Вивианна

40

Вивиана

Кривую, определянию в подписи к четырёх странице обложки, называют иногда «кривой Вивиана», иногда «окнами Вивиана», иногда кратко «вивианной», а порой и просто «косой восмеркой» за ее форму. Указал на эту пространственную кривую впервые илляянский математик Винченко Вивиана (1622—1703), который посчастливилось быть учеником Г. Галилея и другом Э. Торричели. В 1692 г. Вивиана разослал ряд математиков письма, в которых предложил им проделать (разумется, умозрително) в «куполе» (полусфере) два окошка так, чтобы поверхность продыгавленного куплала была равновелка квадрату, который можно построить на диаметре куплала. Оказалось, что вивиана, если по ней выполнить разрез куплала, удовлетворяет условию этой задачи. Средние ученых, внимание которых привлекла задача Вивиана, были И. Бернули, Г. В. Лейбниц и Ж. П. Робервал.

Лейбниц с помощью интегрального исчисления справился с задачей Вивиана быстрее всех — за один день. Сам Вивиан решил свою задачу без помощью интегралов.

Вивианну можно построить циркуль на поверхности цилиндра; нужно только, чтобы расторился длина диаметра цилиндра, т. е. радиус сферы (рис. 1). Чтобы доказать эквивалентность двух определений вивианны, указанных в подписи к четырёх странице обложки, рассмотрим рисунок 2, на котором $O$ — центр сферы, $M$ — текущая точка вивианны, $A$ — точка, в котором вивиана сама себя пересекает, $N$ — проекция точки $M$ на основание цилиндра. Теперь из равенств $|OM| = |OA| = r$ следует, что $\frac{r \cos \alpha}{\cos \beta} = r$, т. е. $\alpha = \beta$.

В декартовых координатах вивиана определяется системой двух уравнений

$$\begin{cases} x^2 + y^2 + z^2 = R^2 \\ x^2 + y^2 = Rx \end{cases}$$

Пис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

представляет собой дуг паравольы.

Рассмотрим теперь центральные проекции вивианны из разных точек сферы на различных плоскости, проходящие через центр. Если центр проектирования принять точку $B$, то проекция вивианны на плоскость $Oxy$ будет строiona («Квант», 1977, № 2, с. 43). Если в качестве центра проектирования взять точку $A$, то проекция вивианны на плоскость $Oyz$ будет построiona гипербола (эта кривая обычно используется для демонстрации обратной пропорциональной величины). Если, наконец, оставить ту же плоскость проектирования, а в качестве центра проекции выбрать точку $A'$ сферы, диаметрально проектировную точке $A$, то образом вивианны будет лежать бернулли («Квант», 1977, № 1, с. 25).

В. Березин