Сопряжённые числа

26

Математический кругок

Н. Ваеутен

Сопряжение числа

Читать эту статью (или проводить на ее основе занятие математического кругка) можно по-разному. Простейший способ — разобрать решения предложенных в ней задач, пропустив мелкий шрифт, а затем закрепить продемонстрированные приемы, перешевать предложенные в конце статьи упражнения. Но если вас заинтересовала та или иная задача или серия задач, можно поступить и иначе: внимательно прочитать помещенный вслед за ней мелким шрифтом текст и, пользовсь указанной автором дополнительной литературой, более глубоко разобраться в существе затронутых вопросов.

Читатель, вероятко, известны на первый взгляд兢яд трудные геометрические задачи, которые мгновенно решаются, если заменить одну данную точку другой, симметричной ей относительно какой-то прямой. Сообщения симметричны очень важны и в алгебре.

В этой статье мы рассмотрим ряд ситуаций, в которых число вида $a+b\sqrt{d}$ полезно заменить сопряженным $a-b\sqrt{d}$. Мы увидим, как этот простой примем — замена знака перед радиалом — помогает в решении разнообразных задач алгебры и анализа — от нежитых оценок и преобразования до трудных olимпидных задачи и замысловых придумок составителей конкурсных экзаменов.

Большинство наших примеров может служить первым знакомством с глобими математических теориими (кое-где мы указываем статьи и книги для продолжения знакомства). Среди задач, включенных в статью, две — из Задачника «Кванта» и несколько — из писем читателей, уже испытывших удовлетворение от трюков с радиалами и железоих поделиться им с другими.

Пары сопряженных чисел появляются в полне естественных образом, когда мы решаем квадратное уравнение, а корень из дискрипината не извлекается: скажем, уравнение $\lambda^2-\lambda-1=0$ имеет пару «сопряженных» корней: $\lambda_1=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ и $\lambda_2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. К этому мы еще вернемся, а начнем с примеров другого рода: займется «перебросами»…

28

(тут, конечно, нам повезло: разность квадратов $(2n+1)^2-4n(n+1)$ равна 1)
$$\leq \frac{1}{(2\sqrt{n}+\sqrt{n})(2n+2n)} = \frac{1}{16n\sqrt{n}}.$$

Заметим, что и эта оценка очень точная. Но убедиться в этом (и вообще исследовать поведение функции с многоимпалями) лучше уже не с помощью алгебраических преобразований, а средствами анализа — заменить переменную $n$ на $h$ $1/n$ и воспользоваться формулой Тейлора $\sqrt{1+h} = 1+h/2 - h^2/8 + \dots$ (См. [6]).

Заменим плоск на минус

Мы уже говорили о пользовании симметрики в геометрических задачах. Свое рода симметрией в алгебре является замена плоска на минус.

Так, если какое-либо выражение от $\sqrt{d}$ равно $p+q\sqrt{d}$ и мы всюду в этом выражении заменим $\sqrt{d}$ на $-\sqrt{d}$, то естественно ожидать, что новое выражение оказывается равным сопряженному числу $p-q\sqrt{d}$. Мы будем пользоваться таким очевидным частным случаем этого свойства ($a$ и $b$ — рациональные, $\sqrt{d}$ — нет):

$$(a+b\sqrt{d})^n = p+q\sqrt{d} \Rightarrow (a-b\sqrt{d})^n = p-q\sqrt{d}.$$

5. Доказать, что уравнение

$$(x+y\sqrt{5})^4+(z+t\sqrt{5})^4 = 2+\sqrt{5}$$

не имеет решений в рациональных числах $x, y, z, t$.

Можно, конечно, найти отдельную сумму членов левой части, не содержащих $\sqrt{5}$ (она должна быть равна 2), и отдельно — коэффициент при $\sqrt{5}$ (он должен равнять 1). Но что делать с полученной громоздкой системой, неясно. Вместо этого воспользовемся (4) и заменим плоск перед $\sqrt{5}$ на минус!

$$(x-y\sqrt{5})^4+(z-t\sqrt{5})^4 = 2-\sqrt{5}.$$

Слева стоит неотрицательное число, справа — отрицательное.

6. Доказать, что существует бесконечно много пар $(x; y)$ натуральных чисел, для которых $x^2$ отличается от $2y^2$ на 1:

$$|x^2-2y^2| = 1.$$

Несколько таких пар с небольшими $(x; y)$ легко найти подбором: это $(1; 2)$, $(3; 2)$, $(7; 5)$, $(17; 12)$, … (рис. 1). Как продолжить этот набор? Можно ли записать общую формулу для этих решений?

Рис. 1. Прокодят ли эти гипербольы через бесконечно число узлов клетчатой бумаги?

Найти ответы на эти вопросы нам помогет число $1+\sqrt{2}$. Закономерность, позволяющая получить все новые решения $(x; y)$, указывая в таблице:

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c} n & (1+\sqrt{2})^n & x_n & y_n & x_n^2-2y_n^2 & (1-\sqrt{2})^n \\ 1 & 1+\sqrt{2} & 1 & 1 & 1-2=-1 & 1-\sqrt{2} \\ 2 & 3+2\sqrt{2} & 3 & 2 & 9-8=1 & 3-2\sqrt{2} \\ 3 & 7+5\sqrt{2} & 7 & 5 & 49-50=-1 & 7-5\sqrt{2} \\ 4 & 17+12\sqrt{2} & 17 & 12 & 289-288=1 & 17-12\sqrt{2} \\ 5 & 41+29\sqrt{2} & 41 & 29 & 1681-1682=-1 & 41-29\sqrt{2} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ \end{array}$$

Какой будет шестая строка?

Видно, что коэффициенты $x_n, y_n$ в числе $x_n+y_n\sqrt{2} = (1+\sqrt{2})^n$ будут давать нужную пару. Доказать это помогет кольника таблицы из сопряженных чисел (мы снова применяем (4)):

$$x_n-y_n\sqrt{2} = (1-\sqrt{2})^n.$$

Переменная два последних равенства, получим

$$x_n^2-2y_n^2 = (1+\sqrt{2})^n(1-\sqrt{2})^n = \\ = ((1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2}))^n = (-1)^n,$$

и интересующее нас выражение попереенно равно то 1, то — 1. Складывая и вычитая эти же два равенства, мы получим явное выражение для $x_n$ и $y_n$:

$$x_n = ((1+\sqrt{2})^n + (1-\sqrt{2})^n)/2$$

$$y_n = ((1+\sqrt{2})^n - (1-\sqrt{2})^n)/2\sqrt{2}.$$

29

Можно ли в решении этой задачи про целые числа обойтись без irrationalных чисел $1 + \sqrt{2}$ и $1 - \sqrt{2}$? Тепер, зная ответ, мы можем легко выразить $(x_{n+1}; y_{n+1})$ через предыдущую пару $(x_n; y_n)$ из $x_{n+1} + y_{n+1}\sqrt{2} = (x_n + y_n\sqrt{2}) (1 - \sqrt{2})$ вытекает

$$x_{n+1} = x_n + 2y_n, \quad y_{n+1} = x_n + y_n.$$ (6)

До этого рекуррентного соотношения можно было, видимо, договорая по нескольким первым решением, а потом проверить, что

$$|x_n^2 - 2y_n^2| = |x_{n+1}^2 - 2y_{n+1}^2|.$$

Добавив начальное условие $x_1 = 1, y_1 = 1$, отсюда (по индекции) можно было бы заключить, что $|x_n^2 - 2y_n^2| = 1$ для любого $n$. Далее, выразив обратно $(x_n; y_n)$ через $(x_{n+1}; y_{n+1})$, «метод спуска» ([8]) можно доказать, что найденой серий исчерпываются все решения уравнения (5) в натуральных числах $(x; y)$. Подобным же образом решается любое «уравнение Пелля» $x^2 - dy^2 = c$ (а к уравнении такого типа свойства любое квадратное уравнение в целых числах $x, y$), но у исходного уравнения может быть несколько серий решенной ([7]).

Рекуррентные соотношения типа (6) возникают не только в теории чисел, но и в разных задачах анализа, теории вероятности. Вот характерный пример комбинаторной задачи такого типа (она предлагалась на последней международной оптимизации в Лондоне):

7(M595). В вершине $A$ правильного восмцуольника сидит лярушка. Из любой вершины восмцуольника, кроме вершины $E$, противоположной $A$, она может прыенуть в любую из двух соседних вершин. Попав в $E$, лярушка останавливается и остается там. Найти ко-

личество $e_m$ различных способов, которые лярушка может попасть из вершины $A$ в $E$ровно за $m$ прыжков.

Если раскрасть вершины восмцуольника через одну в черный и белый цвет (рис. 2), сразу станет ясно, что $c_{2k-1} = 0$ при любом $k$: цвет вершин при каждом прыжке меняется. Обозначим через $a_n$ и $c_n$ количество способов, которые лярушка может за $2n$ прыжков попасть из вершины $A$, соответственно, в вершину $A$ и в одну из вершин $C$ (из сообщений симметрия ясно, что в каждой из вершин, обозначенных на рисунке буквой $C$, можно попасть одним и тем же числом способов). Как легко проверить (см. рис. 2a, б, в, е)),

$$a_1 = 2, \quad c_1 = 1;$$

$$a_{n+1} = 2a_n + 2c_n,$$

$$c_{n+1} = a_n + 2c_n.$$ (7)

А интересующее нас число $e_{2n}$ равно, очень много, $2c_{n-1}$ (рис. 2d).

Как же найти явную формулу для $a_n$ и $c_n$? Запишем наше рекуррентное соотношение (7) так:

$$a_{n+1} + c_{n+1}\sqrt{2} = (a_n + c_n\sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})$$ (8)

и — как вы уже, конечно, доказались — еще так:

$$a_{n+1} - c_{n+1}\sqrt{2} = (a_n - c_n\sqrt{2}) (2 + \sqrt{2}).$$ (9)

Отсюда по индекции, получая (7), по-

Рис. 2. a) Из $A$ в $C$ за два прыжка можно попасть только один способ: $c_1 = 1$.

б) Из $A$ в $A$ за два прыжка можно попасть два способ: $a_1 = 2$.

в) В $A$ можно попасть из $C$ двумя способами

30

Лучаем:

$$a_n + c_n \sqrt{2} = (2 + \sqrt{2})^{n-1} (a_1 + c_1 \sqrt{2}) = (2 + \sqrt{2})^n;$$

$$a_n - c_n \sqrt{2} = (2 - \sqrt{2})^{n-1} (a_1 - c_1 \sqrt{2}) = (2 - \sqrt{2})^n.$$

Поэтому $c_n = [(2 + \sqrt{2}) - (2 - \sqrt{2})^n] : 2\sqrt{2}$, а так как $e_{2n} = 2c_{n-1}$, получаем окончательно

$$e_{2n} = [(2 + \sqrt{2})^{n-1} - (2 - \sqrt{2})^{n-1}] / \sqrt{2}; \quad e_{2n-1} = 0.$$

Задача решения. Нясно только, как в этой задаче (и в предыдущей задаче 6) можно было допустить до формул, содержащих $\pm \sqrt{2}$, — в задаче решить идет о целых числах! (Для участников олимпиды и читателей «Кванта» задача 7 была облегчена тем, что в формулировке указывался ответ — «Квант», 1979, № 11, М595).

Однако «споряженные числа» возникли бы совершенно автоматически, если бы мы владелили началом линейной алгебры (см. [12]), и применили стандартные правила этой науки к решению уравнений (7). Эти правила предлагают сначала выяснить, какие геометрические прогрессии ($a_n = a_0 \lambda^n$, $c_n = c_0 \lambda^n$) удовлетворяют данному рекурентному соотношению. Значения, для которых также прогрессии существует, — они называются характеристическими значениями или собственными числами — определяются из некоторого уравнения (он тоже называется характеристическим). Для (7) характеристической уравнения имеет вид $\lambda^2 + 2 - 4\lambda = 0$, его корни — как раз $2 + \sqrt{2}$ и $2 - \sqrt{2}$. Знача эти корни, любое решение рекурентного соотношения мы можем получить как «линейную комбинацию» соответствующих геометрических прогрессий ([11]). «Начальное условие» (в нашем случае $a_1 = 2$, $c_1 = 1$) определяет нужное нам решение однозначно.

Недвижительное, что даже самые простые рекуррентные целочисленные последовательности, для которых характеристические уравнения — квадратное с целыми коэффициентами (примеры — те же (6) и (7) или последовательность Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8,…, $\Phi_{n+1} = \Phi_n + \Phi_{n-1}$ — см. [9], [10]), выражаются, как функция номера, с помощью «споряженных» квадратных иризационныхностей.

Заметим, что большие характеристические числа определяют скорость роста последовательности: при больших $n$ в задаче $7e_n \approx (2 + \sqrt{2})^n / \sqrt{2}$. Можно сказать это еще так: $\lim_{n \to \infty} (e_{n+1}/e_n) = 2 + \sqrt{2}$.

Для задачи 6 аналогичное наблюдаем:

$$\lim_{n \to \infty} (x_n/y_n) = \sqrt{2}$$ — показывает, что оба числа $x_n$ и $y_n$ при больших $n$ применно равны друг другу. Интересное продление этого факта мы видим в следующей задаче с большим числом «споряженных» иризационныхностей.

Почередно меняем все знаки

8 (М520). Пусть $(1 + \sqrt{2} \Phi' \sqrt{3})^n = q_n + r_n \sqrt{2} + s_n \sqrt{3} + t_n \sqrt{6}$, где $q_n, r_n, s_n$ и $t_n$ — целые числа. Найти предельный $\lim_{n \to \infty} r_n/q_n$, $\lim_{n \to \infty} s_n/q_n$, $\lim_{n \to \infty} t_n/q_n$.

Конечно, мы здесь можно выразить $(q_{n+1}; r_{n+1}; s_{n+1}; t_{n+1})$ через $(q_n; r_n; s_n; t_n)$, получясь тем, что $q_{n+1} + r_{n+1} \sqrt{2} + s_{n+1} \sqrt{3} + t_{n+1} \sqrt{6} = (1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}) (q_n + r_n \sqrt{2} + s_n \sqrt{3} + t_n \sqrt{6}) = (1 + \sqrt{2} + 3)^n$.

Нетрудно сообщить, каковы будут другие. Расмотрим вместе с данным числом $\lambda_1 = 1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}$ еще три «споряженными»: $\lambda_2 = 1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}$, $\lambda_3 = 1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}$, $\lambda_4 = 1 - \sqrt{2} - \sqrt{3}$.

Мы можем выразить $q_n, r_n, s_n, t_n$ через $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \lambda_4$:

$$q_n = (\lambda_1^2 + \lambda_2^2 + \lambda_3^2 + \lambda_4^2) / 4,$$

$$r_n = (\lambda_1^2 - \lambda_2^2 + \lambda_3^2 - \lambda_4^2) / 4\sqrt{2},$$

$$s_n = (\lambda_1^2 + \lambda_2^2 - \lambda_3^2 - \lambda_4^2) / 4\sqrt{3},$$

$$t_n = (\lambda_1^2 - \lambda_2^2 - \lambda_3^2 + \lambda_4^2) / 4\sqrt{6}.$$

Теперь заметим, что $\lambda_1 > |\lambda_2|$, $\lambda_1 > |\lambda_4|$. Позумуем $\lim_{n \to \infty} r_n/q_n = \lim_{n \to \infty} s_n/q_n = 1/\sqrt{6}$.

Мы говорили выше, что соряженные числа $a \pm b\sqrt{d}$ возникают как корни квадратного уравнения с целыми коэффициентами. В связи с последней задачей такое желание:

9. Написать уравнение с целыми коэффициентами, один из корней которого равен $1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}$.

Возникает подозрение, что вместе с этим числом $λ_1$ уравнение с целыми коэффициентами удовлетворяют и соряженные, которые в решении предыдущей задачи мы обозначили $\lambda_2, \lambda_3, \lambda_4$. Нужное уравнение можно записать так:

$$(x - \lambda_1)(x - \lambda_2)(x - \lambda_3)(x - \lambda_4) = 0;$$

то есть

$$(x - 1 - \sqrt{2} - \sqrt{3})(x - 1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}) \times (x - 1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}) \times (x - 1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}) = 0;$$

31

после преобразования получаем

$$((x-1)^2-5-2\sqrt{6}) (x-1)^2-5+2\sqrt{6}) = 0,$$
$$(x^2-2x-4)^2-24 = 0,$$
$$x^4-4x^3-4x^2-16x-8 = 0.$$

Именно такое уравнение получилось в качестве характеристического, если мы применили упомянутую мелким шрифтом на с. 30 общего теории к исследованию линейного преобразования ($q_n; r_n; s_n; t_n) \rightarrow (q_{n+1}; r_{n+1}; s_{n+1}; t_{n+1}$) в предыдущей задаче. Заметим, кроме того, что мы на самом деле получили уравнение наименьшей степени (с целью коэффициентами) с корнем $\lambda_1 = 1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}$. Попробуйте это доказать!

Алгебраические последовательные

Мы разобрали несколько примеров, в которых затрагивают пограночные вопросы алгебры, математического анализа и теории чисел. (Кажdomу направленно, которое мы наметили, можно было бы посвятить более подробную статью в «Кванте»!) В заключение показем еще, как можно смотеть на основных героев статьи — «сопряженные числа» — с чисто алгебраической точки зрения.

Предположим, что у нас есть множество $P$ чисел (или выражений с буквами, или еще каких-то элементов), с которых можно выполнять четые действия арифметики с соблюдением общих арифметических правил. Такое множество называется полем (точное определение см. в списке на с. 18); поля образуют, например, рациональные и действительные числа. Если в поле $P$ не разрешимо, скажем, уравнение $x^2-d=0$, то можно расшиить его, рассматривая элементы вида $p+q\sqrt{d}$, где $p, q \in P$, а $\sqrt{d}$ — новый символ, который при умножении сам на себя дает $d$, т. е. $\sqrt{d}\sqrt{d}=d$, так что $(p+q\sqrt{d})(p'+q'\sqrt{d})=(pp'+qq'd)+(pq'+qp')\sqrt{d}$. Подробно эта конструкция, для $d=2$ и $d=-1$, описана в статье С. Ашманова в этом номере «Кванте». Во втором случае, то есть при $d=-1$, расширенем поля вещественных чисел получаются комплисные числа. К ним мы еще вернемся в следующих номерах «Кванта».

В новом поле $P_1$ — «квадратном расшириении» поля $P$ — есть интересное отображение $\lambda=p+q\sqrt{d} \rightarrow \lambda=p-q\sqrt{d}$ (своеобразная «алгебраическая симметрия»), называемое conгружением, с таким свойствами:

1°. Все элементы старого поля $P$ переходят в себя;
2°. Все равенства, содержащие арифметические операции, при этом отображении сохраняются:

$$\lambda+\mu=\bar{\lambda}+\mu; \quad \lambda\mu=\lambda \cdot \mu.$$

Это отображение является частью случая называемых автоморфизмов Галуа расшириения $P_1$ поля $P$.

В задачах 8 и 9 мы видели пример «двукратного» расшириения — присоединения $\sqrt{2}$ и затем $\sqrt{3}$, — в результате которого получилось поле с большим количеством автоматических Галуа: кроме точек действияного отображения, их уже три $(\sqrt{2} \rightarrow -\sqrt{2}, \sqrt{3} \rightarrow \sqrt{3}, \sqrt{2} \rightarrow \sqrt{2}, \sqrt{3} \rightarrow -\sqrt{3})$, и их «взаимодействие» устроено так же, как во множестве самосовмещений прямогольника.

Оказывается, к основному полю можно присоединять корни любо алгебраического уравнения. Автоморфизмы возникалишего нового поля — предметной из красивейших ветвей алгебры XIX—XX века, теории Галуа, которая позволяет, в частности, исследовать вопрос о разрешимости уравнения в радиках ([13], [14]).

Мы закончим эту статью набором задач, в основном продолжении уже затронутые темы, но требующих иногда и новых сообщений, и обеспечим списком литературы.

Уражнения

1. Что больше: $\sqrt{1979} + \sqrt{1980}$ или $\sqrt{1978} + \sqrt{1981}$?
2. Локажите, что при всех положительных $x$
   $$|\sqrt{x^2+1}-x-1/2x| < 1/8x^3.$$
3. Постройте график функции $y=\sqrt{x^2-1}$ и докажите, что при $|x| \ge 1$
   $$0 < |x| - \sqrt{x^2-1} < 1/|x|.$$
4. В формуле $\sqrt{2}=1+\frac{1}{\sqrt{2}+1}$ заменим $\sqrt{2}$, стоящий в правой части (в знаменателle), по той же формуле:
   $$\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{\sqrt{2}+1}}.$$
   В этой формуле снова изменим нижний $\sqrt{2}$ на $1+\frac{1}{\sqrt{2}+1}$, и т. д. $n$ раз. Если теперь изменить на 1 или на 2, мы получим два рациональных числа $p_n, q_n$. Докажите, что $\sqrt{2}$ лежит между ними и $\lim_{n \to \infty} q_n=\sqrt{2}$. (Не встроечialize ли мы с этим числом в одной из задач?)
5. Докажите, что уравнения a) $x^2-3y^2=1$, б) $x^2-3y^2=2$ имеют бесконечное множество решений в целых числах.
6. Докажите, что функция $y=\ln(\sqrt{1+x^2}+x)$ нечетная, и построите ее график.
7. a) Докажите, что для любого натурального $n$