Задачи наших читателей

18

происходящие в равновесной макросоппечской системе, получили название флуктуаций. Существование флуктуаций является наиболееиллюстрацией правильности статистических ией Больцмана. Флуктуацией, которое всего легче и проще наблюдать, является броуновское движение, смысл которого заключится в следующем. Количество и средняя сила *) ударов молекул жидкости оединницу поверхности любого порруженного в жидкость тела является в состоянии статистического равновесия в полне определенных (при данной температуре жидкости) величины. Однако в действительности эти величины постоянно испытывают небольшие колбания, связанные с отсутствиями от статистического равновесия. Эти колбания так малы, что их в состоянии обнаружить лишь весма малая частица, помещенная

*) Средний импульс, передаваемый за единницу времени.

Задание
наших читателей

1. Для некоторых функций $f$ при всех $x$ верно соответствие
   $$f(x) = f(x-a) \cdot f(x+a),$$
   где $a$ — некоторое фиксированное число. Доказать, что
   a) функция $f$ периодическая;
   $$6) f(x-5a) \cdot f(x+5a) = f(x-7a) \cdot f(x+7a);$$
   в) найти период функции $f$.
   О. Светозерский
   (r. Владивосток, 8 класс)

2. Выпишем все простые числа, умноженные (каждое) на некоторое фиксированное натуральное число, одно за другим. Доказать, что в полученной последовательности цифр каждой цифра от 0 до 9 будет встречаться бесконечное число раз.
   В. Соболея
   (r. Москва, 10 класс)

3. Доказать, что если $x_0$ является общим корнем квадратных трехчленов $a_1x^2 + b_1x + c_1$ и $a_2x^2 +$

$$+b_2x + c_2, \quad D_1 \text{ и } D_2 \text{ — их дискриминаенты } (D_2 \neq 0),$$
$$\lim_{x \to x_0} \frac{a_1x^2 + b_1x + c_1}{a_2x^2 + b_2x + c_2} = \pm \frac{\sqrt{D_1}}{\sqrt{D_2}},$$
причем знак «плюс» берется, если $x_0$ — больший корень каждого трехчлена или меньший корень каждого трехчлена, а знак «минус» — если $x_0$ является большим корнем одного трехчлена и меньшим — другого.
Н. Васильева
(r. Новочеркаск, 10 класс)

4. Куб первого двухначного числа равен квадрату второго двухначного числа. Второе число в $n$ раз ($n \in \mathbb{N}$) больше первого. Найди эти двухначные числа.
   Н. Михалкович
   (Mинская обл.)

5. В шахматном турире по круговой системе (т. е. каждый шахматист играет со всеми остальных по одному разу) при подведении итоговоказать, что количество чисел, образуют арифметическую прогрессию. Сколько очков у чемпонана турира, если «аутсайдер» набрал $2\frac{1}{2}$ очка?

P. Винокур
(r. Москва)

6. Существует ли четырехзначное число $abcd$ такое, что
   a) $abcd = ac \cdot bd$;
   b) $abcd = ac \cdot bd + ac + bd$?
   G. Гольдфайн
   (r. Рига)

7. Найти четырехзначное число $abcd$, удовлетворяющее равенству
   $$abcd = 8ab \cdot (c + d).$$
   M. Штереберз
   (r. Саратов)

8. Найти три различных цифры $a, b$ и $c$ такие, что
   $$abc = ba \cdot bc.$$
   Э. Туркевич
   (r. Черновцы)