Bài toán độc giả của chúng tôi

34

ki của hình cầu không được coi là hình nón. Chứng minh rằng không thể quay một parabol - bề mặt thu được khi quay parabol quanh trục của nó. (Xin lưu ý: các bề mặt có thể cần phải được cắt trước khi trải ra.)

3. Cho ví dụ về chuỗi hàm $f_n(x)$ ($x \in [0, 1]$), đồ thị của chúng sẽ có độ dài bị chia nhỏ $l_n$ và $\lim_{n \to \infty} f_n(x) = 0$ với tất cả $x \in [0, 1]$,
   và đồng thời
   a) $\lim_{n \to \infty} l_n = c$, trong đó $c$ là số bất kỳ, không nhỏ hơn 1;
   b) chuỗi $\{l_n\}$ không bị chặn;
   b) dãy $\{l_n\}$ bị chặn nhưng không có giới hạn.
4. Chứng minh rằng trong ví dụ của Schwartz có thể chọn dãy $\{k_n\}$ sao cho dãy kẻ xấu là $\{S(n, k_n)\}$
   a) hội tụ đến bất kỳ số nào cho trước từ khoảng $[2\pi RH, \infty]$;
   b) có giới hạn nhưng không có giới hạn.
5. Phương pháp sau đây được đề xuất để tính diện tích bề mặt của hình cầu. Chia hình cầu có “đường xích đạo” thành hai bán cầu và một trong số chúng ở xa nhau. Chúng ta hãy chia đường xích đạo thành $n$ phần chấn động theo điểm $A_1, A_2, \dots, A_n$ và nối chúng với các “sọc” $P$ “kinh tuyến”. Bây giờ chúng ta hãy tưởng tượng rằng $n$-gon $A_1 \dots A_n$ đều nhô lên trên mặt phẳng xích đạo, song song với nó và giảm dần đến điểm $P$ sao cho các đỉnh của nó luôn nằm trên các cung $A_iP$. Đường viền của nó quét ra một bề mặt hình vòm nhất định $\Pi_n$ (Hình 5). Rõ ràng là bề mặt $\Pi_n$ đối với $n$ lớn được ước tính là gần bằng một bán cầu; Hơn nữa, không khó để chứng minh (thử) rằng diện tích của nó ở $n \to \infty$ có xu hướng bằng diện tích của một bán cầu. Nếu các hình tam giác $A_iA_{i+1}P$ được làm thẳng, chúng ta sẽ có $n$ hình tam giác có đáy giống nhau, tổng chiều dài của chúng bằng chu vi của $p_n n$-giác $A_1 \dots A_n$ và chiều cao $h_n$. Rõ ràng, vì $\lim_{n \to \infty} p_n = 2\pi R$, trong đó $R$ là bán kính của hình cầu và $\lim_{n \to \infty} h_n = \frac{1}{2}\pi R$, thì giới hạn của diện tích bề mặt $\Pi_n$ là $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} p_n h_n = \frac{1}{2}\pi^2 R^2$. Do đó, diện tích của hình cầu là $\pi^2 R^2$. Sai lầm ở đâu?

Bài tập
của chúng tôi
độc giả

1. Một khối lập phương có cạnh 1 được chia thành một số hữu hạn (nhiều hơn ba) khối đa diện lồi. Mỗi khối đa diện được đánh dấu bằng một trong các số: 1, 2, 3. Chứng minh rằng có hai điểm của các khối đa diện khác nhau được đặt cùng một số, khoảng cách giữa chúng ít nhất là $\sqrt{2 \cdot \frac{1}{64}}$ m. Có thể củng cố ước tính này?
   B. Makeev (học sinh lớp 10)

2. Chứng minh rằng phương trình $x^2 - 2xy = 1978$ không có lời giải trong số nguyên.
   C. Mayzus

3. Một hình thang có thể tích bằng nhau được cắt từ bìa cứng, trong đó góc giữa hai đường chéo bằng φ. Trọng tâm của nó gần với đỉnh nào - với các đỉnh nhỏ hơn đáy hoặc lớn hơn nó?
   S. Berkolaiko

4. Vua nằm ở ô đen ngoài cùng bên trái phía dưới bàn cờ. Nó chỉ có thể di chuyển theo đường chéo. Số trường tối đa anh ta có thể bỏ qua là bao nhiêu nếu anh ta có thể đánh không quá một lần trên mỗi trường? Xét trường hợp kích thước của sân cờ là 1) $9 \times 9$; 2) $(2n-1) \times (2n-1)$; 3) $8 \times 8$; 4) $2n \times 2n$. F. Bartheen

5. Tính toán
   $$\sum_{n=1}^{k} \frac{2^n}{a^{2n-1}}.$$
   S. Manukyan

6. Hai điểm $A$ và $B$ chuyển động sao cho tốc độ của chúng luôn thẳng hàng và tốc độ của điểm $B$ nhỏ hơn tốc độ của điểm $A$. Khoảng cách $AB$ giữa các điểm có thể giữ nguyên không?

7. Khi nối hai cục pin khác nhau vào một bóng đèn, bóng đèn sẽ cháy mờ. Khi một điện trở nhất định được mắc nối tiếp trong cùng một mạch với mỗi pin, bóng đèn bắt đầu cháy sáng hơn. Tại sao?
   B. Kozan

8. Một khúc gỗ có chiều dài $l$ và khối lượng $m$ được nâng từ vị trí nằm ngang lên vị trí thẳng đứng bằng một đầu và lần khác bằng đầu mỏng. Sự khác biệt trong công việc được thực hiện là $A$. Xác định vị trí trọng tâm của khúc gỗ.
   B. Nikitin