Флуктуации физических величин

10

В. Гуревич

Флуктуации физических величины

Рассмотрим физическую систему, состоящую из очень большого числа атомов или молекул. Такие системы называются макросоппечскими. Газ, заполняющий сосуд, жидкость, напитая в сосуд, твердый кристалл — это все примеры макросоппечских систем.

Представим себе, что требуется изменить какую-нибудь физическую величины, характеризующую макросоппечую систему. Это могут быть, например, ее масса, электрический заряд, давление или температура.

Любое физическое изменение производится с определенной точностью. Мы привели к тому, что точность изменения, как правило, определяется конструкцией изменительного прибора. «Пложие» приборы дают низкую точность, «хорошие» — высокую. Например, анализтические весы дают точность изменения массы примерно в десять тысяч раз больше шуру, чем обычные тортовые весы.

Но всегда ли точность изменения определяется конструкцией изменительного прибора? Можно ли беспредельно повышать точность изменения физических величины, совершенствуя эту конструкцию? Или есть принципальные ограничения, корняшиеся в самом природаве вещея, которыекладут предел возможной точности изменений?

Для того чтобы понять, каким может быть ответ на этот вопрос, давайте разберем простейший пример. Расмотрим сосуд, наполненный газом. Пусть газ находится при атмосферном давлении и комнатной температуре, а объем сосуда равен двум литром. Разделим мысленно сосуд на две части, правую и левую, и будем наблюдать за газом, например, в левой половине сосуда. Сколько молекул газа имеет в этой половине сосуда? Можно подчитать, что приблизительно 2,5·10²². А может ли мы расчитать или изменить это число более точно? Например, можно ли в принципе указыть все 23 цифры этого числа, предполагая, что и температура, и давление газа известны с достаточно точностью?

11

Чтобы понять это, вообразим, что существует очень точный измерительный прибор, который может определить, сколько молекул газа имеет в данной момент в выбранной половине сосуда. С другой стороны, мы знаем, что молекулы газа совершают беспорядочное,xaотическая движение (так называемое тепловое движение) во всех направлениях, время от времени стальяясь друг с другом и со стенками сосуда. Поэтому, многократно повторяя измерения, мы будем, как правило, всякий раз получать разные числа. Это неудивительно: молекулы движутся беспорядочно, и их число в каждой половине сосуда будет, верятнее всего, меняться от опыта к опыту. Точно числа молекул мы не можем указать заранее. Зато всегда можно вычислить верятность того, что их будет какое-то определение число. Ниже мы вычислим эту верятность. Но сначала пробуем ответить на более простой вопрос: при каком числе молекул эта верятность наиболее важная, то есть каково наиболее верятное распределение молекул между обемами половинами сосуда?

Большинство читателей, наверное, скажет, что над ответом на такой вопрос и думать нечего. Если молекул обозначит через 2N, то они, верятнее всего, распределятся поровну между обемами половинами сосуда, так что в каждой из них оказывается по N молекул.

Какова же верятность этого наиболее важное распределения? Чтоы понять, как вычислить такие верятности, начинаем с самого простого случая, когда N=1, то есть всего в сосуде две молекулы. Эти молекулы можно распределить между обемами половинами сосуда четырьмя способами, которые изобразены на рисунке 1. В двух случаях из четырех в каждой половине сосуда оказывается по одной молекуле. Если молекулы можно считать незаимодействующими, то их положения неависимы, и каждый из изображенных четырех способов равноверятен. Следовательно, верятность равного распределения молекул равна $\frac{1}{2}$.

Когда полное число молекул есть 2N, то число способов их распределения между двумя половинами сосуда есть $2^{2N}$. Число же способов, приводящих к равномерпределенению, когда в каждой половине сосуда оказывается по N молекул, равно числу сочетаний из 2N по $N:C_{2N}^V = \frac{(2N)!}{(N!)^2}$. Вероятность интерсецущего нас собственной получения, если число способов, осуществляющих равное распределение между обемами половинами, разделить на полное число способов:

$$w = \frac{(2N)!}{2^{2N}(N!)^2}.$$

При N=1 эта общая формула дает уже полученную величины $\frac{1}{2}$.

Вероятность легко считать по формуле (1), когда N равно небольшому числу. Но как рассчитать ее, когда N порядка 10$^{22}$? В этом случае существенно приближенная формула для N!, которая «работает» тем точнее, чем больше число N. Вычисления, проделанные с помощью этой формулы в Приложении, дают

$$w = \frac{1}{\sqrt{\pi N}}.$$

Для любого реального сосуда с газом это очень маленькая велиница. Если как в нашем примере, N=2,5·10$^{22}$, то $\omega = 3,7·10^{-12}$. А этоничтожно малое число. Почему же наиболее верятное распределение оказывается совершенным? Чтобы понять это, вычислить верятность $w(n)$ такого распределения, когда влевой половине сосуда число частин немного отличия от N, а именно, равно N+n, а в правой половине, соответствующего N—n. Слова «немного отличия» означает, что мы будем вычислить верятность $w(n)$ только для таких n, которые по абсцилтной велинице городадо меньше N.

Выкладки, проделанные в Приложении, дают для этого случая

$$w(n) = \frac{1}{\sqrt{\pi N}} e^{-n^2/N},$$

где e=2,71…— основание натуральных логарифмов.

График этой функции изображен на рисунке 2. Он симметричен относительно оси ordinate и имеет максимум

12

при $n=0$. Вблизи максимума кривая изменяется плавано, а затем начинает спадать резко. Быстро убывания обычно характеризуют так называемой полушириной максимума. Это — поливна расстояния между абсциссами тех точек кривой, ordinаты которых в $e$ раз ниже ordinаты максимума. Полуширина кривой на рисунке 2 равна $\sqrt{N}$. Когда $n$ заменно превышает $\sqrt{N}$, $w(n)$ оказывается гораздо меньше своего максимального значения.

А теперь вспомним, что суммарная вероятность всех возможных событий по определению равна единице:

$$\sum_{n=-N}^{N} w(n) = \frac{1}{\sqrt{\pi N}} \sum_{n} e^{-n^2/N} = 1.$$

Сколько же надо учитывать слагаемых в этой сумме? Казалось бы, вопрос не имеет большого смысла. Достаточно взглянуть на предель суммирования, чтобы увидеть, что всего слагаемых $2N+1$. На самом деле, задавая такой вопрос, мы хотим понять, какое число слагаемых фактически дает в сумму заменный вклад. Ведь при $n^2$, города больше чем $N$, слагаемые становятся очень маленькими, и их можно попросту отбросить. Число же существуетх слагаемых в этой сумме — порядка $\sqrt{N}$. Это значит, что если взять в сумме число слагаемых в несколько раз больше $\sqrt{N}$, то допущенная погрешность, то есть отличие суммы от единицы, будет очень маленькой.

За этим математическим фактом проекта следует интересная физика. Многократно изменяя число молекул в данной половине сосуда, мы, скорее всего, никака не получим числа $N$. Всякий раз будет получаться новое число молекул — то немного больше $N$, то немного меньше $N$.

Как можно охарактеризовать величины таких флуктуации? Ведь $n$ принимает различные значения, положительные и отрицательные. Поэтому естественно для описания флуктуации используются следующие величины. Усреднение будем производить по большому числу изменений или, что то же самое, по достаточно большому промежутку времени — ведь можно представить себе, что изменения делаются последовательно, одно за другим, в течение этого промежутка. Усреднение будет обозначаться чертом над усредняемой величины. Наша цель — найти количество меру величины флуктуации, то есть какое-то число, которое характеризовало бы их «размах», так чтобы мы могли сравнивать величины флуктуации в разных случаях. Не может ли такой мерой служить средняя величина $\bar{n}$? Чтоы найти $\bar{n}$, какое значение $n$ надо умножить на вероятность, появления этого значения и просуммировать по всем $n$. В итоге мы получаем:

$$\bar{n} = \sum_{n=-N}^{N} nw(n) = \sum_{n} \frac{1}{\sqrt{\pi N}} ne^{-n^2/N}.$$

Легко видеть, что эта сумма равна нулю. Действительно, каждому номером $n$ можно подобраться «пару» — с номером $-n$, а два таких слагаемых в сумме даут нуль. Это значит, что $\bar{n}$ не может служить мерой интенсивности флуктуации. Это значит также, что $N$ есть не только наиболее вероятное число части в данной половине сосуда, а также и среднее их число.

Мерой интенсивности флуктуации может служить средний квадрат флуктуации числа части, то есть среднее значение $n^2$, равное

$$\bar{n}^2 = \sum_{n=-N}^{N} n^2w(n).$$

Эта величина равна $N/2$*, так что формулу (3) можно теперь переписать в виде

$$w(n) = w(0)e^{-n^2/2n^2},$$

где $w(0) = \frac{1}{\sqrt{\pi N}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi n^2}}$. Квадратный корень из $n^2$ называется средневадратной флуктуации числа части. В нашем случае средневадратная

*) Мы вычислим эту величины в Приложении.

13

флуктуация равна

$$\sqrt{n^2} = \frac{\sqrt{N}}{\sqrt{2}}$$

Эта величины имеет наглядный физический смысл: если изменять число частиц в одной половине сосуда, то оно, вероятнее всего, будет отличаться от среднего числа частица на величины порядка средневадратичной флуктуации (причем знак соответствующей разности может быть любым).

Таким образом, чем больше частиц в системе, тем больше и средневадратичная флуктуация. Однако с ростом числа частицы средневадратичная флуктуация растет не пропорционально $N$, а гораздо медленнее — пропорционально $\sqrt{N}$.

Теперь понятно, с какой максимальной точностью имеет смысл изменять число молекул в данной половине сосуда. Эта точность определяется величины средневадратичной флуктуации. В нашем случае (когда объем половины сосуда равен одному литру) средневадратичная флуктуация составляет приблизительно $2.2 \cdot 10^{11}$. Это значит, что в выражении для числа молекул следует сохранять, самое больше, 11 первых значших цифр. Если же выполнить серio изменений с большей точностью, то 11 первых цифр будут повторяться практически во всех изменениях (флуктуации, заметно превышшие средневадратиную, имеют очень малую вероятность), в то время как прочие цифры будут меняться от одного изменения к другому случанным образом.

В приведенном примере максимальное число значших цифр, которые можно удержать в ответе, очень велико, и реально, конечно, предел точности изменения ставится конструкцией прибора. Однако это число может быть и небольшим, если изменять среднее число молекул газа в малом объеме. Так, например, среднее число молекул в одном кубищеском микроне ($10^{-18}M^3$) равно при тех же условиях $2.5 \cdot 10^7$. Средневадратичная флуктуация в этом случае равна приблизительно $4 \cdot 10^3$, так что определить число молекул в таком объеме имеет смысл, самое больше, с четырьмя значшими цифрами.

На явление флуктуации можно взглянуть и с несколько иной точки зрения. Рассмотрим мысленный эксперимент, в процессе которого неотторое число $n$ молекул перемещается из правой половины сосуда влево не в результате самопроизвольной флуктуации, а под действием внешней силы. (Число $n$ порехнему мало по сравнению с $N$.) Какая работа совершается при таком перемещении?

На вопрос, поставленный в такой форме, ответа даны below. Совершенная работа зависит от того, каким способом перемещать молекулы, и даже от формы сосуда. Дело в том, что в зависимости от условий опыта, в первую очередь — от скорости перемещения газа, мы должны будем совершать различную работу против сил треня, преятствующих газу перетекать под давлением из одной половины сосуда в другую. Поскольку величина сил треня в газе пропорциональна скорости, чем меньше скорость, тем меньше работы против сил треня приходится совершать. Наименьшая работа $A_{\min}$ будет совершена, если перемещать газ предельно медленно. И если мы скажем, что хотим вычислить именно эту наименьшую работу, то тем самым задача будет сформирована вп前列еению.

А как можно было бы переместить указанное число молекул газа? Представим себе, что в сосуд с газом вступает тонкий поршень. Он делит весь объем не точно пополам, а таким образом, что слава от него имеет $N + n$ молекул, а справа $N - n$. Начнем движать поршень влево, как показано стрелкой на рисунке 3, пока он не займет половения, показанного пунктиром, при котором он делит объем сосуда пополам. Требуется вычислить работу, которое совершает поршень против сил давления газа.

Что происходит при движении поршня? Перемещая влево, поршень сжимает газ влевой части сосуда и расширяет в правой. В результате давление слева повышается, а справа поняется. Сила, действующая на поршень, равна произведению его площади $S$ на разность давления влевой и правой части сосуда. По условиям $n$ гораздо меньше $N$, а значит, и пусть, пройденный поршнем, мал по сравнению с размерами сосуда. Поэтому в первом приближении разность давления можно считать пропорционально этому пути. (Попробуйте оценить сами, с какой точностью справедливо это утверждение.) Тогда работа $A_{\min}$

Рис. 3.

14

есты произведение пути на среднюю силу. Средняя же сила равна половине силы, действующей на поршень в конце его перемещения, то есть половине величины $(p_1 - p_2)S$, где $p_1$ и $p_2$ — соответственное конечные значения давления в левой и правой половинах сосуда. Отсюда работа

$$A_{\min} = \frac{1}{2} (p_1 - p_2) v,$$

где $v$ — объем облака, ограниченной сплошной и пунктирной линиями на рисунке 3.

Обозначим полный объем сосуда через 2V. Согласно закону Бойля — Марютта

$$p_1V = p(V + v), \quad p_2V = p(V - v),$$

откуда

$$p_1 - p_2 = 2p \frac{v}{V}.$$

Таким образом,

$$A_{\min} = p \frac{v^2}{V}.$$

Принимая во внимание уравнение Клапейрона — Менделеева, которое мы запишем, в виде $pV = NkT$, и учитываем, что $v : V = n : N$, мы можем представить выражение для $A_{\min}$ в следующем окончательном виде:

$$A_{\min} = kT \frac{n^2}{N}.$$

(6)

Вернемся теперь к формуле (3) для $w(n)$. Сравнивая (3) и (6), мы видим, что (3) можно переписать так:

$$w(n) = w(0) e^{-A_{\min}/kT}$$

(7)

(напомним, что $w(0) = 1/\sqrt{\pi N}$). Для вероятности $w(n)$ у нас есть одно выражение — через средневадартиную формулу числа части (см. (5)):

$$w(n) = w(0) e^{-n^2/2n^2}.$$

(напомним, что средневадартиная формула — это $\sqrt{n^2}$). Сравнивая это выражение с (7), мы находим, что

$$\frac{n}{\sqrt{n^2}} = \sqrt{\frac{2A_{\min}}{kT}}.$$

(8)

Соотношение (8) означает, что каждой формулированное сопоставить некоторую работу, которая требуется, чтобы создать данные формулированное отклонение с помощью внешних сил! Источник этой работы в случае самопроизвольных формулиций — тепловая энергия, запасенная в системе. В нашем примере это — энергияxaотическая движения молекул газа. Чем больше работа $A_{\min}$, тем менее вероятина формула же (7)

Рис. 4.

15

представлена в столб обшем виде, не зависящем от конкретного устройства физической системы, что, пользоваться его, можно вычислить флуктуации любых физических величины. Для этого необходимо только получить формулу, для работы $A_{\min}$, которое нужно затрапить, чтобы создать данные флуктуационное отклонение. Как это делается, мы сейчас проследим на несколько примерах.

Начнем с того, что рассмотрим флуктуации числа части в объеме $V$, содержащем в среднем $N$ части газа. Но при этом будем считать, что он сообщается не с другими таким же объемом, а является малой частью большого сосуда с газом. Как должна измениться в этом случае средневартанция флуктуации числа части по сравнению со случаям, рассмотренным выше?

Из физических сообщений ясно, что она должна увеличиться: появились дополнительные возможности для приготова молекул в объем $V$ или оттока из него. Но на сколько?

Подсчитаем работу $A_{\min}$, которое нужно затрапить для перемещения $n$ молекул в объем $V$. Считается она, по существу, так же, как и выше. Единственное различие состоит в том, что внешнее давление $p_2$, которое устанавливается после перемещения, можно с достаточной точностью считать равным первоначальным давлению $p$; поскольку объем всего сосуда города должно больше объема $V$, изменение давления в сосуда города должно меньше, чем изменение давления в объеме $V$, и им можно пребежать. Проведяя расчеты, мы найдем, что

$$A_{\min} = \frac{1}{2} kT \frac{n^2}{N},$$

то есть получим величины, вдвое меньше, чем выше. Воспользовавшись формулой (8), находим средневартанцию флуктуацию числа части:

$$\sqrt{n^2} = \sqrt{N}.$$

Эта величина в $\sqrt{2}$ раз больше, чем полученное ранее значение средневартанционной флуктуации числа части в поливине сосуда.

В качестве другого примера рассмотрим флуктуации в электрическом цепи, изображенной на рисунке 5. Цепь состоит из конденсатора емкости $C$ и резистора с сопротивлением $R$, соединенных в замкнутый контур. Электрические заряды в резисторе совершают тепловое движение, следствие которого черезistor течет флуктуационный ток, а значит, на конденсатор возникает флуктуационный электрический заряд.

Среднюю квадратную флуктуацию этого заряды мы и хотим вычислить.

Подсчитаем работу $A_{\min}$, которое надо затрапить, чтобы сообщить конденсатору заряд $Q$, то есть зарядить его до напряжения $Q/C$. Среднее значение напряжения в процессе зарядки

$$w(Q) = w(0)e^{-Q^2/2CkT},$$

и по аналогии с (8) мы можем сразу написать выражение для средневартанционной флуктуации заряд:

$$\sqrt{Q^2} = Q \sqrt{\frac{kT}{2A_{\min}}} = \sqrt{CkT}.$$

В качестве еще одного примера найдем средневартанную скорость части, участующих в бравлении какой-нибудь оси, например оси $X$. Проекцию скорости на это направление мы обозначим через $v_x$. Очевидно, в данном случае $A_{\min}$ равна кинетической энергии части $mv_x^2/2$, где $m$ — масса частицы. Средневартанную скорость мы можем вычислить сразу — по аналогии с формулой (8). Она равна

$$\sqrt{v_x^2} = \sqrt{\frac{kT}{m}}.$$

Так, если масса частицы $10^{-15}$ кг, при комнатной температуре $\sqrt{v_x^2} \approx 0,002$ м/с.

В заключение обратим внимание на одно интересное и важное обстоятельство. И средневартанная флуктуация заряд на конденсаторе, и средневартанная флуктуация скорости тем больше, чем выше температура. Это естественно, поскольку температура — это мера интенсивности беспорядочного теплового движения молекул, которое служит прийной флуктуации. Для газа средневартанная флуктуация числа молекул не зависит от температуры. Но сама формула (5) справедлива

16

только при достаточно высоких температурах. При понженении температуры газ конденсируется в жидкость, и формула (5) становится неприменимой, потому что движения отдельных молекул нельзя считать независяными.

Подведем некоторые итоги. Из сказанного следует важный вывод. Не все физические величины в принципе определяются со скольгу уголно высокой точностью. Прициплально можно, например, измерить с любой точностью массу, заряд или число atomов какого-нибудь изолированного тела. Эти величины не флуктуируют, если только тело не обменывает частицами с другими телами.

Мы здесь встретились с примерами величины, способных флуктуировать. Их значения в принципе не имеет смысла задавать с неограниченной точностью. Мы видели, что число молекул в каждой-то части сосуда с газом имеет смысл задавать только с точностью до среднеквадратной флуктуации. То же самое можно сказать и относительно давления газа на стенку сосуда. Флуктуирует, и потому по самой своей природе не может быть изменена со слишком высокой точностью, и температура. Чем меньше размеры физической системы или число atoms в ней, тем больше относительные флуктуации характераизующих ее физических величины и с тем меньше относительной точностью они могут быть заданы или изменены.

Приложение

Чтобы получить выражение (1), воспользуемся приближенной формулой Стирлинга для $N!$, справедливо при больших значениях $N$. Эта формула имеет вид:

$$N! = \sqrt{2\pi N} e^{N(\ln N-1)},$$

где $\ln$ обозначает логарифм, взятый по основанию $e$. Относительная точность этой формулы тем выше, чем больше число $N$; можно показать, что относительная погрешность, которую она дает, меньше $\frac{1}{8N}$. Воспользуемся его для вычисления вероятности (1), мы получаем выражение (2).

Приимена ту же формулу для расчета вероятности

$$w(n) = \frac{(2n)!}{2^{2N}(N+n)!(N-n)!},$$

мы получаем

$$w(n) = \frac{\sqrt{N}}{\sqrt{\pi(N^2-n^2)}} \times e^{2N\ln 2N-(N+n)\ln(N+n)-(N-n)\ln(N-n)}$$

В выражении под корнем мы преберегли малой величины $n^2$ по сравнению с большей величины $N^2$; тогда коэффициент перед экспонентийом оказывается равным $\frac{1}{\sqrt{\pi N}}$. Для того чтобы вычислить выражение в показателе, представим формулу, справедливо для любых малых по абсцизной величины положительных или отрицательных $x$:

$$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2}$$

(например, при $|x| < 0,1$ эта формула дает погрешность, не превышающего 0,4$x^3$). В итоге получается выражение (3), приведенное в тексте.

Нам осталось еще доказать, что средний квадрат флуктуации числа частиц (см. (4)) равен $N/2$. Идея доказательства проста. Сначала вспомним, как доказывается известное соответствие.

$$\sum_{n=-N}^{N} C_{2N}^{n+n} = 2^{2N}.$$

Для этого рассматривается биоминальное разложение функции $f(x) = (1+x)^{2N}$. Она имеет вид

$$f(x) = \sum_{n=-N}^{N} C_{2N}^{n+n} x^{n+n}.$$

Отсюда немедленно следует, что сумма $\sum C_{2N}^{n+n}$ есть $f(1)=2^{2N}$.

В нашем случае для вычисления суммы (4),

равной $2^{-2N} \sum_{n=-N}^{N} n^2 C_{2N}^{n+n}$, требуется найти функцию, биоминальное разложение которого имело бы вид

$$g(x) = \frac{1}{2^{2N}} \sum_{n=-N}^{N} C_{2N}^{n+n} n^2 x^n.$$

Тогда $g(1)$ дает искомое среднее значение $n^2$. Проверьте сами, что $g(x)$ имеет вид

$$g(x) = \frac{N}{2^{2N}x^N} (1+x)^{2N-2} [N(1+x)^2-2(2N-1)x].$$

Отсюда $g(1)=\frac{N}{2}$.