Tỷ lệ dẫn xuất

44

A. Bendukidze, A. Savin

Tỷ lệ dẫn xuất

• Chào Ira!
• Ồ, là bạn đây, Vitya! Vào trong, ngồi xuống.
• Cổ họng cậu đau thế nào?
  — Bác sĩ nói rằng bạn có thể đi học vào thứ Hai. Lớp học có gì mới?
• Hôm nay thật là một trận cười! Natalya Nikolaevna đã gọi Seryozha Kazakov lên hội đồng quản trị. Tôi không nhớ anh ấy đã giải được bài toán nào, nhưng trong quá trình thực hiện, anh ấy cần thêm $2/3$ và $5/4$. Anh ta lấy và cộng tử số với tử số, mẫu số với mẫu số và kết quả là $7/7$, tức là một. Và Natalya Nikolaevna nói: “Hãy đưa cho tôi, Seryozha, một cuốn nhật ký, tôi sẽ đặt đơn vị này ở đó cho bạn làm kỷ niệm.”
• Đợi một chút, Vitya, chuyện này thú vị đấy!
• Chắc chắn rồi! Đã lâu rồi chưa có ai nhận được quà từ chúng tôi.
• Đó không phải là điều tôi đang nói đến. Hãy nhìn xem, một phân số nhỏ hơn một, phân số thứ hai lớn hơn, và kết quả là một. Hãy đưa cho tôi cuốn sổ và cây bút trên bàn! Cảm ơn. Nào, lấy $2/3$ và $2/5$. Vậy… Cộng các tử số, rồi các mẫu số…
• Vòng nguyệt quế của Kazakov có ám ảnh bạn không?
  — Đợi đã, chúng ta nhận được $4/8$, tức là $2/4$, tức là $1/2$. Vâng! $1/2$ lớn hơn $2/5$ nhưng nhỏ hơn $2/3$. Hoan hô! Vitya, tôi đã nghĩ ra một định lý mới: nếu bạn cộng tử số của hai phân số rồi đến mẫu số, bạn sẽ được một phân số lớn hơn phân số nhỏ hơn, nhưng nhỏ hơn phân số lớn hơn.
• Chờ đã, làm sao cậu biết điều này là sự thật?
• Tôi chưa biết, tôi cảm thấy là như vậy.
• Hãy kiểm tra xem nó ra. Nếu hai phân số bằng nhau thì phép cộng này theo định lý của bạn sẽ cho một phân số bằng chúng. Hãy lấy $2/3$ và $4/6$. Vì vậy… Chúng ta nhận được $6/9$, tức là một lần nữa $2/3$.
• Tại sao phải là trường hợp đặc biệt? Hãy lấy phân số tối giản $a/b$.
• Tại sao không thể giảm được?
• Được rồi, tôi sẽ nhân tử số và mẫu số với một số $n$. Bây giờ tôi sẽ lấy một phân số khác bằng nó. Để làm điều này, tôi sẽ nhân tử số và mẫu số với số $m$. chúng tôi nhận được

$$\frac{na}{nb} \quad \frac{ma}{mb}.$$

Cộng các tử số và mẫu số rồi chia. Nó hoạt động

$$\frac{na+ma}{nb+mb}.$$

45

Bây giờ tôi thấy những gì cần phải làm! Chúng ta hãy lấy tập $a$ vào tử số và $b$ vào mẫu số. Hãy viết điều này ra:

$$\frac{a(n+m)}{b(n+m)}$$

Bây giờ bạn có thể rút ngắn nó xuống $(n+m)$; rõ ràng phân số thu được bằng phân số ban đầu.

Vitya, đây cũng là một định lý tuyệt vời! Hãy nghe câu nói:

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}, \quad \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a+c}{b+d}$$

Và tôi nghĩ sẽ tốt hơn nếu xây dựng nó như thế này: $$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}, \quad \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{na+mc}{nb+md}$$

Vào thứ Hai, Ira và Vitya cho Natalya Nikolaevna xem khám phá của họ.

Chà, họ còn trẻ,” Natalya Nikolaevna nói, “tất nhiên, tài sản mà bạn phát hiện ra đã được biết đến.” Nó được gọi là tỷ lệ dẫn xuất. Trong tương lai, nó có thể được chuẩn bị cho bạn nhiều lần. Và tất nhiên, bạn nên viết về nó trên tờ báo tường toán học của chúng tôi. Chúng tôi cũng sẽ đặt định lý của bạn ở đó, Ira: $$\frac{a}{b} < \frac{c}{d}, \quad \frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d}$$. Bạn đã đoán đúng. Chỉ cần chứng minh điều đó cho chính mình.

Thay mặt tôi, tôi sẽ bổ sung thêm một số định lý về tỷ lệ dẫn xuất. Viết nó ra đi, Vitya. Giả sử định lý đầu tiên là thế này:

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}, \quad \frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$$

Chà, Natalya Nikolaevna, nó khá đơn giản! Hãy chia vế trái cho $b$ cho từng số hạng và chia vế phải cho $d$, ta được $$\frac{a}{b} + 1 = \frac{c}{d} + 1.$$ Nhưng các phân số bằng nhau, có nghĩa là bằng cách cộng một vào cả hai vế của đẳng thức đúng, chúng ta sẽ lại có được đẳng thức đúng.

Cái thứ hai sẽ là cái cuối cùng: $$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}, \quad \frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d}$$.

Nhưng đây là một tỷ lệ dành cho bạn, thậm chí không phải với hai, mà với bốn số tùy ý: $$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \quad u, n, m, p, r$$ là các số tùy ý, thì

$$\frac{na+mb}{pa+rb} = \frac{nc+md}{rc+rd}$$.

Natalya Nikolaevna,” Ira nói, “nhưng những định lý trước đây của bạn là một phần của trường hợp này.” Trong định lý thứ nhất, $n$, $m$ và $r$ bằng một và $p$ bằng 0, trong định lý thứ hai, $m$ bằng một và các số còn lại bằng một. Và ở phần thứ ba, $n$, $m$ và $p$ bằng một và $r$ là trừ một. Vì vậy, sau khi chứng minh định lý này, tôi sẽ chứng minh tất cả các định lý khác.

Không,” Vitya dài giọng, “Tôi thà thử xem xét các trường hợp từng phần, rồi nhìn xem, bạn sẽ thấy rõ cách chứng minh định lý ở dạng tổng quát, hơn là ngay lập tức vắt óc suy nghĩ về một định lý khó, đặc biệt là vì tôi đã chứng minh được một định lý rồi.”

Và bạn, độc giả, được mời suy nghĩ về các định lý được thảo luận ở đây.