Стяните петлю

32

2(√n+1−1)<1+1/√2+1/√3+…
…+1/√n<2√n−1.

6. (С. Майзус, Запорожье) Докажите, что последовательность
   $$U_n=1+\frac{1}{\sqrt{2}^2}+\frac{1}{\sqrt{3}^3}+\dots+\frac{1}{\sqrt{n}^3}-4\sqrt{n}$$
   убывает и стремится к пределу.

8. a) (В. Комов, Александров) Докажите, что последовательность $\{(2+\sqrt{3})^n\}$ сходится, и найдете ее предел.

6. Каковы первые 100 десятичных знаков после запятой в записи числа $(\sqrt{50}+7)^{100}$?

9. Докажите, что для любого натурального $d$, не является полным квадратом, найдется такое $a$, что для любых $m$ и $n$
   $$|m/n-\sqrt{d}|>1/\alpha n^2.$$

10. (И. Жук, Минск) Докажите, что при любом натуральном $n$ число $[(35+\sqrt{1157})^n/2^n]$ делится на 17, и вообще для любых натуральных $k$ и $n$ число $[(2k+1+\sqrt{4k^2+1})^n/2^n]$ делится на $k$.

11. (С. Манукян, с. Мальый Памач ГССР). Докажите, что для любого числа $p>2$ найдется такое число $β$, что для каждой $n$
    $$\sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt{2+\sqrt{2}+p}}}=\beta^{2n}+\beta^{-2n}$$
    $n$ разделков.

12. (И. Жук, Минск) Докажите, что последовательность $b_m=1+17m^2$ содержит бесконечного квадратов целых чисел.

13. Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, один из корней которого $(3+\sqrt{5})/4$.

14. Составьте уравнение 4-й степени с корнями $\pm \sqrt{p} \pm \sqrt{q}$ и решите его, как биквадратное уравнение. Сравнивая ответ с данными корнями, докажите популярные формулы для двойных разделков:
    $$\sqrt{A+\sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}}$$
    $$\pm \sqrt{\frac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}}$$
    $(A^2>B>0, A>0)$.

Список дополнительной литературы

1. Л. Курляндчик, А. Лисицкий «Суммы и произведение» («Квант», 1978, № 10).
2. В. Второе решение задачи M514 («Квант», 1979, № 5, с. 26).
3. Р. Нивен «Числа рациональные и irrationalные» (М., «Мир», 1966).
4. Д. Фукс, М. Фукс «О наилучших приближениях» («Квант», 1971, № № 6, 11) и «Рациональные приближения и трансцендентность» («Квант», 1973, № 1).
5. Н. Васильев, В. Гутенхахер «Прямы и кривые» (М., «Наука», 1978), с. 103—105.
6. А. Н. Маркушевич «Ряды» (М., «Наука», 1979).
7. Избранные задачи из журнала American Mathematical Monthly (М., «Мир», 1977), с. 560—561.
8. Л. Курляндчик, Г. Розенблом «Метод бесконечного спуска» («Квант», 1978, № 1).
9. В. Березин «Филлотаксис и последовательность Фибоначчи», («Квант», 1979, № 5, с. 53).
10. Н. Н. Воробьев «Числа Фибоначчи» (Популярные лекции по математике, вып. 1) (М., «Наука», 1978).
11. Л. И. Головина «Линейная алгебра и некоторые ее приложения» (М., «Наука», 1979).
12. М. М. Постников «Теория Галya» (М., физматиз, 1963).
13. Ван-дер-Варден «Алгебра» (М., «Наука», 1976).

Статите петлю

В плоскость воткнуты два кольщика $A$ и $B$, на них накинута вервочная петля (см. рис.ок). Снять петлю

с кольшков, не разрывая ее и не поднимая ее над кольщика, очень недельно, нельзя; если же убрать любой из них, то это сделать можно.

Заддача петлю, наброшенную на три кольщика, которая с них не снимается, но, если убрать любой кольщик, составится двух.

В. Березин