Các hành tinh chuyển động theo hình elip

13

Vâng. Smorodinsky

hành tinh
di chuyển
bằng hình elip

“Mỗi hành tinh quay quanh Mặt trời theo một hình elip, lấy Mặt trời làm tiêu điểm.”
Định luật vật lý này được Kepler phát hiện vào thế kỷ 16. Là “định luật đầu tiên của Kepler”, nó được đưa vào tất cả các sách giáo khoa, trở nên quen thuộc và “hiển nhiên”. Và đối với chúng tôi, không có gì lạ trong cách hành xử của hành tinh này.

Nhưng trên thực tế, sự thật này thật đáng ngạc nhiên. Tại sao lại có hình elip? Tất nhiên, hành tinh này phải di chuyển theo một đường cong nào đó. Nhưng tại sao nó lại di chuyển theo một đường cong khép kín? Tại sao một hành tinh sau khi thực hiện một vòng quay hoàn toàn quanh Mặt trời lại quay trở lại điểm cũ? Làm sao cô ấy nhớ được điểm này? Tại sao chuyển động của hành tinh trong trường hấp dẫn của Mặt trời dường như có tính tuần hoàn? Đây là tài sản của Vesyna

bất thường. Nếu lực hút của hành tinh đối với Mặt trời không tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách mà thay đổi, chẳng hạn theo định luật $1/r^3$ hoặc thậm chí $1/r^2,^{01}$, thì quỹ đạo của hành tinh sẽ không bị đóng.

Nhân tiện, từ đây, theo đó, trong hệ mặt trời, nói chung, các hành tinh không thể di chuyển theo hình elip. Sức hút của các hành tinh khác, và đặc biệt là của một hành tinh khổng lồ như Sao Mộc, bằng cách nào đó sẽ ảnh hưởng đến chuyển động của hành tinh này. Và nó có tác dụng: sau khi thực hiện một vòng quay hoàn toàn quanh Mặt trời, hành tinh này không quay trở lại vị trí cũ mà “trượt qua” nó. Điều này giải thích sự thay đổi điểm cận nhật của Sao Thủy theo hướng chuyển động của nó khoảng 1,2 inch mỗi vòng quay (5 inch mỗi năm Trái đất). (May mắn thay, Kepler không biết về điều này - những quan sát của ông về Sao Hỏa, nơi ông xây dựng lý thuyết của mình, không đủ chính xác để nhận thấy “sự suy đoán” nhỏ của cột.)

Không dễ để Kepler ở thế kỷ 16 thoát khỏi niềm tin cũ rằng các thiên thể - những thiên thể “lý tưởng” nhất trong thế giới của chúng ta - cũng phải chuyển động theo những đường cong lý tưởng nhất, tức là dọc theo các đường tròn. Đúng-

14

Copernicus, người bác bỏ ý tưởng Trái đất đứng yên và cho rằng nó chuyển động tròn giống như các hành tinh khác thực hiện, không thể từ chối những đường cong lý tưởng và sử dụng hệ thống các vòng tròn lăn để mô tả chính xác chuyển động của các hành tinh.

Nhưng cả Copernicus lẫn những người tiền nhiệm của ông đều không bỏ qua việc so sánh cẩn thận các mô hình của họ với các mô hình được quan sát. Và những khác biệt nhỏ không làm họ bận tâm. Vào thời điểm đó, chỉ có Kepler tự đặt cho mình một cái cây bài toán: để mô tả chuyển động của các hành tinh một cách chính xác mà không đưa ra bất kỳ sự khác biệt nào giữa những gì được quan sát và lý thuyết. Anh ấy đã được giúp giải quyết vấn đề này bài toán nhờ sự hợp tác với nhà thiên văn người Đan Mạchνομ Tycho Brahe, người, người đã quan sát vị trí của các hành tinh hàng ngày trong gần 25 năm, đã thu thập tài liệu hoàn chỉnh một cách bất thường vào thời điểm đó *).

Kepler thắc mắc tại sao các hành tinh lại uốn cong đường đi của chúng quanh Mặt trời. Đôi khi ông nhận ra rằng Mặt trời tác động lên các hành tinh, mặc dù thực tế là các hành tinh ở rất xa nó. Nhưng Kepler đã không thể thiết lập sự phụ thuộc chính xác của lực tác dụng này vào khoảng cách - ông cho rằng lực này tỷ lệ nghịch với khoảng cách. Kepler thậm chí không thể nghĩ đến việc rút ra công thức quỹ đạo - ông không có phương trình chuyển động.

Chỉ hơn nửa thế kỷ sau, Newton, trong cuốn sách tuyệt vời “Các nguyên tắc của Vật lý Tự nhiên” (khi đó được gọi là vật lý), đã chỉ ra cách rút ra tất cả các định luật về chuyển động của hành tinh từ phương trình **). Kết luận của Newton làm nền tảng cho cơ học thiên thể cho đến tận ngày nay. Chỉ bây giờ cho

*) Tycho Brahe là nhà thiên văn học vĩ đại cuối cùng không có kính viễn vọng. Ông thực hiện tất cả các quan sát bằng cách đơn giản nhìn vào nó và đo các góc bằng chiêm tinh học.

**) Newton đã giải được nghịch đảo bài toán: lực hấp dẫn của hành tinh đối với Mặt trời phải phụ thuộc như thế nào vào khoảng cách giữa hành tinh và Mặt trời để hành tinh chuyển động theo hình elip? Ông đã chỉ ra rằng nó phải tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách.

Hình 1. $r_1 - r = 2c, r_1 + r = 2a$.

15

Định luật bảo toàn năng lượng

Khi một hành tinh chuyển động, tổng năng lượng $E$ của nó không đổi:
$$E = \text{const.}$$

Năng lượng này bằng tổng động năng $K = \frac{mv^2}{2}$ và thế năng của hành tinh trong trường lực hấp dẫn của Mặt trời
$$\Pi = -\gamma \frac{mM}{r} = -\frac{\alpha m}{r} \quad (\alpha = \gamma M)^*$$

$(m - \text{masca планеты}, M - \text{masca Солнца}, r - \text{расстояние между ними и } \gamma - \text{гравитационная постоянная}).$ Vì vậy,
$$E = \frac{mv^2}{2} - \frac{\alpha m}{r}. \quad (1)$$

Để thuận tiện, cùng với hằng số $\Sigma$ chúng tôi giới thiệu một hằng số khác $v_0$ sao cho
$$E = -\frac{mv_0^2}{2}.$$

Chúng tôi đặt dấu trừ trong công thức này vì tổng năng lượng của hành tinh này là âm và $v_0^2 > 0$.

Bây giờ chúng ta có thể viết công thức (1) sao cho khối lượng “rơi ra” khỏi phương trình:
$$-\frac{v_0^2}{2} = \frac{v^2}{2} - \frac{\alpha}{r},$$
hoặc
$$\frac{v^2}{2} + \frac{v_0^2}{2} = \frac{\alpha}{r}. \quad (1')$$

Chia cả hai vế của đẳng thức này cho $v_0^2/2r$, chúng ta nhận được
$$\left(\frac{v}{v_0}\right)^2 r + r = \frac{2\alpha}{v_0^2}.$$

Chúng ta biểu thị hằng số $2\alpha/v_0^2$ bằng $2\alpha$ và tỷ lệ bằng $v/v_0 - \text{буквой } u$.

*) Chúng ta hãy nhớ rằng thế năng được coi là bằng 0 đối với $r$ vô cùng lớn. Do đó, trong trường hợp lực hấp dẫn, thế năng hóa ra là âm. Ở giá trị tuyệt đối, thế năng lớn hơn động năng - hành tinh không thể “tách ra” khỏi Mặt trời.

Hình 2.

Chúng tôi nhận được một công thức đơn giản
$$\sqrt{ru^2 + r} = 2a. \quad (*)$$

Ở dạng này, định luật bảo toàn năng lượng rất thuận tiện cho mục đích của chúng ta.

Khoảnh khắc thôi thúc

Khi hành tinh chuyển động, một đại lượng khác không đổi—động lượng góc:
$$L = mvr \sin \alpha,$$
trong đó $\alpha$ là góc giữa vectơ bán kính $r$ của hành tinh và vectơ $v$ vận tốc của nó (động lượng góc được mô tả trong Phụ lục).

Sẽ thuận tiện hơn cho chúng ta khi cùng nhau giới thiệu $L$ một số lượng cũng không đổi—
$$L_0 = L/m = rv \sin \alpha.$$

Từ Hình 2, rõ ràng $v \sin \alpha$ là hình chiếu của vectơ $v$ lên hướng vuông góc với vectơ bán kính $r$. Điều này có nghĩa là độ lớn $(v \sin \alpha)/r$ bằng vận tốc góc $\omega$ của hành tinh tại thời điểm vị trí của nó được xác định bởi vectơ bán kính $r$. Như vậy,
$$L_0 = \omega r^2. \quad (2)$$

Phương trình chuyển động

Theo định luật II Newton, dưới tác dụng của lực hút Mặt trời $F = -\gamma \frac{mM}{r^2}$ hành tinh chuyển động, gia tốc
$$w = -\gamma \frac{M}{r^2} = -\frac{a}{r^2}.$$

16

Sẽ đúng hơn nếu viết phương trình chuyển động của hành tinh này dưới dạng vectơ. Để làm điều này, chúng tôi giới thiệu một vectơ $n$ sao cho

$$\vec{n} = \frac{\vec{r}}{r}.$$

Ký hiệu này có nghĩa là độ dài của vectơ $n$ bằng một và vectơ này hướng dọc theo vectơ bán kính $\vec{r}$. Như vậy, ở dạng vectơ, phương trình chuyển động của hành tinh có thể được viết như sau:

$$\vec{w} = -\frac{\alpha}{r^2} \vec{n}.$$

(3)

Vectơ Laplace

Bây giờ chúng ta có thể tiếp tục trực tiếp đến bài toán của mình. Chúng ta hãy thử tìm một vectơ liên kết với quỹ đạo của hành tinh, vectơ này không đổi khi hành tinh chuyển động và chúng ta có thể liên kết với vectơ $2c$.

Khi chuyển động theo quỹ đạo tròn, vận tốc góc không đổi và các vectơ $v$ và $n$ luôn phân bố lại cho nhau. Khi chuyển động dọc theo quỹ đạo không tròn (ví dụ dọc theo hình elip), vận tốc góc thay đổi theo thời gian và góc giữa các vectơ $v$ và $n$ không giữ nguyên.

Chúng ta hãy tìm xem vectơ $n$ thay đổi theo định luật nào. Để xác định điều này, chúng ta giả sử rằng chuyển động quỹ đạo sẽ xảy ra ngược chiều kim đồng hồ.

Giả sử rằng trong một khoảng thời gian ngắn $\Delta t$ hành tinh đã chuyển động dọc theo quỹ đạo của nó từ điểm $B$ đến điểm $C$ (Hình 3) sao cho vectơ bán kính $r$ của nó quay một góc $\omega \Delta t$ (thời gian $\Delta t$ quá ngắn nên vận tốc góc $\omega$ có thể được coi là không thay đổi). Vector $n$ do chuyển động quay sẽ biến thành một vectơ mới $n + \Delta n$, nhưng độ dài của vectơ mới này tất nhiên bằng một. Sự thay đổi $\Delta n$ của vectơ $n$ không khó tìm thấy: $\Delta n = \omega \Delta t n$, và trên

17

Biểu thức này, rất thuận tiện, có thể được viết như thế này:

$$\Delta(-L_0 v' - \alpha n) = 0.$$

Nhưng điều này có nghĩa là vectơ

$$\vec{A} = -L_0 v' - \alpha n$$

không đổi khi hành tinh chuyển động. Như chúng ta sẽ thấy sau, đây chính là vector mà chúng ta đang tìm kiếm.

Hãy biến đổi công thức (7). Trước hết, hãy loại bỏ vectơ $v'$. Chúng ta sẽ thực hiện việc này bằng Hình 4. Như có thể thấy từ hình,

$$v' = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \vec{v} - \frac{v}{\sin \alpha} \vec{n}.$$

Xét rằng $\sin \alpha = L_0/rv$ và $\cos \alpha = \frac{r \cdot v}{rv}$, chúng ta có thể viết biểu thức cho $v'$ như sau:

$$v' = \frac{1}{L_0} [(r \cdot v) \vec{v} - v^2 r]$$

(kể từ $rn = r$). Thay thế $v'$ này vào công thức (7), chúng ta nhận được:

$$\vec{A} = v^2 r - (r \cdot v) v - \alpha r/r.$$

(8) Vectơ này trong cơ học được gọi là vectơ Laplace.

Chúng ta cũng sẽ biến đổi biểu thức (8). Từ công thức (1’) của định luật bảo toàn năng lượng ta tìm được:

$$\frac{\alpha}{r} = \frac{v^2 + v_0^2}{2}.$$

Chúng ta hãy thay biểu thức này thành (8), chia cả hai vế cho $v_0^2/2$, chuyển sang biến mới $u = v/v_0$ và biểu thị

Hình 4.

có nghĩa là vectơ $\vec{2A}/v_0^2$ đến $\vec{2c}$:

$$\vec{2c} = u^2 r - 2(r \cdot u) u - \vec{r}$$

(ở đây $\vec{u} = v/v_0$). Nếu chúng ta giới thiệu thêm một ký hiệu nữa:

$$\vec{r}_1 = u^2 r - 2(r \cdot u) \vec{u},$$

thì đẳng thức cuối cùng có thể được viết khá đơn giản:

$$\vec{r}_1 - \vec{r} = 2\vec{c}$$

(**)

phương trình elip

Nếu người đọc đã chán các phép biến đổi, thì họ sẽ rất vui khi biết rằng bài toán đã được giải. Quỹ đạo của hành tinh được chứa trong hai công thức trong khuôn khổ: trong công thức (*), mà chúng ta thu được từ định luật bảo toàn năng lượng,

$$u^2 r + r = 2a$$

và trong công thức (***).

Để xác minh điều này, hãy tính bình phương độ dài của vectơ $\vec{r}_1$:

$$\vec{r}_1^2 = u^4 r^2 - 4 u^2(r \cdot u)^2 + 4(r \cdot u)^2 u^2 = u^4 r^2.$$

Theo đó, độ dài của vectơ $\vec{r}_1$ bằng $u^2 r$, tức là chỉ là số hạng đầu tiên trong đẳng thức (*).

Bây giờ đẳng thức này (*) trông giống như phương trình của một hình elip

$$r_1 + r = 2a.$$

Vì vậy, chúng ta đã chứng minh rằng ba vectơ $\vec{r}, \vec{r}_1$ và $2c$ tạo thành một tam giác, tổng hai cạnh của chúng không đổi và bằng $2a$. Nhưng điều này cũng có nghĩa là quỹ tích hình học của các đầu của tất cả các vectơ bán kính có thể có $r$ (với vectơ không đổi $c$) là một hình elip.

Bây giờ ý nghĩa hình học của các hằng số được đưa vào đã được làm rõ; $a = \alpha/v_0^2$ là hình elip lớn thu được. Nó chỉ phụ thuộc vào tổng năng lượng của hành tinh và không phụ thuộc vào động lượng góc. Vectơ $2c$ nối hai tiêu điểm của hình elip. Độ dài $c$ bằng tiêu cự (một nửa khoảng cách giữa các tiêu điểm). Qua-

18

Ứng dụng

Định luật mà chúng ta đang nói đến lần đầu tiên được thiết lập bởi I. Kepler. Trong khi nghiên cứu chuyển động của các hành tinh quanh Mặt trời, Kepler phát hiện ra rằng diện tích bị vectơ bán kính của hành tinh “quét” trên một đơn vị thời gian là không đổi. Nó không phụ thuộc vào vị trí của hành tinh trên quỹ đạo. Chúng ta hãy biểu thị bằng $r$ vectơ bán kính của hành tinh và $v$ tốc độ của nó tại thời điểm $t$ (Hình 6). Trong một khoảng thời gian ngắn $\Delta t$ hành tinh sẽ chuyển động $v \Delta t$. Đối với $\Delta t$ nhỏ, diện tích của hình elip trùng với diện tích của tam giác dựng trên vectơ $r$ và $v \Delta t$, tức là

$$\Delta S = \frac{1}{2} rv \Delta t \sin \alpha,$$

cạnh $v_0$ là giá trị vận tốc của hành tinh tại thời điểm hành tinh ở điểm cuối bán trục phụ. Hãy thể hiện nó. Ở cuối bán trục nhỏ, theo định nghĩa, độ dài của vectơ bán kính $r$ và $r'$ bằng nhau. Do đó, $u^2 = 1$ (kể từ $r_1 = u^2 r$). Điều này có nghĩa là $v = v_0$. Cụ thể từ đây, suy ra rằng bán trục nhỏ của hình elip $b$ bằng

$$b = L_0/v_0$$

(sự bình đẳng này được giải thích trong Hình 5).

Vì vậy, hãy tóm tắt. Chúng tôi đã chỉ ra rằng hành tinh này chuyển động theo hình elip, tại một trong những tiêu điểm mà Mặt trời tọa lạc. Các thông số của hình elip này là:

trục bán chính: $a = \alpha/v_0^2$,
trục nhỏ: $b = L_0/v_0$,
trong đó $\alpha = \gamma M$ (M là khối lượng của Mặt trời), $L_0$, $v_0$ là các hằng số của một hành tinh nhất định.

Ghi chú cuối cùng

Trên thực tế, chúng ta đã thu được tất cả các công thức mô tả chuyển động của hành tinh dọc theo một hình elip. Tất cả, ngoại trừ một - chúng ta không biết vị trí của hành tinh trên quỹ đạo thay đổi như thế nào theo thời gian. Đây là một bài toán phức tạp hơn và chúng tôi sẽ không nhớ nó. Ít nhất là bây giờ.

Hình 6.

19

Hình 7.

Vì vậy, chúng ta sẽ giả định rằng
$$\Delta r = v \Delta t,$$
$$\Delta v = w \Delta t^*).$$

Đương nhiên, khi tính sự thay đổi diện tích của hình bình hành, chúng ta cũng sẽ chỉ quan tâm đến tốc độ thay đổi diện tích và sẽ loại bỏ gia tốc (các giá trị tỷ lệ với $(\Delta t)^2)$. Gia tốc của hành tinh tỷ lệ với lực $\vec{F}$ tác dụng lên hành tinh. Lực hướng về Mặt trời, tức là ngược hướng với vectơ bán kính. Do đó, vectơ $\Delta v$ song song với vectơ $\vec{r}$. Nó hướng đối diện với vectơ $\vec{r}$. Dễ dàng vẽ các vectơ $\Delta r$ và $\Delta v$, sau đó là các vectơ $r' = r + \Delta r$ và $v' = v + \Delta v$ và dựng các hình bình hành trên chúng (Hình 7) Diện tích của các hình bình hành này bằng với sự tương ứng $S_2 = v' r' \sin \beta$, trong đó $\beta$ là góc. giữa các vectơ $v'$ và $r'$ và $S_3 = \Delta r \Delta v \sin \alpha$ Thật dễ dàng để chứng minh điều đó.
$$S_2 = S_1 + S_3.$$
Chúng ta hãy lưu ý rằng diện tích của $S_3$ tỷ lệ với $\Delta t^2$, vì cả $\Delta r$ và $\Delta v$ đều tỷ lệ với $\Delta t$. Vì chúng ta đang bỏ qua các điều kiện độ lớn tỷ lệ với $(\Delta t)^2$, nên chúng ta cũng có thể loại bỏ diện tích $S_3$. Chúng tôi nhận được sự chấp thuận mà chúng tôi cần
$$S_2 = S_1,$$
nghĩa là diện tích hình bình hành không thay đổi theo thời gian.

*) $w$ là gia tốc của vectơ $\vec{r}$, nhưng nó là tốc độ thay đổi vận tốc $v$.

Tất nhiên, lý luận của chúng tôi không chặt chẽ lắm nhưng có thể chính xác, đặc biệt nếu bạn biết cách phân biệt.

Bây giờ chúng ta hãy quay lại vật lý. Nếu $\Delta t$ nhỏ thì diện tích của hình bình hành nhỏ có thể được coi là rất nhỏ. Vì vậy, khi hành tinh chuyển động, diện tích hình bình hành dựng trên vectơ $r$ và $v$ không đổi:
$$vr \sin \alpha \approx v' r' \sin \beta = \text{const.}$$

Chỉ cần lưu ý rằng diện tích của một hình tam giác được xây dựng trên cùng một vectơ bằng một nửa diện tích của hình bình hành và chúng ta đi đến định luật thứ hai:

Kepler: $$\frac{1}{2} vr \sin \alpha = \text{const.}$$

Trong chứng minh, chúng ta chỉ sử dụng thực tế là lực tác dụng lên hành tinh có hướng dọc theo vectơ bán kính. Trong những trường hợp như vậy, họ nói rằng cơ thể chuyển động dưới tác động của một lực trung tâm, nghĩa là một lực luôn hướng về một điểm (hoặc ra xa điểm đó). Do đó, khẳng định vừa chứng minh có thể được phát biểu như sau:

Đối với thùy vật chất chuyển động dưới tác dụng của lực trung tâm, các giá trị $rv \sin \alpha$ không đổi. Vẫn được xây dựng với số lượng $mvr \sin \alpha$, trong đó $m$ là khối lượng của vật liệu ĐIỂM. Nhưng $mv = p$ là động lượng của hạt. Đại lượng $L = pr \sin \alpha$ được gọi là xung lượng góc. Đây là cách chúng ta đi đến định luật bảo toàn động lượng góc:

Khi LOBE vật chất chuyển động trong trường của lực trung tâm thì xung lượng góc không đổi.

Định luật này đóng vai trò đối với chuyển động trong trường của lực trung tâm tương tự như vai trò của định luật bảo toàn động lượng đối với chuyển động khi không có lực.