Почему и как исчезает пустота

61

Почему и как исчезает пуста

Так называется очередная научно-популярная книга профессора Я. Е. Гегузина *), известного читателя «Кванта» как автор «Капли» (см. «Квант», 1974, № 8) и «Очерков о диффузии в кристалах» (см. «Квант», 1975, № 7). Как и первые книги, она написана живо, увлекательно, ярко. При первом взгляде может показаться, что tema слишком узкая и специальная: книга посвящена историю развития физических идей современной теории спекания, то есть процесса, при котором из порошков создают сплошные металлические или керамические материалы. Однако на самом деле содержание книги намного шире. По существу это книга о научном понске, о борьбе идеей, о том, как теория движет практику, а практика указывает путь теории, как логика живой научки ведет мыслу ученого.

Как спекается порошок? Как порисое тело превращается в тело сплошное? Куда «уходит пуста»? Как специляются между собой частицы? Для ответа на эти вопросы надо рассмотреть — это и делает автор книги, — как построено сплошное тело, каковые дефекты его atomной структуры, какую роль играют поры в кристалле и как они движутся, как перевигаются крупинки на поверхности твердого тела и т.п.

Попутно автор рассказывает о множестве опытов, находок экспериментаторов,

*) Я. Е. Гегузин. Почему и как исчезает пуста. М., «Нayka», 1976.

о борббе теории. Перед глазами читателя возникают живые портреты. Вот стекловуд E. В. Петушков обращает внимание физков на то, что отверстие в стеклянной пластинке может при нагревании не заплывать, а наоборот, расти — все дело в соответствии диаметра отверстия и толщины пластинки. Вот доцент Харьковского университета Н. Н. Овчаренко, склонясь над микросkopом, следит как «залечиваются» тончайшие поры в кристалле, изменяя их толщину по ярким цветам интерфейсионной картины. Вот столкнулись и видалошeredся теоретика Я. И. Френкеля (исходившего из теории жидкого состояния вещества) и заменального экспериментатора Б. Я. Пинеса (основывающего на опите технологически производства огнеупоров). Вот сам автор, Я. Е. Гегузин, запальчиво спорит на международном конкурсе с профессором Морганом, а потом ставит опыты в своей лаборатории и … убеждается в том, что прав был не он, а Морган.

В книге почти нет формул, нет математических выводов, но есть чёткие качественные пути вывода формул, меткие оценки порядков величин и основных предложений.

Круг рассматриваемых вопросов очень широк. Здесь и atomное строение кристаллов с их дефектами структуры, и физика процесса диффузии, и кинетика движения дефектов в кристалле, и физика технологических процессов и операций, и подробное описание ряда опытов. Достаточно привести заголовки некоторых разделов — «Как это началось?», «Существует ли искомая формула?», «Цена формуле», «Слияние теории», «О техническом и творческом», «Много ли технологии надо физику?», «Взгляд в будущее», — чтобы увидеть, сколько живо и увлекательно ведет свое повествование автор. Особенно то, что он не ставит точку. не завершает, не стремится показать обязаательно что-то законченное, а сознать его в конце знак вопроса — взгляд в будущее, в то, что еще предстоит сделать.

Книга читается как увлекательная повесть, от нее трудно оторвать. В то же время автор книги нигде не увлекателься излишней популяризации. Изложение веде строго, точно, на самом современном уровне науки. Сам автор определяет свою книгу, как книгу о научном поиске, «об остоявательных приорных процесах исследований, … об истории научных результатов, которые неогда выгляделели открыvement, а на поверку оказывались ошибкой, о статиях, которые при их появлении были признаны немощными, а надел оказылись жизньспособными, о конференциах, встречах и дискуссиях за круглыми и некруглыми столами, во время которых отыскивалась истина, пятаяшаяся средние экспериментальные книги, электронном микросkopопических фотографии, четких формул и не очень четких комментировки ним».

Замысл этот автору вполне удаляя. Начав с простого вопроса о том, как прессуют порошки, изготовляя из них металлические детали машин или огнеупорные материалы, автор привлек широкий круг физических явлений в кристалках и кристаллических порошках и рассказыл о них живо, ярко и увлекательно на основе торговой наоне исторической картины развития научки в этой области.

M. Шаскольская

62

Суммы длин и минимум энергии

9. Рассмотрим следующую механическую систему. Сквозь три колба $A$, $B$ и $C$ продается неевесомая и нерастяжимая нить; эта нить прикреплена к колбу $A$. Колба $A$ может скольнуть без трения по окружности $K$, колба $B$ и $C$ — по прямым $l_1$ и $l_2$ (рис. 1). К концам нити подвешены грузы масс $p$ и $q$. Покажите, что задача определения положения равновесия этой механической системы эквивалентна нашей задаче. В положении равновесия суммы сил, действующих на колба $A$, $B$ и $C$, равны нулю, поэтому $[AB]_\perp l_1$ и $[AC]_\perp l_2$, $p \sin \alpha = q \sin \beta$. Задча сводится к делению угла между прямыми $l_1$ и $l_2$ на две части $\alpha$ и $\beta$ из известным отношением синусов. Это построение можно осуществить циркulum и линейкой.

Рассмотрим случай, когда угол между дорогами $l_1$ и $l_2$ произвольный.

11. Рассмотрим следующую механическую систему. В вертикальной плоскости расположены две концентрические окружности с центром $O$ радиусов $r$ и $R$. В этой же плоскости расположен жесткий стержень, который может враться без трения вокруг точки $O$ (рис. 2). К точкам $C$ и $D$ стержня $OP$ ($|OC|=r$, $|OD|=R$) прикреплены две неевесомые и нерастяжные нить, пропущенные через блоки в точках $A$ и $B$ соответственно. К концам нити прикреплены одинаковые грузы.

Рис. 1.

Рис. 2.

Задча определения положения равновесия этой механической системы эквивалентна нашей геометрической задаче. Условием равновесия стержня $OP$ является равенство нулю суммы моментов сил натяжения нить, действующего на этой стержень. Отсюда получаем условие для исключого положения места $CD$: $r \sin \alpha = R \sin \beta$.

Как выглідит парабола?

1. Первый способ. Для $f(x) = x^5$ вторяя произвольная равна $f''(x) = 20x^3$, поэтому при $x > 0$ угловой коэффициент касательной $k(x) = 5x^4$ возрастает. Этому условию удовлетворяет только график $6,\alpha$.

Второй способ. Поскольку уравнение $x^5 = kx$ может иметь не более трех решений ($x = 0; \sqrt[4]{k}; -\sqrt[4]{k}$), прямая $y = kx$ пересекается с графиком $y = x^5$ не более, чем в трех точках. Графики 6,6,8 могут пересекаться с прямыми $y = kx$ в большем числе точки.

2. Первый способ. Если $f(x) = x^\alpha$, то $f''(x) = \alpha (\alpha-1) x^{\alpha-2}$, поэтому угловой коэффициент касательной возрастает при $x > 0$ в случае $\alpha > 1$ и убивает в случае $0 < \alpha < 1$, что отвечает рисункам 7,а и 7,б соответственно.

Второй способ. Отличная от начала координат точки пересечения графика $y = x^\alpha$ с прямой $y = x$ имеет координаты (1; 1). Если $\alpha > 1$, то из неравенства $0 < x < 1$ следует, что $x^\alpha < x$; в случае $0 < \alpha < 1$, наоборот, из $0 < x < 1$ следует $x^\alpha > x$ (объясните). Поэтому если на интервале $]0; 1[$ график $y = x^\alpha$ ниже биссертрисы $y = x$, то $\alpha > 1$, а если выше, то $0 < \alpha < 1$.

3. Для функций $f(x) = a^x$ вторяя произвольная $f''(x) = (\ln a)^2 a^x$ всегда положительная, поэтому график 8,6 неправильный. Аналогично, в случае $a > 1$ вторяя произвольная $f(x) = \log_a x$ равна $f''(x) = -\frac{1}{\ln a \cdot x^2}$ и отличается (при $x > 0$), поэтому график 9,6 неверный.

Принадлежность точки прямой и плоскости

1. 3:2.
2. 3:4.
3. 1:14.
4. $\sqrt{186}$ и $2\sqrt{30}$.
5. 3:11.
6. 7:29.
7. 1:1.
8. $\frac{b(1+2a+ab)}{(1+a)(1+b)(1+a+ab)}$.
9. Указание: воспользоваться теоремой 3 и решением задачи 3.

Парадокс «большего» тела

1. Противоречия с законом сохранения энергии нет. «Парадокс» возникает из-за того, что рассматривается незамкнутая система тел. Приускорении автоматизация его с Землей. При

63

Этом взаимодействии энергия Земли изменяется, причем в различных системах отчета это изменение будет не только отличаться по модулю, но и знак его будет различным — в одних системах энергия Земли увеличается, в других уменыется.

В системе отчета, в которой Земля первоначально поконтится, часть энергии топлива расходуется на увеличение кинетической энергии автоматическая, а часть — на увеличение энергии Земли $\Delta K_3'$. Увеличение энергии Земли в этой системе отчета равно

$$\Delta K_3' = \frac{mv^2}{2} \cdot \frac{m}{M}.$$

При учете соответствия $m \ll M$ этим увеличением можно пребречь и считать, что вся энергия $W$, выделившаяся при сгорании топлива, расходуется на увеличение кинетической энергии автоматическая:

$$W = \frac{3}{2} mv^2 + \Delta K_3' \approx \frac{3}{2} mv^2.$$

В системе отчета, связанной с автоматическим $B$, Земля имеет начальную скорость $\vec{v}$. Приускорении автоматической $A$ скорость Земли увеличается. Связанное с этим изменением увеличение кинетической энергии равно

$$\Delta K_3'' = \frac{M}{2} \left(v + \frac{m}{M} v\right)^2 - \frac{Mv^2}{2} = mv^2 + \frac{mv^2}{2} \cdot \frac{m}{M}.$$

При учете соответствия $m \ll M$ имеем: $\Delta K_3'' \approx mv^2$.

Таким образом, в системе отчета «автомобиль $B$» часть энергии топлива, сгоревшего в автоматике $A$, расходуется на увеличение кинетической энергии автоматическая:

$$\Delta K_2 = \frac{mv^2}{2},$$ а другая часть этой энергии расходуется на увеличение энергии Земли: $\Delta K_3'' = mv^2$. Так что

$$W = \Delta K_2 + \Delta K_3'' = \frac{mv^2}{2} + mv^2 = \frac{3}{2} mv^2.$$

В системе отчета, связанной с автоматическим $B$, изменение кинетической энергии автоматическая $A$ действительное равно $\frac{5}{2} mv^2$. Часть этой энергии автоматizable $A$ получает за счет топлива, а другую часть сообщает ему Земля, которая в этой системе уменыает свою скорость приускорении автоматической $A$, и следовательно, «теряет» часть своей кинетической энергии. Эта потеря равна

$$\Delta K_3'' = \frac{M}{2} \left(v - \frac{mv}{M}\right)^2 - \frac{Mv^2}{2} = -mv^2 + \frac{mv^2}{2} \cdot \frac{m}{M} \approx -mv^2.$$

Таким образом, и в этом случае парадокс символяется при учете изменения энергии «большего» тела — Земли:

$$Q = \Delta K_3 + \Delta K_3'' = \frac{5}{2} mv^2 - mv^2 = \frac{3}{2} mv^2.$$

2. Изменения кинетической энергии пуля в выбранных системах отчета действительное различны:

$$\Delta K_1 = -\frac{m}{2} \left(v^2 - u^2\right),$$

$$\Delta K_2 = -\frac{m}{2} \left(v - u\right)^2.$$

Однако часть этой энергии расходуется на увеличение энергии платформы $\Delta K_{\pi\pi}$. В системе отчета, в которой платформа неподвижна, изменением энергии платформы можно пребречь, так как $M \gg m_\pi$. В этом случае количество выделившего выделившего теплла равно

$$Q = -\Delta K_2 = \frac{m}{2} \left(v - u\right)^2.$$

В системе отчета «Земля» платформа движалась со скоростью $u$, следовательно, пребречь изменением энергии платформы нельзя.

Действительно, изменение энергии платформы в этой системе отчета равно

$$\Delta K_{\pi\pi} = \frac{M \left(u + \Delta u\right)^2}{2} - \frac{Mu^2}{2} = M \left| \vec{u} \right| \left| \Delta \vec{u} \right|,$$

где $\Delta u$ — изменение скорости платформы после взаимодействия с пуляй. Согласно закону сохранения импульса

$$m \left( \left| \vec{v} \right| - \left| \vec{u} \right| \right) = M \left| \Delta \vec{u} \right|,$$

то есть

$$\Delta \vec{u} = \frac{m \left( \left| \vec{v} \right| - \left| \vec{u} \right| \right)}{M}.$$

Следовательно,

$$\Delta K_{\pi\pi} = M \left| \vec{u} \right| \frac{m \left( \left| \vec{v} \right| - \left| \vec{u} \right| \right)}{M} = m \left| \vec{u} \right| \left( \left| \vec{v} \right| - \left| \vec{u} \right| \right).$$

С учетом этого изменения энергии платформы можно записать:

$$-\Delta K_1 = Q + \Delta K_{\pi\pi},$$

откуда

64

$$Q = -\Delta K_1 - \Delta K_{\pi \pi} = \frac{m}{2} (v^2 - u^2) - m |\vec{u}| \left( |\vec{v}| - |\vec{u}| \right) = \frac{m}{2} (v - u)^2.$$

3. Запишем закон сохранения энергии с учетом изменения энергии «большего» тела — самолета. В первой системе отчета
   $$\Pi = \frac{mv^2}{2} + \Delta K'_c,$$
   во второй системе
   $$\Pi = \frac{m (v + u)^2}{2} - \frac{mu^2}{2} + \Delta K'_c.$$
   В первой системе отчета самолет покопился, и изменением его энергии при выстреле можно пребречь. Показем это.
   $$\Delta K'_c = \frac{M \Delta u^2}{2};$$
   изменение скорости $|\vec{u}|$ определяется из закона сохранения импульса: $|\Delta u| = \frac{m |\vec{u}|}{M}$; следовательно,
   $$\Delta K'_c = \frac{mv^2}{2} \cdot \frac{m}{M}.$$
   В системе отчета «Земля» изменением энергии самолета пребрегается нельзя, так как до выстрела он имел скорость $u$ относительно Земли. Расчитаем изменение энергии самолета $\Delta K'_c$:
   $$\Delta K'_c = \frac{M (u - \Delta u)^2}{2} - \frac{Mu^2}{2} = - M |\vec{u}| |\vec{u}| + \frac{M \Delta u^2}{2}.$$
   Так как изменение скорости самолета $|\Delta u|$ – инвариантная величины, то $|\Delta u| = \frac{m |\vec{u}|}{M}$, и
   $$\Delta K'_c = - m |\vec{u}| |\vec{u}| + \frac{mv^2}{2} \cdot \frac{m}{M}.$$
   Итак,
   $$\Pi = \frac{mv^2}{2} + \frac{mv^2}{2} \cdot \frac{m}{M},$$
   $$\Pi = \frac{m (v + u)^2}{2} - \frac{mu^2}{2} + \frac{mv^2}{2} \cdot \frac{m}{M} - m |\vec{u}| |\vec{u}|.$$
   Из этих двух выражений следует также
   $$(v + u)^2 = (v + u)^2.$$
   «Квант» для младших школьников
   (см. «Квант» № 2)

4. БА = 96, ЭТ = 21: $96^2 = 9216, 21^3 = 9261.$

5. Ответ. Когда я употребляю какое-нибудь слово, — сказал Шалтай-Болтай довольно преррительно, — оно означает только то, что я хочу, чтобы оно обозначало, — ни больше, ни меньше.

6. Из условия следует, что $2x + 4y = 35$, где $x$ — число рыб, почтиных сыном Николая, а $y$ — число рыб, почтиных сыном Петра. Так как это равенство невозможно ни при каких целях $x$ и $y$, то мы приходим к выводу, что на рыбалке было не четыре человека, а три: Петр, его сын Николай и внук Петра Григорий. Таким образом, сына Петра зовут Николая.

7. Ответ. ШестЬ. В высоком году один и тот же день недели приходится на 1 января, 1 апреля, 2 июня, 2 сентября и 2 декабря. 1 января будет пятница, например, в 1988 году.