Московский физико-технический институт

51

Московский физико-технический институт

Ниже публикуются материалы письменныхступительных экзаменов 1979 года. На работу как по математике, так и по физике отводилось пять часов.

Mathematica

Вариант 1

1. Решить уравнение
   $$\sqrt{2-x} + \frac{4}{\sqrt{2-x}+3} = 2.$$
2. Решить неравенство
   $$\frac{x-1}{\log_3(9-3^x)} \leq 1.$$
3. Найти все решения уравнения
   $$\sin(2x - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}\sin^2x,$$
   удовлетворяющие неравенству
   $$\log_{\cos^23}(1 + \sin(7x+5)) < \sin 8x.$$
4. Продолжения высот AM и CN остроугольного треугольника ABC пересекают описанную оклою него окружность в точках P и Q. Найти радиус описанной окружности, если $|AC| = a, |PQ| = \frac{6}{5}a.$
5. В терраде ABCD двумя углы при ребрах AB и BD прямые, $\widehat{ACD} = a$. Вершина конуса совпадает с одной из вершин терраэра, окружность основания конуса вписана в одну из границ. Найти угол в осевом сечении конуса.
6. Пункт N расположен на берегу реки, ширина которого 1 km, а скорость течение 1 km/час. Не менее чем на 3 km ниже по течение на другом берегу находится пункт M. Из пункта M выходит рыбак и идет вдоль берега по направлению к N со скоростью 4 km/час. Одовременено из пункта N отплывает на лодке перевозчик, пересекает реку, и дохдавшись рыбака, переправляет его в пункт N. Туда и обратно лодка движалась по прямой, причем направление движения было выбран так, что от отплития до возврашения прошло наименьшее возможное время, равное $\frac{9}{8}$ часа. Скорость лодки в стоячей воде равна 4 km/час. Найти расстояние (по течению) между пунктами M и N.

Вариант 2

1. Решить неравенство
   $$0,4^x - 2,5^{x+1} > 1,5.$$
2. Решить систему уравнений
   $$\begin{cases} \log_2y = \log_4(xy - 2), \\ \log_9x^2 + \log_3(x-y) = 1. \end{cases}$$
3. Окружность радиуса R, проведенная через вершины A, B и C прямойной трапеции $ABCD$ ($\widehat{A} = \widehat{B} = \frac{\pi}{2}$), пересекает отрезки AD и CD соответственно в точках M и N так, что $|AM|:|AD| = |CN|:|CD| = 1:3$. Найти площадь трапеции.
4. Решить уравнение
   $$\sin x + \sin^2x + \cos^3x = 0.$$
5. Из пунктов A и B навстречу друг другу вышли одновременное два поезда. Каждый из них двигаля сначала равноускорено (начальные скорсти поезда равны нулю), а затем, достигнут неокторой скорсти,— равномерно. Отношение скорсти равномерного движения поезда равно $\frac{4}{3}$. В момент встречи поезда имели равные скорсти, а в пункты B и A приближенно одновременно. Найти относение ускорений поезда.
6. Основанием прямогоного параллелепеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является квадрат ABCD. Найти наиболее возможный угол между прямой BD$_1$ и плоскостью BDC$_1$.

Физика

Вариант 1

1. Три одинаковых гладких биллиардных шара радиусом R расположены на гладкой горизонтальной плоскости, как показано на рисунке 1. Шар 1 сообщается скорсть $\vec{v}_0$, он удается сначала о шар 2, затем о шар 3 и оставливается. Определите расстояние r между центрами шаров 2 и 3 и скорсти, которые прибретут после удара шары 2 и 3. Соударения абсцилтою упругие.
2. В цилиндре под поршнем содержится n = 0,5 моля воздуха при температуре T$_0$ = 300 K. Во сколько раз увеличится объем газа при сообщении ему количество теплоты Q = 13,2 кДж? Молярная темперакость воздуха при постоянном давлении C$_p$ = 29,1 Дж/(моль·К).
3. Параллельно соединенные катушки с индуктивностью L и сопротивление R подключи через ключок K и источник с постоянной ЭДС E и внутренним сопротивлением r (рис. 2). В начальной момент времени ключок K разомкнут и тока в цепи нет. Какой заряд Q протечет через сопротивление R после замыкания ключка K? Омическим сопротивлением катушки пребречь.
4. Экспериментально определяется зависимость величины, обратной линейному увееличению, от расстояния d от предмета до

52

тонкой линии. Эта зависимость показана на рисунке 3. Определите фокусное расстояние линии.

Вариант 2

1. В результате взаимодействия ядер действия и трития образуется ядро геля и нейtron: $^2\text{H} + ^3\text{H} = ^4\text{He} + n$. При этом выделяется значительная энергия. Какую часть уносит с собой нейtron? Кинетические энергиями действия и трития до реакции можно пребречь по сравнению с выделившейся энергейой.

2. Лазерные трубки объемом $V_0 = 60$ см$^3$ должны заполнять смесь геля и неона в молярном отношении 5:1 при обшем давлении $p_0 = 6$ мм рт. ст. Имеются балловые этих газов, каждый объем $V_C = 2$ л. Давление в балоне геля $p_1 = 50$ мм рт. ст., неона — $p_2 = 200$ мм рт. ст. Какое число трубок можно заполнить?

3. Заряженный конденсатор емкостью $C$ подключен через ключ $K$ к двум параллельным соединительным катушкам с индуктивностями $L_1$ и $L_2$ (рис. 4). В начальной момент времени ключ разомкнут. Если замкнуть ключ $K$, через катушки потребит токи. Известно, что максимальная величины силы тока, протекающего через катушки с индуктивностью $L_1$, оказывась равной $I_1$, Найдите первоначальный заряд на конденсатор. Омическим сопротивлением катушек пребречь.

4. На стеклянный клин перpendикулярно его грани падает тонкий луч света (рис. 5). Показатель предположения стекла $n = 1,41$, угол $\alpha = 10^\circ$. Сколько светлых пятен будет видно на экране, поставленном за клином?

Вариант 3

1. При какой продолжительности суток тела на экваторе Земли весили бы в два раза меньше, чем на полюсе? Радиус Земли $R = 6400$ км.

2. Ампула с радиоактивным препаратом $^{24}\text{Na}$ (перiod полураспада $\tau_{1/2} = 15$ ч) охлаждается потоком воздуха. В начале опыта воздуха охлаждающий амплуу воздух будет нагреться на $\Delta t_0 = 2^\circ\text{C}$. Через какое время охлаждающий амплуу воздух будет нагреться на $\Delta t_1 = 1,8^\circ\text{C}$?

3. Неподвижная заряженная часть (протон) находится последине между пластинами плоского конденсатора, помещенного в вакуум. На конденсатор подается направление $U_c(t)$ прямого новой формы (рис. 6). Определите амплитуду направления $U_0$ и энергия частицы $E$ в момент удара о пластину конденсатора, если известно, что за время $\tau = 10^{-6}$ с частица прошла расстояние $3/8L$, где $L$ — расстояние между пластинами конденсатора, $L = 5$ см. Масса протона $m_p = 1,67 \cdot 10^{-24}$ г, его заряд $e = 1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл.

4. В тонкостенном стеклянном шарике диаметром $2R = 4$ см видны два изображения пламени свечки, обусловленные отражением от ближней и дальнейшей стенок шарика. Размеры изображения относятся как 19/21. Определите расстояние между центром шарика и свечкой.

В. Можаев,
В. Федосов,
В. Чехлов