Biến động của đại lượng vật lý

10

V. Gurevich

Biến động của đại lượng vật lý

Hãy xem xét một hệ thống vật lý bao gồm một số lượng rất lớn các nguyên tử hoặc phân tử. Những hệ thống như vậy được gọi là hệ thống macrosoppech. Chất khí đổ đầy bình, chất lỏng bão hòa trong bình, tinh thể rắn đều là những ví dụ về hệ thống macrosoppech.

Hãy tưởng tượng rằng chúng ta cần thay đổi một số đại lượng vật lý đặc trưng cho hệ vĩ mô. Ví dụ, đây có thể là khối lượng, điện tích, áp suất hoặc nhiệt độ của nó.

Bất kỳ thay đổi vật lý nào cũng được thực hiện với độ chính xác nhất định. Chúng tôi đã đi đến kết luận rằng tính chính xác của sự thay đổi, theo nguyên tắc, được xác định bởi thiết kế của thiết bị thay đổi. Thiết bị “xấu” cho độ chính xác thấp, thiết bị “tốt” cho độ chính xác cao. Ví dụ, cân phân tích cung cấp độ chính xác khối lượng lớn hơn khoảng mười nghìn lần so với cân bánh thông thường.

Nhưng phải chăng độ chính xác của sự thay đổi luôn được xác định bởi thiết kế của thiết bị thay đổi? Có thể tăng độ chính xác vô hạn của những thay đổi về đại lượng vật lý bằng cách cải tiến thiết kế này không? Hay có những hạn chế cơ bản, bắt nguồn từ chính bản chất của sự vật, đặt ra giới hạn cho độ chính xác có thể có của những thay đổi?

Để hiểu đáp số có thể là gì cho câu hỏi này, chúng ta hãy xem một ví dụ đơn giản. Hãy xem xét một bình chứa đầy khí đốt. Để khí ở áp suất khí quyển và nhiệt độ phòng, thể tích của bình là hai lít. Chúng ta hãy nhẩm chia chiếc bình thành hai phần, bên phải và bên trái, và quan sát khí, chẳng hạn như ở nửa bên trái của chiếc bình. Có bao nhiêu phân tử khí ở nửa bình này? Bạn có thể tính toán khoảng 2,5·1022. Chúng ta có thể tính toán hoặc thay đổi con số này chính xác hơn không? Ví dụ, về nguyên tắc có thể chỉ ra tất cả 23 chữ số của số này không, giả sử rằng cả nhiệt độ và áp suất của khí đều được biết với độ chính xác đủ?

11

Để hiểu điều này, hãy tưởng tượng rằng có một thiết bị đo rất chính xác có thể xác định có bao nhiêu phân tử khí tại một thời điểm nhất định trong một nửa bình đã chọn. Mặt khác, chúng ta biết rằng các phân tử khí trải qua chuyển động hỗn loạn, ngẫu nhiên (còn gọi là chuyển động nhiệt) theo mọi hướng, thỉnh thoảng va chạm với nhau và với thành bình. Do đó, bằng cách lặp lại các phép đo nhiều lần, theo quy luật, chúng ta sẽ thu được các số khác nhau mỗi lần. Điều này không có gì đáng ngạc nhiên: các phân tử di chuyển ngẫu nhiên và số lượng của chúng trong mỗi nửa bình rất có thể sẽ thay đổi theo từng thí nghiệm. Chúng tôi không thể xác định trước chính xác số lượng phân tử. Nhưng bạn luôn có thể tính xác suất để có một định nghĩa nào đó về số lượng của chúng. Dưới đây chúng tôi sẽ tính toán độ tin cậy này. Nhưng trước tiên, chúng ta hãy thử trả lời một câu hỏi đơn giản hơn: xác suất này là quan trọng nhất với số lượng phân tử nào, tức là sự phân bố phân tử đáng tin cậy nhất giữa hai nửa bình là bao nhiêu?

Hầu hết độc giả có thể sẽ nói rằng chẳng ích gì khi nghĩ về đáp số cho một câu hỏi như vậy. Nếu các phân tử được ký hiệu là 2N, thì rất có thể chúng sẽ được phân bố đều giữa cả hai nửa của bình, sao cho mỗi nửa chứa N phân tử.

Xác suất của phân phối quan trọng nhất này là gì? Để hiểu cách tính xác suất như vậy, chúng ta bắt đầu với trường hợp đơn giản nhất, khi N = 1, nghĩa là chỉ có hai phân tử trong bình. Các phân tử này có thể được phân phối giữa cả hai nửa bình theo bốn cách, được thể hiện trong Hình 1. Hai trong số bốn trường hợp, có một phân tử trong mỗi nửa bình. Nếu các phân tử có thể được coi là không tương tác thì vị trí của chúng là độc lập và mỗi phương pháp trong số bốn phương pháp được mô tả đều có xác suất như nhau. Do đó, xác suất phân bố đều các phân tử là $\frac{1}{2}$.

Khi tổng số phân tử là 2N thì số cách phân phối chúng giữa hai nửa bình là $2^{2N}$. Số phương pháp dẫn đến sự phân bố đồng đều, khi có N phân tử trong mỗi nửa bình, bằng số cách kết hợp của 2N x $N:C_{2N}^V = \frac{(2N)!}{(N!)^2}$. Xác suất giao nhau thu được của chúng ta, nếu số cách thực hiện phân phối bằng nhau giữa cả hai nửa được chia cho tổng số cách:

$$w = \frac{(2N)!}{2^{2N}(N!)^2}.$$

Với N=1, công thức chung này cho giá trị đã thu được $\frac{1}{2}$.

Xác suất dễ tính bằng công thức (1) khi N bằng một số nhỏ. Nhưng làm thế nào để tính được khi N khoảng 10$^{22}$? Trong trường hợp này, một công thức gần đúng đáng kể cho N!, công thức nào “hoạt động” càng chính xác thì số N càng lớn. Các phép tính được thực hiện bằng công thức này trong Phụ lục sẽ đưa ra

$$w = \frac{1}{\sqrt{\pi N}}.$$

Đối với bất kỳ bình chứa khí thực nào, đây là một giá trị rất nhỏ. Nếu, như trong ví dụ của chúng tôi, N=2,5·10$^{22}$, thì $\omega = 3,7·10^{-12}$. Và đây là một con số không đáng kể. Tại sao sự phân phối có khả năng xảy ra nhất là hoàn hảo? Để hiểu điều này, hãy tính xác suất $w(n)$ của sự phân bố như vậy khi ở nửa bên trái của bình, số phần hơi khác với N, cụ thể là bằng N+n và ở nửa bên phải, tương ứng với N—n. Từ “hơi khác” có nghĩa là chúng ta sẽ chỉ tính xác suất $w(n)$ đối với những n nhỏ hơn N trong giá trị tuyệt đối của thành phố.

Các tính toán trong Phụ lục đưa ra cho trường hợp này

$$w(n) = \frac{1}{\sqrt{\pi N}} e^{-n^2/N},$$

trong đó e=2,71… là cơ số logarit tự nhiên.

Đồ thị của hàm số này được thể hiện trên Hình 2. Nó đối xứng qua trục tọa độ và có cực đại

12

tại $n=0$. Gần đến mức tối đa, đường cong thay đổi trơn tru và sau đó bắt đầu giảm mạnh. Sự giảm nhanh thường được đặc trưng bởi cái gọi là nửa chiều rộng của mức tối đa. Đây là phép đo khoảng cách giữa các hoành độ của những điểm trên đường cong có tọa độ thấp hơn $e$ lần so với tọa độ cực đại. Nửa chiều rộng của đường cong trong Hình 2 là $\sqrt{N}$. Khi $n$ vượt quá $\sqrt{N}$, $w(n)$ nhỏ hơn nhiều so với giá trị tối đa của nó.

Bây giờ hãy nhớ rằng tổng xác suất của tất cả các sự kiện có thể xảy ra, theo định nghĩa, bằng một:

$$\sum_{n=-N}^{N} w(n) = \frac{1}{\sqrt{\pi N}} \sum_{n} e^{-n^2/N} = 1.$$

Có bao nhiêu số hạng cần được tính đến trong tổng này? Có vẻ như câu hỏi này không có nhiều ý nghĩa. Chỉ cần nhìn vào giới hạn tổng là đủ để thấy rằng có tổng cộng $2N+1$ số hạng. Trên thực tế, bằng cách đặt câu hỏi như vậy, chúng ta muốn biết có bao nhiêu số hạng thực sự đóng góp vào tổng dưới dạng đóng góp thay thế. Thật vậy, đối với $n^2$, các thành phố lớn hơn $N$, các số hạng trở nên rất nhỏ và chúng có thể bị loại bỏ một cách đơn giản. Số số hạng hiện có trong tổng này vào cỡ $\sqrt{N}$. Điều này có nghĩa là nếu chúng ta lấy tổng số số hạng lớn hơn $\sqrt{N}$ vài lần, thì sai số cho phép, tức là chênh lệch giữa tổng và đơn vị, sẽ rất nhỏ.

Có một số tính chất vật lý thú vị đằng sau thực tế toán học của dự án này. Bằng cách thay đổi liên tục số lượng phân tử trong một nửa bình nhất định, rất có thể chúng ta sẽ không thu được số $N$. Mỗi lần sẽ thu được một số lượng phân tử mới - đôi khi nhiều hơn một chút $N$, đôi khi ít hơn một chút $N$.

Làm thế nào có thể mô tả được mức độ biến động như vậy? Xét cho cùng, $n$ mang những ý nghĩa khác nhau, tích cực và tiêu cực. Vì vậy, việc sử dụng các đại lượng sau đây để mô tả sự dao động là điều đương nhiên. Chúng tôi sẽ thực hiện tính trung bình cho một số lượng lớn các thay đổi hoặc tương tự như vậy, trong một khoảng thời gian khá lớn - xét cho cùng, chúng ta có thể tưởng tượng rằng các thay đổi được thực hiện tuần tự, lần lượt thay đổi, trong khoảng thời gian này. Tính trung bình sẽ được biểu thị bằng một đường trên giá trị được tính trung bình. Mục tiêu của chúng ta là tìm ra thước đo đại lượng về độ lớn của các dao động, tức là một con số nào đó đặc trưng cho “khoảng” của chúng, để chúng ta có thể so sánh độ lớn của các dao động trong các trường hợp khác nhau. Giá trị trung bình $\bar{n}$ có thể dùng làm thước đo như vậy không? Cần tìm gì $\bar{n}$, giá trị nào $n$ phải được nhân với xác suất xuất hiện của giá trị này và tính tổng trên tất cả $n$. Kết quả là chúng tôi nhận được:

$$\bar{n} = \sum_{n=-N}^{N} nw(n) = \sum_{n} \frac{1}{\sqrt{\pi N}} ne^{-n^2/N}.$$

Dễ dàng thấy rằng tổng này bằng 0. Thật vậy, với mỗi số $n$ có thể có một “cặp” với số $-n$ và hai số hạng như vậy cộng lại bằng 0. Điều này có nghĩa là $\bar{n}$ không thể dùng làm thước đo cường độ dao động. Điều này cũng có nghĩa là $N$ không chỉ là số bộ phận có khả năng xảy ra cao nhất trong một nửa bình nhất định mà còn là số trung bình của chúng.

Thước đo cường độ dao động có thể là dao động bình phương trung bình của số phần, nghĩa là giá trị trung bình $n^2$, bằng

$$\bar{n}^2 = \sum_{n=-N}^{N} n^2w(n).$$

Đại lượng này bằng $N/2$*, vì vậy công thức (3) bây giờ có thể được viết lại thành

$$w(n) = w(0)e^{-n^2/2n^2},$$

ở đâu $w(0) = \frac{1}{\sqrt{\pi N}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi n^2}}$. Căn bậc hai của $n^2$ được gọi là dao động bình phương trung bình của số phần. Trong trường hợp của chúng tôi, bình phương trung bình

*) Chúng tôi sẽ tính giá trị này trong Phụ lục.

13

dao động bằng

$$\sqrt{n^2} = \frac{\sqrt{N}}{\sqrt{2}}$$

Đại lượng này có ý nghĩa vật lý rõ ràng: nếu bạn thay đổi số lượng hạt trong một nửa bình, thì rất có thể nó sẽ khác với số lượng hạt trung bình theo các giá trị theo thứ tự dao động bình phương trung bình gốc (và dấu của sự khác biệt tương ứng có thể là bất kỳ).

Do đó, càng có nhiều hạt trong hệ thống thì dao động bình phương trung bình càng lớn. Tuy nhiên, khi số lượng hạt tăng lên, dao động bình phương trung bình không tăng tỷ lệ thuận với $N$ mà chậm hơn nhiều—tỷ lệ thuận với $\sqrt{N}$.

Bây giờ đã rõ độ chính xác tối đa là bao nhiêu để thay đổi số lượng phân tử trong một nửa bình nhất định. Độ chính xác này được xác định bởi độ lớn của dao động bình phương trung bình. Trong trường hợp của chúng tôi (khi thể tích của một nửa bình bằng một lít), dao động bình phương trung bình gốc là khoảng $2.2 \cdot 10^{11}$. Điều này có nghĩa là biểu thức số lượng phân tử phải được giữ tối đa là 11 chữ số có nghĩa đầu tiên. Nếu bạn thực hiện một loạt thay đổi với độ chính xác cao hơn thì 11 chữ số đầu tiên sẽ được lặp lại trong hầu hết các thay đổi (dao động vượt quá đáng kể giá trị trung bình có xác suất rất thấp), trong khi các chữ số khác sẽ thay đổi từ thay đổi này sang thay đổi khác một cách ngẫu nhiên.

Trong ví dụ đã cho, số chữ số có nghĩa tối đa có thể được giữ trong đáp số là rất lớn và tất nhiên, trên thực tế, giới hạn về độ chính xác của thay đổi được đặt ra bởi thiết kế của thiết bị. Tuy nhiên, con số này có thể nhỏ nếu số lượng phân tử khí trung bình trong một thể tích nhỏ thay đổi. Vì vậy, ví dụ, số lượng phân tử trung bình trong một micron khối ($10^{-18}M^3$) bằng $2.5 \cdot 10^7$ trong cùng điều kiện. Dao động bình phương trung bình trong trường hợp này là xấp xỉ $4 \cdot 10^3$, do đó, việc xác định số lượng phân tử trong một thể tích như vậy tối đa là bốn chữ số có nghĩa là hợp lý.

Hiện tượng dao động có thể được nhìn nhận từ một quan điểm hơi khác. Chúng ta hãy xem xét một thí nghiệm tưởng tượng trong đó một số lượng phân tử $n$ nhất định di chuyển từ nửa bên phải của bình sang bên trái, không phải do dao động tự phát mà do tác dụng của ngoại lực. (Số $n$ nhỏ so với $N$.) Công nào được thực hiện trong một chuyển động như vậy?

Đối với câu hỏi được đặt ra ở dạng này, đáp số được đưa ra dưới đây. Công thực hiện phụ thuộc vào cách các phân tử được di chuyển và thậm chí vào hình dạng của vật chứa. Thực tế là tùy thuộc vào điều kiện thí nghiệm, trước hết là vào tốc độ chuyển động của khí, chúng ta sẽ phải thực hiện công khác nhau chống lại lực ma sát ngăn không cho khí chảy dưới áp suất từ ​​nửa bình này sang nửa bình kia. Vì độ lớn của lực ma sát trong chất khí tỷ lệ với tốc độ nên tốc độ càng thấp thì công tác dụng lên lực ma sát càng ít. Công $A_{\min}$ sẽ được thực hiện ít nhất nếu khí di chuyển cực kỳ chậm. Và nếu chúng ta nói rằng chúng ta muốn tính chính xác công việc nhỏ nhất này, thì bài toán sẽ được hình thành như sau.

Làm thế nào có thể di chuyển số lượng phân tử khí đã chỉ định? Hãy tưởng tượng rằng một piston mỏng đi vào một bình chứa khí. Nó chia toàn bộ thể tích không chính xác làm đôi, nhưng theo cách sao cho có $N + n$ phân tử từ nó và $N - n$ ở bên phải. Chúng ta hãy bắt đầu di chuyển pít-tông sang trái, như được minh họa bằng mũi tên trong Hình 3, cho đến khi nó đạt đến điểm nửa được thể hiện bằng đường chấm, tại điểm đó nó chia thể tích của bình làm đôi. Người ta phải tính công do piston thực hiện đối với các lực áp suất của khí.

Điều gì xảy ra khi piston chuyển động? Di chuyển sang trái, piston nén khí ở phía bên trái của bình và giãn nở ở bên phải. Kết quả là áp suất ở bên trái tăng lên và áp suất ở bên phải giảm đi. Lực tác dụng lên pít-tông bằng tích của diện tích $S$ và chênh lệch áp suất giữa phần bên trái và bên phải của bình. Theo các điều kiện, $n$ nhỏ hơn $N$ rất nhiều, nghĩa là khoảng cách mà piston đi được nhỏ so với kích thước của bình. Do đó, theo phép tính gần đúng đầu tiên, chênh lệch áp suất có thể được coi là tỷ lệ thuận với đường dẫn này. (Hãy cố gắng tự đánh giá tính chính xác của nhận định này.) Sau đó, hãy làm việc $A_{\min}$

Hình 3.

14

Tích của đường đi và lực trung bình được tính toán. Lực trung bình bằng một nửa lực tác dụng lên pít-tông khi nó kết thúc chuyển động, tức là bằng một nửa giá trị $(p_1 - p_2)S$, trong đó $p_1$ và $p_2$ là các giá trị cuối cùng tương ứng của áp suất ở nửa bên trái và bên phải của bình. Do đó công việc

$$A_{\min} = \frac{1}{2} (p_1 - p_2) v,$$

trong đó $v$ là thể tích của đám mây, được giới hạn bởi các đường nét liền và nét chấm trong Hình 3.

Chúng ta hãy biểu thị tổng thể tích của bình là 2V. Theo định luật Boyle-Marutt

$$p_1V = p(V + v), \quad p_2V = p(V - v),$$

Ở đâu

$$p_1 - p_2 = 2p \frac{v}{V}.$$

Như vậy,

$$A_{\min} = p \frac{v^2}{V}.$$

Với phương trình Clapeyron–Mendeleev mà chúng ta viết là $pV = NkT$ và xét rằng $v : V = n : N$, chúng ta có thể biểu thị biểu thức cho $A_{\min}$ ở dạng cuối cùng sau:

$$A_{\min} = kT \frac{n^2}{N}.$$

(6)

Bây giờ chúng ta quay lại công thức (3) cho $w(n)$. So sánh (3) và (6), ta thấy (3) có thể viết lại như sau:

$$w(n) = w(0) e^{-A_{\min}/kT}$$

(7)

(nhớ lại $w(0) = 1/\sqrt{\pi N}$). Đối với xác suất $w(n)$, chúng ta có một biểu thức - thông qua công thức Vadartinian trung bình cho số phần (xem (5)):

$$w(n) = w(0) e^{-n^2/2n^2}.$$

(hãy nhớ lại rằng công thức Vadartin trung bình là $\sqrt{n^2}$). So sánh biểu thức này với (7), chúng ta thấy rằng

$$\frac{n}{\sqrt{n^2}} = \sqrt{\frac{2A_{\min}}{kT}}.$$

(8)

Hệ thức (8) có nghĩa là mỗi công thức tương ứng với một số công cần thiết để tạo ra độ lệch công thức đã cho với sự trợ giúp của các ngoại lực! Nguồn gốc của công việc này trong trường hợp các công thức tự phát là năng lượng nhiệt được lưu trữ trong hệ thống. Trong ví dụ của chúng tôi, đây là năng lượng chuyển động tinh tế của các phân tử khí. Càng làm nhiều $A_{\min}$ thì công thức càng ít có khả năng xảy ra (7)

Hình 4.

15

được trình bày dưới dạng tổng quát, độc lập với thiết bị cụ thể của hệ thống vật lý, do đó, khi sử dụng nó, người ta có thể tính toán các dao động của bất kỳ đại lượng vật lý nào. Để làm điều này, bạn chỉ cần lấy công thức hoạt động của $A_{\min}$, công thức này phải được chạm vào để tạo dữ liệu độ lệch dao động. Bây giờ chúng ta sẽ thấy điều này được thực hiện như thế nào bằng cách sử dụng một số ví dụ.

Hãy bắt đầu bằng cách xem xét sự dao động về số lượng phần trong một thể tích $V$ chứa trung bình $N$ phần khí. Nhưng đồng thời, chúng ta sẽ cho rằng nó không giao tiếp với những người khác có cùng thể tích mà là một phần nhỏ của một bình chứa khí lớn. Biến thiên trung bình của dao động của số bộ phận trong trường hợp này sẽ thay đổi như thế nào so với các trường hợp được xem xét ở trên?

Từ các báo cáo vật lý, rõ ràng là nó sẽ tăng lên: các cơ hội bổ sung đã xuất hiện cho việc điều chế các phân tử thành thể tích $V$ hoặc dòng chảy ra từ nó. Nhưng được bao lâu?

Hãy tính công $A_{\min}$ cần thực hiện để chuyển $n$ phân tử thành thể tích $V$. Về cơ bản nó được coi là giống như trên. Sự khác biệt duy nhất là áp suất bên ngoài $p_2$, được thiết lập sau chuyển động, có thể được xem xét với độ chính xác đủ bằng áp suất ban đầu $p$; vì thể tích của toàn bộ bình thành phố phải lớn hơn thể tích $V$, nên sự thay đổi áp suất trong bình thành phố phải nhỏ hơn sự thay đổi áp suất trong thể tích $V$, và điều đó có thể tránh được. Tiến hành tính toán, chúng tôi nhận thấy

$$A_{\min} = \frac{1}{2} kT \frac{n^2}{N},$$

tức là chúng ta nhận được các giá trị cao bằng một nửa so với trên. Sử dụng công thức (8), chúng ta tìm được dao động biến thiên trung bình của số phần:

$$\sqrt{n^2} = \sqrt{N}.$$

Giá trị này lớn hơn $\sqrt{2}$ lần so với giá trị thu được trước đó của dao động biến thiên trung bình của số lượng bộ phận trong bình polyvine.

Một ví dụ khác, hãy xem xét các dao động trong mạch điện như trong Hình 5. Mạch bao gồm một tụ điện $C$ và một điện trở $R$ được mắc thành một vòng kín. Các điện tích trong điện trở trải qua chuyển động nhiệt, do đó có dòng điện dao động chạy qua điện trở, nghĩa là xuất hiện một điện tích dao động trên tụ điện.

Chúng tôi muốn tính dao động bình phương trung bình của điện tích này.

Hãy tính công $A_{\min}$ phải tiêu hao để truyền điện tích $Q$ cho tụ điện, tức là sạc nó đến điện áp $Q/C$. Điện áp trung bình trong quá trình sạc

$$w(Q) = w(0)e^{-Q^2/2CkT},$$

và bằng cách tương tự với (8), chúng ta có thể viết ngay biểu thức cho sự dao động điện tích trung bình:

$$\sqrt{Q^2} = Q \sqrt{\frac{kT}{2A_{\min}}} = \sqrt{CkT}.$$

Một ví dụ khác, hãy tìm tốc độ trung bình của bộ phận tham gia chuyển động của một số trục, ví dụ trục $X$. Chúng ta biểu thị hình chiếu vận tốc theo hướng này bằng $v_x$. Rõ ràng, trong trường hợp này $A_{\min}$ bằng động năng của phần $mv_x^2/2$, trong đó $m$ là khối lượng của hạt. Chúng ta có thể tính ngay tốc độ trung bình - bằng cách tương tự với công thức (8). Nó bằng nhau

$$\sqrt{v_x^2} = \sqrt{\frac{kT}{m}}.$$

Vì vậy, nếu khối lượng của hạt là $10^{-15}$ kg, ở nhiệt độ phòng $\sqrt{v_x^2} \approx 0,002$ m/s.

Để kết luận, chúng ta hãy chú ý đến một tình huống thú vị và quan trọng. Cả sự dao động điện tích trung bình trên tụ điện và sự dao động vận tốc trung bình đều càng lớn khi nhiệt độ càng cao. Điều này là tự nhiên, vì nhiệt độ là thước đo cường độ chuyển động nhiệt ngẫu nhiên của các phân tử, đóng vai trò như một sự dao động dễ chịu. Đối với chất khí, sự dao động trung bình về số lượng phân tử không phụ thuộc vào nhiệt độ. Nhưng bản thân công thức (5) vẫn đúng

16

chỉ ở nhiệt độ đủ cao. Khi nhiệt độ giảm, khí ngưng tụ thành chất lỏng và công thức (5) trở nên không thể áp dụng được, vì chuyển động của từng phân tử không thể được coi là độc lập.

Hãy tóm tắt một số kết quả. Một kết luận quan trọng được rút ra từ những điều trên. Về nguyên tắc, không phải tất cả các đại lượng vật lý đều được xác định với độ chính xác rất cao. Về nguyên tắc, chẳng hạn, có thể đo với bất kỳ độ chính xác nào về khối lượng, điện tích hoặc số lượng nguyên tử của bất kỳ vật thể cô lập nào. Những đại lượng này không dao động trừ khi cơ thể trao đổi các hạt với các cơ thể khác.

Ở đây chúng ta đã gặp những ví dụ về số lượng có thể dao động. Về nguyên tắc, việc xác định giá trị của chúng với độ chính xác không giới hạn là vô nghĩa. Chúng ta đã thấy rằng sẽ hợp lý khi xác định số lượng phân tử trong mỗi phần của bình chứa khí với độ chính xác của dao động bình phương trung bình. Điều tương tự cũng có thể nói về áp suất khí tác dụng lên thành bình. Nhiệt độ cũng dao động, và do đó, về bản chất, không thể thay đổi được với độ chính xác quá cao. Kích thước của một hệ vật lý hoặc số lượng nguyên tử trong nó càng nhỏ thì độ dao động tương đối của các đại lượng vật lý đặc trưng cho nó càng lớn và độ chính xác tương đối mà chúng có thể được thiết lập hoặc thay đổi càng kém.

Ứng dụng

Để thu được biểu thức (1), chúng tôi sử dụng công thức Stirling gần đúng cho $N!$, công thức này hợp lệ cho các giá trị lớn $N$. Công thức này trông giống như:

$$N! = \sqrt{2\pi N} e^{N(\ln N-1)},$$

trong đó $\ln$ biểu thị logarit lấy cơ số $e$. Số $N$ càng cao thì độ chính xác tương đối của công thức này càng cao; có thể chứng minh rằng sai số tương đối mà nó đưa ra nhỏ hơn $\frac{1}{8N}$. Hãy sử dụng nó để tính xác suất (1), chúng ta nhận được biểu thức (2).

Áp dụng công thức tương tự để tính xác suất

$$w(n) = \frac{(2n)!}{2^{2N}(N+n)!(N-n)!},$$

chúng tôi nhận được

$$w(n) = \frac{\sqrt{N}}{\sqrt{\pi(N^2-n^2)}} \times e^{2N\ln 2N-(N+n)\ln(N+n)-(N-n)\ln(N-n)}$$

Trong biểu thức dưới gốc, chúng ta đã giữ nguyên giá trị nhỏ $n^2$ so với giá trị lớn hơn $N^2$; thì hệ số trước hàm mũ hóa ra bằng $\frac{1}{\sqrt{\pi N}}$. Để tính biểu thức theo số mũ, chúng tôi trình bày một công thức hợp lệ cho bất kỳ $x$ dương hoặc âm nhỏ nào trong giá trị abscise:

$$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2}$$

(ví dụ: tại $|x| < 0,1$ công thức này đưa ra lỗi không vượt quá 0,4$x^3$). Kết quả là biểu thức (3), được đưa ra trong văn bản.

Chúng ta vẫn phải chứng minh rằng bình phương trung bình của dao động số lượng hạt (xem (4)) bằng $N/2$. Ý tưởng của bằng chứng rất đơn giản. Đầu tiên, chúng ta hãy nhớ lại cách chứng minh sự tương ứng đã biết.

$$\sum_{n=-N}^{N} C_{2N}^{n+n} = 2^{2N}.$$

Để làm điều này, chúng tôi xem xét việc mở rộng sinh học của hàm $f(x) = (1+x)^{2N}$. Cô ấy trông giống như

$$f(x) = \sum_{n=-N}^{N} C_{2N}^{n+n} x^{n+n}.$$

Ngay sau đó tổng của $\sum C_{2N}^{n+n}$ là $f(1)=2^{2N}$.

Trong trường hợp của chúng tôi, để tính tổng (4),

bằng $2^{-2N} \sum_{n=-N}^{N} n^2 C_{2N}^{n+n}$, chúng ta cần tìm một hàm có khai triển sinh học sẽ có dạng

$$g(x) = \frac{1}{2^{2N}} \sum_{n=-N}^{N} C_{2N}^{n+n} n^2 x^n.$$

Sau đó $g(1)$ cho giá trị trung bình mong muốn $n^2$. Hãy tự kiểm tra xem $g(x)$ có ​​dạng

$$g(x) = \frac{N}{2^{2N}x^N} (1+x)^{2N-2} [N(1+x)^2-2(2N-1)x].$$

Do đó $g(1)=\frac{N}{2}$.