Bài toán

30

Nhiệm vụ

1. Trong các ví dụ hiển thị trong hình, tất cả mười chữ số đều được sử dụng. Trong ví dụ đầu tiên, chữ 0 là số 0, chữ P bằng chữ I và chữ B là chữ Z, các chữ cái còn lại có giá trị số độc lập. Trong ví dụ thứ hai, không có chữ cái nào có cùng nghĩa, rõ ràng H$^E$=C và E là số lẻ.

Xác định ý nghĩa của tất cả các chữ cái trong mỗi ví dụ.

2. Cậu bé mua tem bưu chính bằng đồng rúp, và cậu mua hai con tem kopeck ít hơn 10 lần so với tem một kopeck, trong khi số tem còn lại là tem năm kopeck. Cậu bé đã mua bao nhiêu con tem của mỗi mệnh giá?

3. Trên đường kính của đường tròn tâm tại điểm O có tâm A và B của hai đường tròn nữa tiếp xúc với đường tròn ban đầu và nhau (xem hình). Một đường tròn khác, tâm được ký hiệu là C, tiếp xúc với cả ba khoảng cách bằng các đường tròn đó, như trong hình. Chứng minh rằng chu vi của các tam giác AOC và BOC bằng độ dài đường kính của hình tròn thứ nhất.

4. Học sinh lớp 6 Petya Ivanov đã đưa ra hai định lý mới:
   a) Một số tự nhiên chia hết cho 27 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 27;
   b) Nếu tổng các chữ số của một số tự nhiên chia hết cho 27 thì số đó chia hết cho 27.
   Liệu Petya có thể chứng minh những định lý này không?