Задачи М606—М610; Ф618—Ф622

34

Задачи

M606 — M610; Ф618 — Ф622

М606. Функция $f$ такова, что для всех действительных $x$

$$f(x+1) + f(x-1) = \sqrt{2}f(x).$$

Докажите, что $f$ — периодическая функция.

Э. Туркевич

М607. a) Разрежьте квадрат на равноведенные трапеции.

b) Разрежьте равноведенный прямоугольный треугольник на равноведенные трапеции.

в) Докажите, что любой многоугольник можно разрезать на равноведенные трапеции.

В. Лев

М608. На клетчатой бумаге (сторона клетки 1) нарисован $n$-угольник, все стороны которого лежат на линиях сетки и имеют нечетную длину.

a) Докажите, что $n$ делится на 4.

б)* Докажите, что при $n=100$ площадь этого $n$-угольника обязается нечетна. Выясните, какова четность площади при других $n$.

М. Концевич, ученик 10 класса

М609. a) Длины проекций выпуклого многоугольника площади $S$ на две взаимно перpendикулярные прямые равны $l_1$ и $l_2$. Докажите, что $S \leq l_1 l_2$.

b) Длины проекций выпуклого многоугольника объема $V$ на три взаимно perpendикулярные прямые равны $l_1, l_2$ и $l_3$. Докажите, что $V \leq l_1 l_2 l_3$.

в)* Площади проекций выпуклого многоугольника объема $V$ на три взаимно perpendикулярные плоскости равны $S_1, S_2$ и $S_3$. Докажите, что $V \leq \sqrt{S_1 S_2 S_3}$.

Ю. Смирнов

М610. Фиксируем $k \in N$. a) Расмотрим множество всех наборов целых чисел $a_1, \ldots, a_k$ таких, что $0 \leq a_1 \leq a_2 \leq \ldots \leq a_k \leq k$; обозначим число таких наборов через $N$. Расмотрим среди них те, для которых $a_k = k$; пусть их число равно $M$. Докажите, что $N = 2M$.

b) Наложим на рассматриваемые наборы дополнительное ограничение: сумма $a_1 + \ldots + a_k$ делится на $k$. Пусть соответствующие числа равны $N'$ и $M'$. До-

35

кажите, что $N' = 2M'$. (Из рисунка 1 видно, что при $k = 3$ эти числа равны $M = 9, N = 18; M' = 4, N' = 8$.

А. Толыцо

Ф618. Можно ли две лампы накаливания мощностью 60 Вт и 100 Вт, расчитанные на напряжение 110 В, включить последовательно в сеть напряжения 220 В, если допустимо превышение напряжения на каждой из ламп не более 10% от номинального? Вольтамперная характеристика лампы мощностью 100 Вт показана на рисунке 2.

А. Зильберман

Ф619. Светящаяся точка нахождения на главной оптичекой оси на расстоянии $d = 40$ см от рассеивающей линзы с фокусным расстоянием $F = 10$ см. Точку сместил на расстояние $h = 5$ см в плоскости, перпендикулярной главной оптической оси. На сколько и куда надо сместить линзу, чтобы изобравнение светящейся точки вернулось в старое положение?

Ленинградская городская олимпiadа по физике, 1979 г.

Ф620. Если в центр квадратного стола поставить предмет массой, большей $m_0$, пожки стола сломаются. Найти множество точек стола, куда можно поставить предмет массой $m_0/2$, не боясь поломки стола.

О. Батицев

Ф621. Конец нити, намотанной на катушку, перекинит через битый в стену гвоздь (рис. 3). Нитку тянут с постоянной скоростью $v$. С какой скоростью двигается центр катушки в тот момент, когда нить составляет угол $\alpha$ с вертикалью? Внешний радиус катушки равен $R$, внутренний — $r$.

Ф622. Когда и во сколько раз больше абсцилта влажность воздуха (плотность водяных паров): в ноябре при температуре $t_1 = 0^\circ C$ и влажности 95% или в иоле при $t_2 = 35^\circ C$ и влажности 40%, если давление насыщенного пара при $t_1 = 0^\circ C$ равно $p_1 = 6 \cdot 10^2$ Па, а при $t_2 = 35^\circ C$ равно $p_2 = 5,5 \cdot 10^3$ Па?

ВНИМАНИЕ, ЧИТАТЕЛИ!

По вине типографии в условиях задачи М598 и в способе к условиям задачи М599 («Квант», 1979, № 12, с. 20) были допущены опечатки. В условиям задачи М598 вместе буквы $n$ должны быть буква $R$, а способ к М599 следует читать так:

$a^{b^c}$ означает $a^{(b^c)}$.

Срок присылаки решений этих задач продлевается до 1 апреля.