Olympic Toán Quốc tế dành cho học sinh lần thứ XXI

53

Olympic Toán quốc tế lần thứ XXI, được tổ chức từ ngày 28 tháng 6 đến ngày 9 tháng 7 năm 1978 tại Vương quốc Anh, là một trong những kỳ thi Olympic tiêu biểu nhất. Các đội từ 22 quốc gia đã tham gia: Úc, Bỉ, Bulgaria, Brazil, Anh, Hungary, Việt Nam, Đông Đức, Hy Lạp, Israel, Cuba, Hà Lan, Ba Lan, Romania, Liên Xô, Mỹ, Phần Lan, Pháp, Đức, Tiệp Khắc, Thụy Điển và Nam Tư. Đội tuyển Bỉ có thêm thành viên đến từ Luxembourg. Đại diện Australia bắt đầu đóng vai trò quan sát viên.

Theo truyền thống, đội tuyển mỗi nước gồm 8 học sinh và 2 thủ lĩnh. Các trường hợp ngoại lệ là đội Brazil - 5 học sinh, Việt Nam và Cuba - mỗi đội 4 học sinh. Đội Liên Xô bao gồm những người chiến thắng trong Olympic Toán học toàn Liên minh: học sinh lớp 10 Murman Ambroladze (Trường Vật lý Komarov, Tbilisi), Aleksandr Dettyarev và Ilya Zakharevich (cả hai đều học từ trường nội trú tại Đại học bang Leningrad), Igor Lysenok, Andrey Lyakhovets, Sergei Khlebutin (tất cả đều học từ trường nội trú tại Đại học quốc gia Moscow), Mikhail Rudkovsky (trường nội trú tại KSU) và một học sinh lớp 9 đến từ Moscow, Alexander Razborov (trường số 2).

Chuyến đi bao gồm trại huấn luyện kéo dài một tháng tại trường thực nghiệm của Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô ở làng Chernogolovka, Vùng Moscow. Do thành phần của đội đã được xác định trước (đội bao gồm tất cả 6 học sinh đạt điểm cao nhất ở 10 lớp tại Olympic toàn Liên minh, cũng như một học sinh đạt điểm cao ở 9 lớp và một học sinh đạt điểm cao ở 10 lớp), cuộc tập hợp chỉ mang tính chất đào tạo, giúp những người tham gia khỏi những nỗ lực không cần thiết liên quan đến việc lựa chọn thêm đội. Tại buổi họp mặt, các câu hỏi mang tính chất lý thuyết và thực tiễn đã được nghiên cứu, đặc biệt là bài toán của các kỳ Olympic trước đó đã được phân tích. Theo truyền thống, trại huấn luyện có những hoạt động văn hóa, giáo dục rất ý nghĩa và những cuộc thi đấu thể thao thú vị.

Ngay cả trước khi học sinh đến Vương quốc Anh, vào ngày 28 tháng 6 tại Bristol, ban giám khảo của Olympic, bao gồm các nhà lãnh đạo khoa học của đội, đã bắt đầu làm việc để lựa chọn bài toán. Cho đến ngày 1 tháng 7, ban giám khảo đã chọn ra 6 bài toán để cải thiện số bài toán do các nước tham gia Olympic gửi đến. Các bài tập ban đầu được biên soạn bằng các ngôn ngữ chính thức của Olympic: tiếng Nga, tiếng Đức, tiếng Pháp và tiếng Anh, sau đó được dịch sang ngôn ngữ của các quốc gia tham gia Olympic để mỗi học sinh viết bài bằng tiếng mẹ đẻ của mình.

Các học sinh cùng với các lãnh đạo giảng dạy của họ đã tiếp cận London vào ngày 30 tháng 6. Các đội được đặt tại ký túc xá của Westfieldkled, Đại học London. Tại các lớp học cùng đợt thu ngày 2 và 3/7 đã được tổ chức và cải tiến. Trong mỗi hai điều này, người tham gia được tặng 3 bài toán.

Chúng tôi công bố các điều kiện bài toán (ở cuối mỗi bài toán quốc gia cung cấp bài toán và số điểm cho toàn bộ lời giải được chỉ định).

Ngày đầu tiên

1. Cho $p$ và $q$ là các số tự nhiên sao cho
   $$\frac{p}{q} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots - \frac{1}{1318} + \frac{1}{1319}.$$

54

Chứng minh số $p$ chia hết cho 1979. (Đức, 6 điểm).

2. Cho một lăng kính ngũ giác có đáy $A_1A_2A_3A_4A_5$ và $B_1B_2B_3B_4B_5$. Tất cả các cạnh của đáy và tất cả các đoạn $A_iB_j$ ($i, j = 1, 2, 3, 4, 5$) được tô màu đỏ hoặc xanh lục sao cho trong mọi tam giác có các đỉnh ở các đỉnh của lăng kính, tất cả các cạnh đều được tô màu thì có hai cạnh có màu khác nhau. Chứng minh rằng tất cả 10 cạnh của các đáy đều được tô màu giống nhau. (Bulgaria, 7 điểm).

3. Hai đường tròn giao nhau $C_1$ và $C_2$ được cho trên mặt phẳng. Đặt điểm $A$ là một trong những giao điểm của chúng. Từ điểm $A$ dọc theo đường tròn $C_1$ và $C_2$, các điểm $M_1$ và $M_2$ đồng thời bắt đầu di chuyển. Các điểm di chuyển với tốc độ không đổi theo cùng một hướng. Sau một vòng quay, cả hai điểm đồng thời trở về điểm $A$.

Chứng minh rằng tồn tại một điểm cố định $P$ trên mặt phẳng sao cho khoảng cách từ điểm $P$ đến các điểm $M_1$ và $M_2$ bằng nhau trong suốt thời gian chuyển động. (CCCP, 7 điểm).

Ngày thứ hai

4. Cho một mặt phẳng $\pi$, một điểm $P$ trên mặt phẳng này và một điểm $Q$ trong mặt phẳng $\pi$. Tìm tất cả các điểm $R$ trong mặt phẳng $\pi$ sao cho tỷ lệ $(|QP| + |PR|)/|QR|$ là lớn nhất. (Mỹ, 6 điểm).

5. Tìm tất cả các số thực $a$ tồn tại các số thực không âm $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ thỏa mãn điều kiện tương ứng

$$\sum_{k=1}^{5} kx_k = a, \sum_{k=1}^{5} k^3x_k = a^2, \sum_{k=1}^{5} k^5x_k = a^3.$$

(Israel, 7 điểm).

6. Đặt $A$ và $E$ là hai đỉnh đối diện của một đỉnh tăng dần đúng cách. Tại đỉnh $A$ có ​​một con kangaroo. Từ bất kỳ đỉnh nào của tháp, ngoại trừ đỉnh $E$, kangaroo có thể nhảy tới bất kỳ đỉnh nào trong số hai đỉnh liền kề. Khi đến đỉnh $E$, con kangaroo dừng lại và giữ nguyên ở đó. Gọi $a_n$ là số cách một con kangaroo có thể nhảy từ đỉnh $A$ đến đỉnh $E$ với chính xác $n$ lần nhảy. Chứng minh rằng

$$a_{2n-1} = 0, \quad a_{2n} = \frac{1}{\sqrt{2}} (x^{n-1} - y^{n-1}), \quad n = 1, 2, 3, \dots,$$

ở đâu $x = 2 + \sqrt{2}, y = 2 - \sqrt{2}$.

(Phương pháp chuyển từ đỉnh $A$ đến đỉnh $E$ trong lần nhảy $n$ là dãy các đỉnh $(P_0, \dots, P_n)$ thỏa mãn điều kiện sau:

1. $P_0 = A$,
2. $P_n = E$,
3. với bất kỳ $i, 0 \leq i \leq n-1, P_i \neq E$ nào,
4. cho bất kỳ $i, 0 \leq i \leq n-1, P_i + P_{i+1} =$ đỉnh liền kề nào của đa giác.) (Đức, 7 điểm).

Vào mỗi ngày lời giải trong số bài toán được đề xuất được cung cấp 4 giờ.

Vào ngày 4, 5 và 6 tháng 7, công việc đã được kiểm tra và phối hợp đánh giá công việc. Công việc đã được các trưởng nhóm kiểm tra và đánh giá cuối cùng được thực hiện cùng với tọa độ - các nhà toán học người Anh. Lúc này, học sinh làm quen với thắng cảnh của London.

Sau khi tổng hợp kết quả, đội tuyển Liên Xô ghi được tổng cộng 267 điểm và chiếm vị trí đầu tiên. Đứng thứ hai là đội Romania (240 điểm), đứng thứ ba là đội Đức (235 điểm), đứng thứ tư là Anh (218 điểm), đứng thứ năm là Mỹ (199 điểm).

Trong phần thi cá nhân, bốn người tham gia đã ghi đầy đủ số điểm: A. Razborov và I. Zakharevich (SSCP), cũng như một người tham gia từ đội Vvetnam và Tiệp Khắc. Họ và các thí sinh đạt trên 36 điểm, tổng cộng 8 người, đã nhận được giải nhất. Giải nhì được trao cho 21 người tham gia - những người đạt từ 29 đến 36 điểm, trong đó có 4 thành viên của đội Liên Xô: I. Lysenok và M. Rudkovsky (mỗi người 36 điểm), S. Khlebutin (35 điểm) và A. Lyakhovets (34 điểm). Giải ba được trao cho các thí sinh Olympic đạt từ 20 đến 28 điểm, gồm A. Dettyarev (27 điểm); M. Ambroladze ghi được 19 điểm.

Cần lưu ý rằng trong số mười tác phẩm hàng đầu, có bốn tác phẩm được viết bởi học sinh Liên Xô.

Phân tích kết quả của nhóm Liên Xô đối với các nhiệm vụ nhất định cho thấy các chỉ huy của chúng tôi đã thực hiện tất cả các nhiệm vụ được giao, đạt từ 73 đến 100% số điểm có thể có trong các nhiệm vụ riêng lẻ.

Sau khi Thế vận hội kết thúc, những người tham gia đã dành hai ngày với tư cách là khách mời của Đại học Oxford. Họ làm quen với vô số bộ sưu tập của trường đại học này, một trong những trường đại học lâu đời nhất ở Anh, và cũng có chuyến tham quan đến Stratheford - nơi sinh của William Shakespeare. Tối muộn ngày 9/7, đội tuyển Liên Xô đã bay về quê hương.