Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

45

Физический факультет

4. Решить систему уравнений
   $$\begin{cases} \sqrt{\frac{2x-1}{y+2}} + \sqrt{\frac{y+2}{2x-1}} = 2, \\ x+y = 12. \end{cases}$$

5. Решить уравнение
   $$\log_2 x - \log_2 \cos x - \log_2 (1-tg x) - \log_2 (1+tg x) = 1.$$

6. Решить уравнение
   $$3^{2x^2} - 2.3^{x^2+x+6} + 3^{2(x+6)} = 0.$$

7. При каких значениях $x$ выполняется неравенство
   $$2 \sin^2 \left( x - \frac{\pi}{3} \right) - 5 \sin \left( x - \frac{\pi}{3} \right) + 2 > 0?$$

Физика
Механико-mатематический факультет

1. Может ли смешение луча, падающего из воздуха на плоскопаральную стеклянную пластину, быть больше толщины этой пластины? Найти максимальное смешение луча.

Физический факультет

2. Найти силу тока, текущего через амperметр, и заряд на обкладках конденсатора в схеме, изображенной на рисунке, если величины $d$, $c$, источника тока равна $\varepsilon$, его внутреннее сопротивление $r$, емкость конденсатора $C$, величины сопротивления во внешней цепи $R$.

Химiko-биологический факультет

3. На выcite $H$ от пола и расстоянии $s$ от вертикальной стены параллельно полу брошен теннисный шар. Какова должа быть начальная скорость движения шара, чтобы после абсолотного упругого отражения от стены он упал на пол на расстоянии от стены, большем $s$?

В. Алимцев, Л. Беркович, С. Мещков, А. Хвостмов

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Ниже публикуются варианты письменного экзамена по математике, предлагавшиеся на факультете вычислительной математики и кибернетики и на физическом факультете (для окончивших среднюю школа в 1977 году), и примеры задач устного экзамена по физике.

Matematika

Факультет вычислительной математики и кибернетики

1. Решить неравенство
   $$2^{2x+1} - 21 \left( \frac{1}{2} \right)^{2x+3} + 2 \geq 0.$$

2. В треугольнике, один из углов которого равен разности двух других, длина меньшей стороны равна 1, а сумма площадей квадратов, построенных на двух других сторонах, в два раза больше площади описанного около треугольника круга. Найти длину большей стороны треугольника.

3. Решить систему уравнений
   $$\begin{cases} \sin^2 \left( -2x \right) - \left( 3 - \sqrt{2} \right) tg \left( 5y \right) = \\ = \frac{3 \sqrt{2}-1}{2}, \\ tg^2 \left( 5y \right) + \left( 3 - \sqrt{2} \right) sin \left( -2x \right) = \\ = \frac{3 \sqrt{2}-1}{2}. \end{cases}$$

4. Города $A, B, C, D$, расположенные так, что четырехугольник $ABCD$ — выпуклый, соединены прямолинейными дорогами $AB=6$ км, $BC=14$ км, $CD=5$ км, $AD=15$ км и $AC=15$ км.

Из одного из городов одновременно вышли три туриста, идущие без остановок с постоянными скоростями. Маршруты всех туристов разлины, причем каждый из них состоит из трех дорог и проходит через города. Первая и вторая туристы перед проходением треугольника дорогих маршрутов встретились в одном городе, а третьий закончил

46

маршрут на час раныше туриста, законившего маршрут последним.

Найти скорости туристов, если скорость треться больше скорости второго и на $\frac{1}{2}$ km/час меньше скорости первого, причем скорости всех туристов заклочены в интервале от 5 km/час до 8 km/час.

5. Найти все значения параметра $\alpha$, удовлетворяющего неравенствам $0 \leqslant \alpha \leqslant \frac{\pi}{2}$, при которых минимум функции $f(x) = 3x^4 + 4x^3(\cos\alpha - \sin\alpha) - 3x^2\sin2\alpha$ на отрезке $-\sin\alpha \leqslant x \leqslant \cos\alpha$ принимает наименьшее значение.

Физический факультет

1. Решить уравнение
   $$\sin^2x = \frac{3}{4}.$$

2. Найти площадь замкнутой фигуры, ограниченной линиями:
   $$y = 0, \quad y = 20 - 2x^2 - 6x.$$

3. Найти отрицательные члены последовательности
   $$x_n = \frac{A_n^4 + 4}{P_n + 2} - \frac{143}{4P_n} (n = 1, 2, 3, \dots),$$
   где $A_n^4$ — число размешений, а $P_n + 2$ и $P_n$ — числа перестановок.

4. Дана равноведенная трапеция, в которой вписана окружность и около которой описана окружность. Отношение высоты трапеции к радиусу описанной окружности равно $\sqrt{\frac{2}{3}}$. Найти углы трапеции.

5. Длина ребра куба $ABCDA_1B_1C_1D_1 \times ((AA_1)||(BB_1)||(CC_1)||(DD_1))$ равна 1. На ребре $AA_1$ взята точка $E$ так, что длина отрезка $AE$ равна $\frac{1}{3}$. На ребре $BC$ взята точка $F$ так, что длина отрезка $BF$ равна $\frac{1}{4}$.

Через центр куба и точки $E$ и $F$ проведена плоскость $\alpha$. Найти расстояние от вершины $B_1$ до плоскости $\alpha$.

И. Горев

Физика

Физический факультет

1. После взрыва ракеты, летящей вертикально, образовались три оскола одинаковой массы, которые уплали на землю одновременно. Расстояния от места старта до места падения двух из них равны $s_1 = 3$ km и $s_2 = 4$ km, причем линии, соединяющие места их падения с местом старта, составляют между собой прямой угол. Каково расстояние $s_3$ от места старта до места падения третьего оскола? (При вычислениях сопротивление воздуха не учитывается).

2. Тело массы $m = 1$ кг одной нитью связывано с неподвижной точкой $O$, а второй нитью,

перекинутоonerез неевесомый блок $B$, с темом массы $M = 2$ кг (рис. 1). В некоторых момент времени угол $OAB$ прямоий, а отрезок $OA$ составляет угол $\alpha = 30^\circ$ с горизонтом. Определить натяжение нити $AB$ в этот момент времени.

3. На платформеружных весов массы $M = 10$ кг лежит массы $m = 3$ кг (рис. 2). С какой минимальной силой $|\vec{F}|$ нужно сдавить пружину весов, чтобы после прекращения действия силы тела при подъеме подпрыгнуло на платформе?

4. Из двух металлических тонких полосок склепана фигура в виде лестницы (рис. 3). Расстояние между полосами равно $a$. Полоски имеют разные коэффициенты линейного расшириния $a_1$ и $a_2$ ($a_1, a_2 \leqslant 1$). При нагреве в результате различного удлинения полосок лестницы искривляется. Найти радиус кривизны лестницы, если ее нагреть на $\Delta t$ гра-