Viện Vật lý và Công nghệ Moscow

51

Viện Vật lý và Công nghệ Moscow

Dưới đây là các tài liệu được xuất bản từ kỳ thi tuyển sinh viết năm 1979. Năm giờ được phân bổ cho cả môn toán và vật lý.

Mathematica

Tùy chọn 1

1. Giải phương trình
   $$\sqrt{2-x} + \frac{4}{\sqrt{2-x}+3} = 2.$$
2. Giải bất đẳng thức
   $$\frac{x-1}{\log_3(9-3^x)} \leq 1.$$
3. Tìm tất cả các phương trình lời giải
   $$\sin(2x - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}\sin^2x,$$
   thỏa mãn bất đẳng thức
   $$\log_{\cos^23}(1 + \sin(7x+5)) < \sin 8x.$$
4. Các đường cao AM và CN của tam giác nhọn ABC cắt đường tròn ngoại tiếp của nó tại các điểm P và Q. Tìm bán kính của đường tròn ngoại tiếp nếu $|AC| = a, |PQ| = \frac{6}{5}a.$
5. Trong khu đất ABCD, hai góc ở cạnh AB và BD vuông góc $\widehat{ACD} = a$. Đỉnh của hình nón trùng với một trong các đỉnh của hình nón, đường tròn của đáy hình nón được ghi vào một trong các ranh giới. Tìm góc trong phần trục của hình nón.
6. Điểm N nằm trên bờ một con sông có chiều rộng 1 km, vận tốc dòng nước là 1 km/giờ. Điểm M nằm cách bờ bên kia ít nhất 3 km về phía hạ lưu. Một ngư dân rời điểm M và đi dọc bờ biển về phía N với vận tốc 4 km/h. Đúng thời hạn, một người vận chuyển đi từ điểm N trên một chiếc thuyền, băng qua sông và bắt được ngư dân, chở anh ta đến điểm N. Thuyền di chuyển tới lui theo một đường thẳng và hướng di chuyển đã được chọn sao cho thời gian trôi qua từ lúc khởi hành đến lúc quay về là ngắn nhất, bằng $\frac{9}{8}$ giờ. Vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là 4km/giờ. Tìm khoảng cách (hạ lưu) giữa điểm M và N.

Tùy chọn 2

1. Giải bất đẳng thức
   $$0,4^x - 2,5^{x+1} > 1,5.$$
2. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} \log_2y = \log_4(xy - 2), \\ \log_9x^2 + \log_3(x-y) = 1. \end{cases}$$
3. Một đường tròn bán kính R vẽ qua các đỉnh A, B và C của hình thang thẳng $ABCD$ ($\widehat{A} = \widehat{B} = \frac{\pi}{2}$) cắt các đoạn AD và CD lần lượt tại các điểm M và N sao cho $|AM|:|AD| = |CN|:|CD| = 1:3$. Tìm diện tích của hình thang.
4. Giải phương trình
   $$\sin x + \sin^2x + \cos^3x = 0.$$
5. Hai đoàn tàu khởi hành từ điểm A và B hướng về nhau cùng một lúc. Mỗi người trong số họ lúc đầu chuyển động với gia tốc đều (tốc độ ban đầu của tàu bằng 0), và sau đó, khi chúng đạt đến một tốc độ nhất định, sẽ chuyển động đều. Tỉ số vận tốc của chuyển động đều của tàu là $\frac{4}{3}$. Tại thời điểm gặp nhau, hai đoàn tàu có tốc độ như nhau và đến điểm B và A gần như đồng thời. Tìm tỉ số gia tốc của đoàn tàu.
6. Đáy của hình vuông song song $ABCDA_1B_1C_1D_1$ là hình vuông ABCD. Tìm góc lớn nhất có thể có giữa đường thẳng BD$_1$ và mặt phẳng BDC$_1$.

Vật lý

Tùy chọn 1

1. Ba quả bi-a nhẵn giống nhau có bán kính R đặt trên một mặt phẳng nằm ngang nhẵn như Hình 1. Cho vận tốc $\vec{v}_0$, quả bóng 1 chạm vào quả bóng 2 trước, sau đó đến quả bóng 3 và bị bỏ rơi. Xác định khoảng cách r giữa tâm hai quả bóng 2 và 3 và vận tốc mà quả bóng 2 và 3 thu được sau va chạm. Va chạm là đàn hồi.
2. Xi lanh đặt dưới pít-tông chứa n = 0,5 mol không khí ở nhiệt độ T$_0$ = 300 K. Thể tích của khí sẽ tăng lên bao nhiêu lần khi truyền nhiệt lượng Q = 13,2 kJ cho nó? Nhiệt độ mol của không khí ở áp suất không đổi là C$_p$ = 29,1 J/(mol K).
3. Nối các cuộn dây mắc song song có độ tự cảm L và điện trở R thông qua khóa K và một nguồn có suất điện động E không đổi và điện trở trong r (Hình 2). Tại thời điểm ban đầu công tắc K mở và trong mạch không có dòng điện. Điện tích Q nào sẽ chạy qua điện trở R sau khi đóng công tắc K? Bỏ qua điện trở thuần của cuộn dây.
4. Sự phụ thuộc nghịch đảo của độ tăng tuyến tính vào khoảng cách d từ vật đến

52

đường mỏng. Mối quan hệ này được thể hiện trong Hình 3. Xác định tiêu cự của đường thẳng.

Tùy chọn 2

1. Do sự tương tác giữa hạt nhân hoạt động và tritium, một hạt nhân gel và neutron được hình thành: $^2\text{H} + ^3\text{H} = ^4\text{He} + n$. Điều này giải phóng năng lượng đáng kể. Neutron mang theo phần nào? Động năng của tác dụng và triti trước phản ứng có thể bỏ qua so với năng lượng giải phóng.

2. Các ống laser có thể tích $V_0 = 60$ cm$^3$ phải đổ đầy hỗn hợp gel và neon theo tỷ lệ mol 5:1 với tổng áp suất $p_0 = 6$ mmHg. Nghệ thuật. Có điểm cho các loại khí này, mỗi thể tích là $V_C = 2$ lít. Áp suất trong quả bóng gel $p_1 = 50$ mmHg. Nghệ thuật, neon - $p_2 = 200$ mm Hg. Nghệ thuật. Có thể lấp đầy bao nhiêu ống?

3. Một tụ điện tích điện có công suất $C$ được nối thông qua công tắc $K$ với hai cuộn dây nối song song có điện cảm $L_1$ và $L_2$ (Hình 4). Tại thời điểm đầu tiên, chìa khóa được mở. Nếu bạn đóng chìa khóa $K$, dòng điện sẽ được tiêu thụ qua cuộn dây. Được biết, dòng điện cực đại chạy qua cuộn dây có độ tự cảm $L_1$ hóa ra bằng $I_1$. Tìm điện tích ban đầu của tụ điện. Bỏ qua điện trở thuần của cuộn dây.

4. Một tia sáng mỏng rơi vào một cái nêm thủy tinh vuông góc với cạnh của nó (Hình 5). Chỉ báo giả định kính $n = 1,41$, góc $\alpha = 10^\circ$. Có bao nhiêu điểm sáng nhìn thấy được trên một màn đặt phía sau cái nêm?

Tùy chọn 3

1. Vào thời điểm nào trong ngày, vật thể ở xích đạo Trái đất nặng bằng một nửa vật thể ở cực? Bán kính Trái đất là $R = 6400$ km.

2. Một ống chứa thuốc phóng xạ $^{24}\text{Na}$ (chu kỳ bán rã $\tau_{1/2} = 15$ h) được làm mát bằng luồng không khí. Khi bắt đầu thử nghiệm không khí, không khí làm mát sẽ nóng lên $\Delta t_0 = 2^\circ\text{C}$. Sau bao lâu không khí làm mát sẽ nóng lên $\Delta t_1 = 1,8^\circ\text{C}$?

3. Phần tích điện đứng yên (proton) nằm giữa các bản của tụ điện phẳng đặt trong chân không. Hướng $U_c(t)$ của hình dạng trực tiếp mới được áp dụng cho tụ điện (Hình 6). Xác định biên độ hướng $U_0$ và năng lượng của hạt $E$ tại thời điểm va chạm vào bản tụ, nếu biết rằng trong thời gian $\tau = 10^{-6}$ s hạt đã đi được quãng đường $3/8L$, trong đó $L$ là khoảng cách giữa các bản tụ, $L = 5$ cm. Khối lượng của proton là $m_p = 1,67 \cdot 10^{-24}$ g, điện tích của nó là $e = 1,6 \cdot 10^{-19}$ Cl.

4. Trong một quả cầu thủy tinh có thành mỏng có đường kính $2R = 4$ cm, có thể nhìn thấy hai hình ảnh của ngọn lửa nến, gây ra bởi sự phản xạ từ các bức tường gần và xa hơn của quả bóng. Kích thước hình ảnh tham khảo ngày 21/19. Xác định khoảng cách giữa tâm quả bóng và ngọn nến.

V. Mozhaev,
V. Fedosov,
V. Chekhlov