Bài toán M501—M505; F513—F517

22

Vấn đề
lượng tử

M501—M505; F513—F517

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. Được xuất bản trong đó bài toán không phải là tiêu chuẩn, nhưng đối với họ lời giải không yêu cầu kiến ​​thức nào ngoài chương trình học hiện hành. Nhiệm vụ khó khăn hơn được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau khi hình thành bài toán chúng tôi có nghĩa vụ phải cho biết ai đã đề nghị với chúng tôi điều này bài toán. Tất nhiên, không phải tất cả những điều này bài toán được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán từ số này có thể được gửi chậm nhất vào ngày 1 tháng 7 năm 1978 đến địa chỉ: 113035, Moscow, M-35, B. Ordynka, 21/16, tòa soạn tạp chí «Kvant», “Vấn đề «Kvant». Viết các số trên phong bì sau địa chỉ bài toán, lời giải mà bạn gửi, ví dụ: “M501, M502” hoặc “F513». Lời giải bài toán trong từng môn học (toán học và vật lý), cũng như các môn học mới bài toán Vui lòng gửi vào phong bì riêng. Bài toán từ các số khác nhau của tạp chí, cũng gửi các phong bì khác nhau. Bao gồm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn trên đó (bạn sẽ nhận được kết quả xác minh trong phong bì này lời giải). Điều kiện của bản gốc bài toánđề xuất xuất bản, vui lòng gửi hai bản sao cùng với giải pháp của bạn cho những vấn đề này bài toán (đánh dấu trên phong bì: “Vấn đề «Kvant», mới bài toán trong vật lý “hoặc”… mới bài toán trong toán học”).

Ở đầu mỗi chữ cái, vui lòng cho biết họ và tên, số trường, lớp mà bạn đang theo học.

M501. Chúng ta hãy chọn từ dãy lũy thừa của ba:
3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, …
Tất cả các số bắt đầu bằng 9; đặt những số này là (theo thứ tự) $3^{f(1)}, 3^{f(2)}, 3^{f(3)}, ...$ (cụ thể là $f(1)=2$, vì số đầu tiên trong số đó là $3^2=9$).
a) Tìm $f(2)$ và $f(3)$ - các số của bộ ba thứ hai và thứ ba của số đó.
b) Chứng minh rằng có vô số số như vậy.
b) * Chứng minh rằng $f(n)$ với $n>1$ thỏa mãn điều kiện: (1) $f(n) - n$ là số lẻ,
(2) $\left| f(n) - \frac{n-1\lg 9}{1-\lg 9} \right| < 1$,
và được xác định bởi điều kiện này.
E. Turkevich

M502. Cho trước ba đoạn thẳng $AA_1, BB_1, CC_1$ song song không nằm trong cùng một mặt phẳng. Gọi $M$ là giao điểm của các mặt phẳng $ABC_1, BCA_1$ và $CAB_1$, và $M_1$ là giao điểm của các mặt phẳng $A_1B_1C, B_1C_1A$ và $C_1A_1B$. Chứng minh rằng đoạn $MM_1$ song song với ba đỉnh.

Z. Skopets

M503. Tập hợp các số $2n+1$ $a_0, a_1, a_2, ..., a_{2n}$ sao cho $a_h \geq \frac{a_{k-1}+a_{k+1}}{2}$ cho tất cả $k=1,2, ...$.
…, $2n-1$. Chứng minh bất đẳng thức
$$\frac{a_1+a_3+a_5+\dots+a_{2n-1}}{n} \geq \frac{a_0+a_2+a_4+\dots+a_{2n}}{n+1}$$

và tìm ra tập nào nó trở thành đẳng thức.

B. Linkin

M504*. Trên bàn cờ gồm $n \times n$ ô có $k$ ô có kích thước $2 \times 1$, và theo cách mà không thể đặt ô $(k+1)$ mà không di chuyển các cột hiện có. Chứng minh rằng có những cột miễn phí

23

không có nhiều hơn
a) $(n^2+n+1)/3$;
b) $(n^2+2)/3$;
b) $n^2/3$.

Có thể ước tính chính xác hơn nữa cho một số $n$ không?

V. Grossman

M505*. a) Đặt $n$ các vật có khối lượng bằng nhau đặt trên một đường thẳng. Chúng ta hãy xem xét một đoạn có độ dài tùy ý $2r$ chứa ít nhất một trong các điểm này và tìm trọng tâm $O_1$ của tất cả các điểm nằm trong đó. Hãy xem xét một đoạn có chiều dài $2r$ với phần giữa $O_1$ và tìm trọng tâm $O_2$ của tất cả các điểm rơi vào đoạn này. Sau đó, ta tìm trọng tâm $O_3$ của tất cả các điểm nằm trên một đoạn có độ dài $2r$ với trung điểm $O_2$, v.v. Chứng minh rằng, bắt đầu từ một số nhất định, tất cả các điểm của dãy $O_1, O_2, O_3, \dots$ đều trùng nhau.

b) Đặt $n$ điểm vật chất trên mặt phẳng. Xét một đường tròn bán kính tùy ý $r$ chứa ít nhất một trong các điểm này; Chúng ta hãy biểu thị bằng $O_1$ trọng tâm của các điểm nằm trong nó và xây dựng dãy $O_1, O_2, O_3, \dots$, trong đó $O_{n+1}$ là trọng tâm của các điểm nằm trong một đường tròn bán kính $r$ có tâm $O_n$. Có đúng là bắt đầu từ một số nhất định thì tất cả các điểm trong dãy này đều trùng nhau không?

P. Bleser, G. Galperin, M. Kelbert

F513. Vào một ngày nắng đẹp, khi Mặt trời ở trên cao so với đường chân trời, hãy nhìn vào một màn hình mịn, chẳng hạn như trên bức tường trắng, bóng của cạnh phẳng của một miếng bìa cứng. Nếu bây giờ bạn đưa ngón tay của mình đến tấm bìa cứng như trong Hình 1, thì bóng của ngón tay thứ hai sẽ nhô ra trên màn hình về phía bóng của ngón tay so với bóng do tấm bìa cứng tạo ra. Hãy tiến hành một thí nghiệm như vậy và giải thích kết quả của nó.

G. Solovyanok

F514. Vải dây cao su được làm bằng các sợi đàn hồi chắc chắn (dây) chứa đầy cao su đàn hồi mềm. Các sợi dây tạo thành một góc $2\alpha$ với nhau (Hình 2). Một hình trụ tròn được làm từ loại vải như vậy, có nắp kim loại gắn ở hai đầu (Hình 3). Không khí được bơm vào bên trong xi lanh. Trong các thí nghiệm, người ta nhận thấy rằng khi không khí được bơm vào, hình trụ có hình dạng bằng một phần ba hình dạng như Hình 4. Hình dạng phụ thuộc vào độ lớn của góc $2\alpha$ giữa các sợi ren. Mỗi hình tương ứng với giá trị góc nào?

F515. Một thanh nhẹ có chiều dài $l$ được cố định trong mặt phẳng thẳng đứng trên trục đi qua điểm $O$ chia thanh theo tỷ lệ 1:3.