Thế vận hội ở Omsk

57

Thế vận hội ở Omsk

Vào tháng 4 năm 1979, một cuộc họp của bộ phận toán học của Hiệp hội Sinh viên Khoa học Thành phố Omsk đã diễn ra. Tại buổi họp đã tổng kết kết quả Olympic đồng đội các trường thành phố lần thứ 2. Các cuộc thi Olympic kiểu này đã được tổ chức tại Omsk từ năm 1978 bởi Hiệp hội Khoa học Sinh viên của Viện Bách khoa và Đại học Omsk*). Hình thức thực hiện nhóm của nó góp phần phát triển công việc sáng tạo tập thể mới.

123 đội (mỗi đội 5 học sinh từ lớp 9-10) từ 95 trường học trong thành phố, cũng như các khách mời đến từ Bratsk và Angarsk, đã tham gia Olympic này. Ban giám khảo đã xét đến độ khó của bài toán, tính đầy đủ và số cách của lời giải, cũng như tập thể đã giải được bài toán nên bài toán đã giải được hoàn toàn, cho đội nhiều điểm hơn một số bài toán, trong đó có khoảng trống ở lời giải.

Tác phẩm xuất sắc nhất là của nhóm trường Angarsk; Đội đầu tiên của trường số 88 ở Omsk cũng không kém xa.

Chúng tôi mời mọi người đến với chỉ huy III

*) Xem «Kvant», 1978, số 11, tr. 60.

Bài toán Olympic

1. Tìm tổng của một trăm số đầu tiên xuất hiện trong cả hai cấp số cộng 17, 21, 25, … và 16, 21, 26, … (3 điểm).

2. Giải phương trình $x=1-5(1-5x^2)^2$ (2 điểm).

3. Cho một tam thức bậc hai $y=ax^2+bx+c$. Tìm tất cả các giá trị của $a, b, c$ sao cho nếu $x=a$ thì $y=a$, nếu $x=b$ thì $y=b$ và nếu $x=c$ thì $y=c$ (3 điểm).

4. Có 4 điểm cho trên mặt phẳng. Tất cả đều được kết nối bằng các đoạn thẳng. Chứng minh rằng tỉ số giữa độ dài đoạn lớn nhất và độ dài đoạn nhỏ nhất không nhỏ hơn $\sqrt{2}$ (6 điểm).

5. Dữ liệu trình tự
   $$a_{n+1}=\frac{2}{1-a_n}+\frac{1}{b_n},$$
   $$b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2},$$
   ở đâu $a_0>0$, $b_0>0$. Chứng minh rằng chúng có giới hạn chung là $\sqrt{a_0b_0}$ (4 điểm).

6. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương phân biệt sao cho tổng của hai số đó chia hết cho một phần ba (6 điểm).

7. Chứng minh rằng nếu một trong các tọa độ của tâm đường tròn là vô tỷ thì trên đường tròn này sẽ có nhiều nhất hai điểm, cả hai đều có tọa độ khác nhau (5 điểm).

8. Hai người viết một số có 20 chữ số, chỉ sử dụng các số 1, 2, 3, 4, 5. Chữ số đầu tiên được viết bởi số thứ nhất, số thứ hai bằng số thứ hai, số thứ ba bằng số thứ nhất, v.v. Liệu người thứ hai có thể đảm bảo rằng số kết quả được chia cho 9 nếu người đầu tiên cố gắng đặt nó vào đó không? (5 điểm).

9. Có bốn $n$ nào có các đa hình có chính xác các cạnh $n$? (2 điểm). Câu hỏi tương tự cho số lẻ $n$ (4 điểm).

10. Từ các số 1, 2, …, 9, 4 chữ số được chọn ra và từ đó tạo thành hai giá trị gần nhau nhất. Ý nghĩa quan trọng nhất của mô hình khác biệt của họ là gì? (6 điểm).

11. Trên các cạnh $AB$ và $BC$ của tam giác $ABC$ các hình vuông $ABB_1A_1$ và $CBB_2C_2$ được xây dựng hướng ra ngoài. Tìm độ dài của đoạn $B_1B_2$ nếu độ dài của medina $BE$ là $m$ (3 điểm).

12. Một trong các góc của tam giác và độ dài đường cao tính từ đỉnh của góc này đã biết. Làm thế nào có thể vẽ cạnh thứ ba sao cho diện tích của tam giác là nhỏ nhất? (3 điểm).

13. Chứng minh rằng phương trình $a^x+b^x=c^x+\alpha$, trong đó các số $a, b, c$ dương và không bằng một, có nhiều nhất ba lời giải khác nhau (5 điểm).

14. Giải phương trình $\sin^3 x \cdot \cos x - \cos^3 x \times \sin x = 1/4$ (1 điểm).

15. Trong tam giác $ABC$ ta có: $|AC|=b$, $|AB|=c$, $|A|=2\sqrt{2}$. Tìm $|BC|$ (2 điểm).

A. Krivorukyu, M. Nemchenitser

Danh sách độc giả đã gửi quy tắc lời giải bài toán từ Sách Vấn Đề «Kvant»

(Để bắt đầu, xem trang 36)
vùng Kova) 51, 52; A. Streminsky (Donetsk) 56; A. Stmirskas (làng Chernogolovka, vùng Moscow) 53, 56; S. Surov (Orenburg) 51; A. Tadaev (Novosibirsk) 51; M. Tomashpolsky (Moscow) 56; O. Trushin (Kostroma) 51; L. Umkin (Vologda) 51, 56; D. Faindauz (Leningrad) 49—51, 56; A. Farber (Baku) 56; N. Fedin (Omsk) 50, 51, 56; A. Fedokovich (Pinsk) 49; I. Fomenko (Dnepropetrovsk) 51, 52; O. Khoruzhsky (Cherpovets) 51; S. Khosid (Alma-Ata) 51;

V. Tselikov (Cherpovets) 49, 56, 57; A. Chernysh (ga Lisogorskaya, vùng Stavropol) 53, 56, 57; A. Chechel (Moscow) 56; I. Shvets (Zhovti Vody) 49, 56; A. Sheriev (Krasnodar) 56, 57; P. Shibaev (Moscow) 49, 52; A. Shirieev (làng Rozhestveno MordASSR) 51; S. Shishchin (Nevinnomysk) 50, 51; S. Shishkov (Moscow) 56, 57; A. Shostachenko (Kishinev) 56; N. Streshen (Moscow) 50; A. Ezerins (làng Kuzmolovo, vùng Leningrad) 57; M. Efroimsky (Leningrad) 49, 51, 57; V. Yarovoy (Leningrad) 49, 51, 57.