được tán đinh từ hai dải kim loại mỏng (Hình 3). Khoảng cách giữa các sọc là $a$. Các dải có hệ số giãn nở tuyến tính khác nhau $a_1$ và $a_2$ ($a_1, a_2 \leqslant 1$). Khi được làm nóng, do các dải có độ giãn dài khác nhau, cầu thang sẽ bị uốn cong. Tìm bán kính cong của cầu thang nếu nó bị nung nóng $\Delta t$ độ