Как выглядит парабола?

38

Как выглідит парабола?

Старайся накладать различные приметы.

А. Земляков

Как выглідит парабола?

Старайся накладать различные приметы.

А. Пушкин

Вы никогда не задумывались над тем, почему парабoly — график квадратной функции $y=x^2$ — рисунот на координатной плоскости так, как показано на рисунке 1,a? Почем ее не рисунот так, как на рисунках 1,б или 1,в?

Вы можете ответить, что если рисовать график $y=x^2$ по точкам (рис. 2), то получится «как на рисунке 1,a». Однако нельзя взять бесконечного много пробных точек, и неопонятно, как все-tаки продолжить график при больших значениях $x$. Мы приведем два разных рассуждания, показывающих, что графики на рисунках 1,б и 1,в продолжении неправильно.

Алгебраическое рассуждание

Примяя $y=kx$ может пересекаться с парабoly $y=x^2$ не более, чем в двух точках (рис. 3,a; обьясните). Графики же на рисунках 1,б и 1,в некоторых из таких прямых пересекаются в трех или даже в большем числе точки (рис. 3,б,в).

Аналитическое рассуждание

Угловой коэффициент касательной к графику дифференцируемый функция $y=f(x)$ в точки с абсциссой $x$ равен $k(x)=f'(x)$ («Алгебра и на-

чала анализа 9», п. 52). Если при возрастании $x$ коэффициент $k(x)$ возрастает, то касательная образует все бóльший угол с осью $Ox$, а график идет все круче (в случае $k(x)>0$; см. рис. 4). Для квадратной функции $f(x)=x^2$ угловой коэффициент касательной $k(x)=2x$ как раз обладает этим свойством, и график $y=x^2$ идет все круче при $x>0$ (рис. 5,a). Напротив, угловые коэффициенты касательных к графику 1,б и 1,в убывают на промежутках от $a$ до $b$; см. рисунки 5б, в. (В этом рассуждении существенно использется геометрический смысл касательной — см. заменение 3 из упомянутого п. 52 учебника и статью «Геометрический смысл произвольной», «Квант», 1977, № 2).

Комментарий

Алгебраическое, как и аналитическое, рассуждание применимо не только к параболе, но и к другим графикам функции, в чем можно убедиться, решив задачи, предлагаемые ниже. Второе рассужждение, в котором анализируется характер поведения касательной к графику, к тому же приводит к важному понятию выпуклости функции (их графиков) (см. «Алгебра и на-alлалза 10», п. 79). Заметим, что возрастание или убывание углового коэффициента $k(x)=f'(x)$ может быть установлен с помощью произвольной: $k'(x)=f''(x)$, и $k(x)$ возрастает или убывает в зависимости от знака второй произвольной функции $f$.

Задание 1

1. Которая из графиков, изображенных на рисунке 6, может ответать функции $y=x^5$?

2. На рисунках 7, а, б изображены два графика степени функции $y=x^\alpha$, где $\alpha>0$. Для каждого из графиков $\alpha>1$, а для каждого $\alpha<1$?

(Приведите в заданных 1, 2 и аналитическое, и алгебраическое рассуждание.)

3. (10 класс). Как правило нарисовать графики $y=a^x$ и $y=\log_a x$ при $a>1$ — как на рисунках 8, а, 9, а, или как на рисунках 8, б, 9, б? (Ответ обосновyte.)