Để mô tả hình bầu dục và đường cong hình bầu dục đa tiêu điểm

3

Để mô tả hình bầu dục và đường cong hình bầu dục đa tiêu điểm

(với nhận xét của Giáo sư Forbes)

Ông Clerk Maxwell đề xuất một cách ngấm ngầm mở rộng lý thuyết tổng quát về tiêu điểm của đường cô-níc sang những đường cong phức tạp hơn như sau:

(1) Bằng cách tương tự với hình elip và hyperbol, trong đó tổng và hiệu khoảng cách từ một điểm tùy ý trên đường cong đến hai điểm gọi là tiêu điểm là không đổi, tác giả đi đến kết luận rằng bộ máy hình học ở một mức độ nào đó tương tự như bộ máy trước đó. Hơn nữa, Maxwell thực sự đã đề xuất một phương pháp mới mà trước đây các nhà toán học chưa biết đến.

Giá trị của phương pháp này hóa ra lớn hơn một trong những lời giải bài toán eturok cổ xưa có thể có. Thật vậy, các cấu trúc hình học của chàng trai trẻ Maxwell tiết lộ cho chúng ta những đặc tính quang học đáng kinh ngạc của hình bầu dục và giới thiệu cho chúng ta vòng tròn của quang học hình học bài toán thú vị nhất mà nhiều nhà khoa học xuất sắc đã nghiên cứu.

Giáo sư Forbes, người bảo trợ các tài năng trẻ, đã báo cáo về nghiên cứu của Maxwell tại cuộc họp của Hiệp hội Hoàng gia Edinburgh vào ngày 6 tháng 4 năm 1846.

Bản dịch phần trình bày của tài liệu này, được xuất bản trong Kỷ yếu của Hội, được đăng dưới đây.

Dịch thuật, chuẩn bị xuất bản và chuẩn bị ghi chú của A. Mitrofanov

4

Hình 1.

bao gồm ba chốt cố định trở lên và giới hạn một điểm chuyển động $P$, khi di chuyển sẽ vẽ đường cong mong muốn. Xem Hình 3. Hơn nữa, tác giả coi các đường cong có hai tiêu điểm là trường hợp đặc biệt của lớp đường cong có nhiều tiêu điểm, trong đó hai hoặc nhiều tiêu điểm trùng nhau; thủ thuật trong đó hai luồng gặp nhau được coi là tiêu điểm kép, nếu ba luồng gặp nhau thì đó là tiêu điểm ba, v.v.

Giáo sư Forbes lưu ý rằng phương trình của một đường cong có hai tiêu điểm có thể dễ dàng rút gọn về dạng

$$\sqrt{x^2 + y^2} = a + b\sqrt{(x - c)^2 + y^2}$$

tức là giống như các họ đường cong được gọi là hình bầu dục Descartes loại một *). Ông Maxwell

*) Hình bầu dục theo nghĩa rộng nhất của từ này là những đường cong phẳng hình quả trứng: bản thân thuật ngữ “hình bầu dục” bắt nguồn từ từ “ovum” trong tiếng Latin (trứng). Hình bầu dục Descartes thuộc loại thứ nhất và thứ hai là một số loại hình bầu dục nhất định (xem «Kvant», 1977, Số 6, trang 43).

Hình 2.

nhận thấy rằng khi một trong các tiêu điểm ở vô cực (hoặc khi sợi dây, khi dựng một đường cong, di chuyển gần như song song với chính nó và chỉ bị giới hạn bởi kích thước tối đa của bàn), một đường cong tương tự như một hình elip được vẽ - một thực tế khiến Giáo sư Forbes đi đến kết luận rằng hình bầu dục được xây dựng giống hệt với hình bầu dục Descartes, vì hình bầu dục sau, như đã biết, có cùng một tính chất. Nhưng đối tượng rõ ràng nhất là đồng nhất với nguyên tắc xây dựng, tức là từ sự bình đẳng

$$mr + nr' = const$$

(r và $r'$ là khoảng cách từ một điểm tùy ý của đường cong đến tiêu điểm), trên thực tế thể hiện rõ tính chất quang học của các bề mặt đang xét *), xuất phát từ lý thuyết sóng, cụ thể là: ánh sáng phát ra từ một tiêu điểm nằm trong không gian tự do truyền đi chính xác trong tiêu điểm nằm trong môi trường và tỷ lệ $\frac{n}{m}$ bằng chiết suất của môi trường.

Chúng ta hãy gọi mức độ (hoặc thứ tự) của một tiêu điểm là số đoạn sợi chỉ vừa với một chốt cố định tại tiêu điểm này để dựng một đường cong theo sơ đồ Maxwell. Nếu một trong hai tiêu điểm ở vô cực và nếu độ của các tiêu điểm bằng nhau thì đường cong được xây dựng là một parabol; nếu mức độ là hữu hạn_

*) Tức là các bề mặt của vật thể là những hình bầu dục quay tròn.