Kvant
Luyện thi đại học

Đại học quốc gia Moscow được đặt theo tên. M. V. Lomonosova

Кротов С. С. и др.

Kvant 1980, số 4tr. 48, 49, 50, 52, 53Thẻ N67M

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

48

Đại học quốc gia Moscow
họ. M. V. Lomonosova

Matematika

Bài thi viết

Khoa Cơ học và Toán học

Có rất nhiều điều đáng lo ngại trong kỳ thi tuyển sinh môn toán vào Khoa Cơ học và Toán học của Đại học Tổng hợp Moscow vì tin rằng các ứng viên sẽ phải đối mặt với một bài toán khó đến mức khó hiểu. Những nỗi sợ hãi này là vô căn cứ. Kỳ thi tuyển sinh được thực hiện theo “Chương trình thi tuyển sinh dành cho các ứng viên vào các cơ sở giáo dục đại học của Liên Xô”. Các nhiệm vụ được đưa ra trong kỳ thi tuyển sinh chỉ yêu cầu lời giải kiến ​​thức tốt về chương trình này, có khả năng sử dụng các quy tắc và kỹ thuật đã học ở trường. Không có kiến ​​thức bổ sung được yêu cầu từ người nộp đơn. Thông thường, những người trẻ tuổi, được giảng dạy bởi các chương trình của vòng tròn vật lý và toán học cũng như bài toán các kỳ thi Olympic khác nhau, không quyết định đăng ký học cơ khí tại Đại học Tổng hợp Moscow. Trong khi đó, nhiều em đã có sự chuẩn bị tốt và có thể tham gia cuộc thi thành công.

Hai hoặc ba bài toán trong bài thi viết, các tùy chọn khá đơn giản và hoàn toàn có thể truy cập được đối với bất kỳ ai đã nắm vững chương trình giảng dạy ở trường. Tuy nhiên, để đạt điểm cao trong bài thi viết không phải là điều dễ dàng, vì cùng với những bài toán dễ, các lựa chọn còn bao gồm những bài phức tạp hơn bài toán, lời giải đòi hỏi trình độ toán học khá cao.

Năm 1979, bốn giờ được phân bổ để hoàn thành tác phẩm viết. Để đạt điểm dương, chỉ cần giải đúng hai bài toán là đủ.

Tùy chọn 1

  1. Tìm tất cả các phương trình lời giải
    1—5 sin x + 2 cos² x = 0,
    thỏa mãn bất đẳng thức cos x ≥ 0.

  2. Đoạn KL là đường kính của một đường tròn nhất định. Hai đường thẳng kẻ qua hai đầu K và L, cắt đường tròn tương ứng tại các điểm P và Q, nằm

shih về một phía của đường thẳng KL. Tìm bán kính của đường tròn nếu PKL = π/3 và giao điểm của đường KP và Q cách các điểm P và Q một khoảng bằng 1.

  1. Tìm điểm cực tiểu của hàm số y = x³ – 2x |x – 2|, xác định trên đoạn [0; 3], và ý nghĩa lớn nhất của nó trong phân khúc này.

  2. Giải bất đẳng thức
    62x+1>1+log⁡2(2+x)x\frac{6}{2x+1} > \frac{1+\log_2(2+x)}{x}

  3. Đáy của tam giác ABCD là tam giác ABC, trong đó A = π/2, C = π/6, |BC| = 2√2. Độ dài các cạnh AD, BD, CD bằng nhau. Một hình cầu bán kính 1 tiếp xúc với các cạnh AD, BD, phần tiếp theo của cạnh CD nằm ngoài điểm D và mặt phẳng ABC. Tìm độ lớn của đoạn tiếp tuyến vẽ từ điểm A đến hình cầu.

Hãy xem xét tùy chọn này một cách chi tiết.

  1. Đáp số. x = π/6 + 2πk (k ∈ Z). Gợi ý và e. Phương trình này tương đương với phương trình bậc hai (đối với sin x):
    2 sin² x + 5 sin x – 3 = 0,
    có hai lời giải: sin x = –3 và sin x = 1/2. Tất nhiên, chỉ có cái thứ hai là phù hợp. Giải nó cho x, chúng tôi tìm thấy
    x = (-1)⁴ arcsin 1/2 + πm (m ∈ Z), (1)
    trong trường hợp này thuận tiện để viết dưới dạng hai chuỗi lời giải:
    x₁ = π/6 + 2πk (k ∈ Z),
    x₂ = 5π/6 + 2πl (l ∈ Z).

Chỉ có chuỗi đầu tiên thỏa mãn điều kiện cos x ≥ 0.

Nhìn chung, các ứng viên đã đối phó thành công với nhiệm vụ này. Một số phương trình lời giải vào sin x = 1/2 ở dạng (1) sau đó không xử lý được các giá trị x thỏa mãn điều kiện cos x ≥ 0.

  1. Đáp số. 1. Lời giải f. Từ điều kiện bài toán suy ra P ≠ Q, vì nếu không thì giao điểm của đường KP và Q (điểm P = Q) sẽ bị xóa khỏi điểm P và Q ở khoảng cách bằng 0. Chúng ta hãy vẽ một đường tròn, đường kính KL và, ở một góc π/3, dây cung KP (Hình 1).

Chúng ta hãy xem xét hai trường hợp vị trí của điểm Q: Q ∈ ∪ KP (Hình 2) và Q ∈ ∪ PL (Hình 3). Đặt (LQ) ∩ (KP) = A.

Trong trường hợp đầu tiên, PQL = PKL (các góc nội tiếp chắn một cung) và APQ = PQL (|AP| = |AQ|); điều này có nghĩa là QAP = π – 2 π/3 = π/3
(РКL = π/3), điều này là không thể, vì ∠QAP là góc ngoài với góc vuông

49

Hình 1.
tam giác PALPAL (KPL^=π2\widehat{KPL} = \frac{\pi}{2}). Vì vậy, trường hợp đầu tiên là không thể.

Trong trường hợp thứ hai, PQL^=π−PKL^\widehat{PQL} = \pi - \widehat{PKL} (tứ giác PQLKPQLK nội tiếp trong đường tròn), PQA^=π−PQL^=PKL^=π3\widehat{PQA} = \pi - \widehat{PQL} = \widehat{PKL} = \frac{\pi}{3}, QPA^=π3\widehat{QPA} = \frac{\pi}{3} (∣A˙P∣=∣AQ∣|\dot{A}P| = |AQ|), QAP^=π−2⋅π3=π3\widehat{QAP} = \pi - 2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3}, ALK^=π−2×π3=π3\widehat{ALK} = \pi - 2 \times \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3}. Điều này có nghĩa là ΔAKL\Delta AKL là đều (ALK=LAK^=AKL^ALK = \widehat{LAK} = \widehat{AKL}). Trong tam giác này, LPLP là chiều cao (LPK^=π2\widehat{LPK} = \frac{\pi}{2}), vì vậy LPLP là đường trung tuyến. Do đó, ∣AK∣=2|AK| = 2 (∣AP∣=2|AP| = 2), ∣KL∣=∣AK∣=2|KL| = |AK| = 2, do đó ∣OK∣=1|OK| = 1.

Nhiều người nộp đơn đã giải được bài toán này, ngay lập tức tin rằng các điểm PP và QQ nằm như trong Hình 3. Hình vẽ chỉ là minh họa của lời giải hình học bài toán. Nếu lời giải sử dụng một số thuộc tính của hình vẽ (ví dụ: đẳng thức PQL^=π−PKL^\widehat{PQL} = \pi - \widehat{PKL}, đúng trong trường hợp hiển thị trong Hình 3, nhưng không chính xác trong trường hợp hiển thị trong Hình 2), thì sự hiện diện của thuộc tính này phải được chứng minh. Nếu không thì lời giải bài toán sẽ không đầy đủ.

  1. Đáp số. Hàm f(x)=x3−2x⋅∣x∣−2f(x) = x^3 - 2x \cdot |x| - 2 (x∈[0;3]x \in [0; 3]) có một điểm tối thiểu x=23x = \frac{2}{3}, giá trị tối đa của nó là [0; 3] bằng 21 (max⁡f(x)=f(3)=21\max f(x) = f(3) = 21). Lời giải. Theo các điều kiện, miền định nghĩa của hàm ff đang nghiên cứu là đoạn [0; 3]. Theo định nghĩa của mô hình

f(x)={x3+2x2−4x, если 0≤x≤2,x3−2x2+4x, если 2<x≤3.f(x) = \begin{cases} x^3 + 2x^2 - 4x, & \text{ если } 0 \leq x \leq 2, \\ x^3 - 2x^2 + 4x, & \text{ если } 2 < x \leq 3. \end{cases}

Có nghĩa,

f′(x)={3x2+4x−4, если 0<x<2,3x2−4x+4, если 2<x<3.f'(x) = \begin{cases} 3x^2 + 4x - 4, & \text{ если } 0 < x < 2, \\ 3x^2 - 4x + 4, & \text{ если } 2 < x < 3. \end{cases}

Bật ]0; Hàm 2[ ff có một điểm tới hạn x=23x = \frac{2}{3} và f′(x)<0f'(x) < 0 trên ]0; 23\frac{2}{3} [, f′(23)=0f'(\frac{2}{3}) = 0 và f′(x)>0f'(x) > 0 trên ]2; 23\frac{2}{3}[. Điều này có nghĩa là x=23x = \frac{2}{3} là điểm tối thiểu.

Trên]2; 3[ f′(x)>0f'(x) > 0. Vì vậy, trên ]2; 3[chức năng ff không có điểm tới hạn.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét điểm x=2x = 2. Điểm này không thể là điểm tối thiểu, vì trong bất kỳ vùng lân cận nào của điểm 2, hàm ff thuộc về giá trị nhỏ hơn f(2)f(2); thật vậy, đối với 0≤x≤20 \leq x \leq 2 hàm ff trùng với đa thức f1(x)=x3+2x2−4xf_1(x) = x^3 + 2x^2 - 4x, nằm trên ]2; +∞+\infty [ trở lại.

Hình 2.
Giá trị nhỏ nhất f(x)f(x) của hàm ff trên [0; 3], rất/không, bằng số lớn nhất trong các số max⁡f1(x)\max f_1(x), max⁡f2(x)\max f_2(x), trong đó f2(x)=x3−2x2+4xf_2(x) = x^3 - 2x^2 + 4x; những con số này rất dễ tìm thấy: chúng bằng f1(0)=0f_1(0) = 0 và f2(3)=21f_2(3) = 21, vì vậy max⁡f(x)=f(3)=21\max f(x) = f(3) = 21.

Một phần đáng kể các lỗi trong lời giải này bài toán có liên quan đến các điều kiện hình thức của các phần tương ứng trong chương trình giảng dạy ở trường.

Ví dụ: một số người nộp đơn đã phân biệt hàm ff trong các vùng chứa điểm x=2x = 2, trong đó hàm này không thực sự tùy ý. Nhiều người nộp đơn không thể giải thích chính xác tại sao điểm x=2x = 2 không phải là điểm tối thiểu, vì f(2)=8>f(23)=−4027f(2) = 8 > f(\frac{2}{3}) = -\frac{40}{27}).

Tần suất của những người nộp đơn dưới điểm tối thiểu được coi là tọa độ (23;−4027\frac{2}{3}; -\frac{40}{27}) chứ không phải điểm x=23x = \frac{2}{3} từ miền định nghĩa của hàm, vì nó phải phù hợp với sách giáo khoa của trường.

  1. Đáp số. ] - 12\frac{1}{2}; 0[. Lời giải. Cả hai vế của bất đẳng thức này được xác định tại

{2x+1≠0,2x>0,x≠0,\begin{cases} 2x + 1 \neq 0, \\ 2x > 0, \\ x \neq 0, \end{cases}

50

tức là trên trường quay −2;−12∪U−12;0∪]0;+∞[-2; -\frac{1}{2} \cup U - \frac{1}{2}; 0 \cup ]0; +\infty[.

Với tập −2;−12∪U−12;0∪]0;+∞[-2; -\frac{1}{2} \cup U - \frac{1}{2}; 0 \cup ]0; +\infty[ bất đẳng thức này tương đương với bất đẳng thức
6x2x+1<1+log⁡2(2+x)\frac{6x}{2x+1} < 1 + \log_2(2+x)

hoặc
4x−12x+1<log⁡2(2+x).\frac{4x-1}{2x+1} < \log_2(2+x).
(1)

Trên tập 0;+∞0; +\infty nó tương đương với bất đẳng thức
4x−12x+1>log⁡2(2+x).\frac{4x-1}{2x+1} > \log_2(2+x).
(2)

Hãy vẽ đồ thị gần đúng của hàm số
y=4x−12x+1=2+−32x+12y = \frac{4x-1}{2x+1} = 2 + \frac{-\frac{3}{2}}{x + \frac{1}{2}} và y=log⁡2(2+x)y = \log_2(2+x) trong một ảnh (Hình 4*).

Với x<−12x < -\frac{1}{2} chúng ta có 4x−12x+1>2,\frac{4x-1}{2x+1} > 2,
log⁡2(2+x)<1\log_2(2+x) < 1. Vì vậy, tại −2;−12-2; -\frac{1}{2} [
bất đẳng thức (1) lời giải không tồn tại.
Với −12<x<0-\frac{1}{2} < x < 0 chúng ta có 4x−12x+1<0,\frac{4x-1}{2x+1} < 0,
log⁡2(2+x)>0\log_2(2+x) > 0. Điều này có nghĩa là bất đẳng thức (1) đúng với mọi x∈−12;0x \in -\frac{1}{2}; 0 [
với 0<x<10 < x < 1 chúng ta có 4x−12x+1<1,\frac{4x-1}{2x+1} < 1,
log⁡2(2+x)>1\log_2(2+x) > 1 - đến 0;10; 1 [
bất đẳng thức (2) lời giải không tồn tại.
Với 1≤x<21 \leq x < 2 chúng ta có 4x−12x+1<75,\frac{4x-1}{2x+1} < \frac{7}{5},
log⁡2(2+x)>log⁡23,\log_2(2+x) > \log_23, nhưng bất bình đẳng
75<log⁡23\frac{7}{5} < \log_23 tương đương với bất đẳng thức
27/5<3,27<35,128<243;2^{7/5} < 3, 2^7 < 3^5, 128 < 243; có nghĩa là trên [1;2[1; 2 [
bất đẳng thức (2) cũng không có lời giải.
Cuối cùng, với x≥2x \geq 2 chúng ta có 4x−12x+1<2,\frac{4x-1}{2x+1} < 2,
log⁡2(2+x)>2\log_2(2+x) > 2 - cũng không phải lời giải.

  1. Đáp số. 3−1\sqrt{3} - 1. Lời giải. Chúng ta biểu thị bằng HH đáy của chiều cao của đường thẳng vẽ từ đỉnh D,D, và bằng MM điểm tiếp tuyến với mặt phẳng ABCABC (Hình 5). Vì ∣AD∣=∣BD∣=∣CD∣|AD| = |BD| = |CD| và các đường xiên bằng nhau có hình chiếu bằng nhau, ∣AH∣=∣BH∣=∣CH∣|AH| = |BH| = |CH|. Điều này có nghĩa là điểm HH là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABCABC, tức là HH là trung điểm của cạnh huyền BCBC.
    Chúng ta hãy biểu thị bằng A1,B1,C1A_1, B_1, C_1 các điểm tiếp tuyến

*) Trong tương lai lời giải sẽ không có liên kết nào thấp hơn đến con số này - tuy nhiên, trên thực tế, chính anh ta là người thúc đẩy mọi lý luận sâu hơn.

hình cầu có đường AD,BD,CDAD, BD, CD tương ứng. Nó xuất phát từ điều kiện
{∣AA1∣=∣AD∣−∣DA1∣,∣BB1∣=∣BD∣−∣DB1∣,∣CC1∣=∣CD∣+∣DC1∣.\begin{cases} |AA_1| = |AD| - |DA_1|, \\ |BB_1| = |BD| - |DB_1|, \\ |CC_1| = |CD| + |DC_1|. \end{cases}

Vì các đoạn tiếp tuyến vẽ từ một điểm CC trên hình cầu có kích thước bằng nhau nên

52

Hình 1.

Hình 2.

Hình 3.

Hình 4.

  1. Đòn bẩy không trọng lượng có thể quay tự do trong mặt phẳng thẳng đứng quanh trục nằm ngang đi qua điểm O (Hình 2). Các khối lượng m1m_1 và m2m_2, gắn vào hai đầu của đòn bẩy, lần lượt được đặt ở khoảng cách l1l_1 và l2l_2 tính từ trục. Ở vị trí ban đầu, cần lệch một góc α\alpha so với phương thẳng đứng. Sau khi thả ra, đòn bẩy sẽ di chuyển. Xác định vận tốc tuyến tính của khối lượng m2m_2 tại thời điểm đi qua vị trí cân bằng.

  2. Hai vật gắn chặt vào nhau và có khối lượng m1m_1 và m2m_2 sẽ chuyển động dọc theo một mặt phẳng nghiêng với gia tốc bằng bao nhiêu? Hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng lần lượt là k1k_1 và k2k_2. Góc của mặt phẳng nghiêng là α\alpha.

  3. Một loại khí lý tưởng hoạt động. Trong trường hợp này, trạng thái của khí thay đổi theo một chu trình khép kín, bao gồm hai isocho và hai isobar (Hình 3). Nhiệt độ khí tại điểm 1 và 3 lần lượt bằng T1T_1 và T3T_3. Xác định công do một mol khí thực hiện nếu biết điểm 2 và điểm 4 nằm trên cùng một đường đẳng nhiệt.

  4. Chúng tôi trộn V1=1V_1=1 m³ không khí với độ ẩm α1=20%\alpha_1=20\% và V2=2V_2=2 m³ không khí với độ ẩm α2=30%\alpha_2=30\%. Cả hai phần được lấy ở cùng nhiệt độ. Xác định độ ẩm tương đối α\alpha thu được trong không khí, được coi là khí lý tưởng.

  5. Trong một hình trụ đặt dưới piston trong một không gian V1=1,5V_1=1,5 l có không khí và hơi nước bão hòa ở nhiệt độ t1=20∘Ct_1=20^\circ\text{C}. Độ ẩm tương đối của không khí trong xi lanh sẽ là bao nhiêu nếu thể tích giảm xuống V2=0,1V_2=0,1 l và nhiệt độ tăng lên t2=100∘Ct_2=100^\circ\text{C}? Áp suất của hơi nước bão hòa ở 20∘C20^\circ\text{C} là ph1=2,2⋅103p_{h1}=2,2 \cdot 10^3 Pa. (Hơi không bão hòa chứa trong không khí được coi là khí lý tưởng.)

  6. Một tụ điện bản song song được nối với nguồn điện áp không đổi U=300U=300 V. Sau đó nguồn bị ngắt. Phải thực hiện bao nhiêu công để di chuyển các bản tụ đi một khoảng cách gấp đôi khoảng cách so với bản analog thứ nhất? Điện dung ban đầu của tụ điện là C0=100C_0=100 pF =10−10=10^{-10} F.

  7. Trong mạch hiển thị ở Hình 4, các điện trở là R1=2R_1=2 ohms, R2=6R_2=6 ohms, R3=8,95R_3=8,95 ohms và R4=3R_4=3 ohms. Điện trở R3R_3 phải được nung tới nhiệt độ bao nhiêu để không có dòng điện chạy qua điện kế? Hệ số điện trở nhiệt độ là α=0,1⋅10−3\alpha=0,1 \cdot 10^{-3} K−1^{-1}. Nhiệt độ ban đầu của điện trở R3R_3 bằng t0=20∘Ct_0=20^\circ\text{C}.

  8. Hệ quang học gồm một thấu kính hội tụ mỏng có tiêu cự F1=4F_1=4 cm và một thấu kính phân kỳ mỏng có tiêu cự F2=−3F_2=-3 cm. Khoảng cách giữa các thấu kính l=2l=2 cm. Xác định tại những điểm nào (ở khoảng cách bao nhiêu so với thấu kính) các tia sáng song song rỉ ra, tới trên hệ từ phía này và phía kia?

  9. Các đầu của một đoạn ống, mặt trong của nó được làm đen, đi vào nhờ lực cản (ở một phía) và lực cản (ở phía bên kia) của thấu kính. Đường kính ống D=3D=3 cm, chiều dài đoạn ống l=12l=12 cm. Từ phía bên của thấu kính thu, một chùm tia rộng song song rơi vào ống dọc theo trục của nó. Các tia truyền qua ống phát ra từ nó dưới dạng một chùm song song có đường kính d=1d=1 cm. Tiêu cự của thấu kính là bao nhiêu?

Khoa Cơ học và Toán học

  1. Một cái nêm có góc đáy bằng α=45∘\alpha=45^\circ có thể trượt dọc theo mặt phẳng nằm ngang. Có một khối trên nêm

53

(Hình 5). Với gia tốc a⃗\vec{a}, khối nêm phải chuyển động theo hướng nằm ngang (trong mặt phẳng hình) để khối so với khối nêm đứng yên, nếu hệ số ma sát giữa các bề mặt của khối nêm và khối là μ=0,1\mu=0,1?

  1. Một đĩa mỏng có khối lượng M=500M=500 g và bán kính R=15R=15 cm nằm trên một bàn nằm ngang (Hình 6). Một thanh thẳng đứng mỏng không trọng lượng dài l=40l=40 cm được cố định ở giữa đĩa. Một quả cầu nhỏ có trọng lượng m=300m=300 g được treo ở đầu trên của thanh bằng một sợi dây không dãn, không trọng lượng. Chiều dài của sợi dây nhỏ hơn chiều dài của thanh. Quả bóng được chuyển động sao cho nó mô tả một đường tròn trong mặt phẳng nằm ngang xung quanh thanh. Góc tối đa α\alpha mà sợi chỉ có thể tạo với thanh là bao nhiêu để đĩa không rơi ra khỏi bàn? Giả sử do ma sát nên đĩa không thể trượt trên mặt bàn.

  2. Một quả bóng tennis sẽ bị một gói hàng đánh vào bề mặt Trái đất, tạo cho nó vận tốc ban đầu là v⃗\vec{v} (∣v⃗∣=20|\vec{v}|=20 m/s), hướng một góc α=45∘\alpha=45^\circ so với đường chân trời. Quả bóng bay về phía một bức tường thẳng đứng, chuyển động trong mặt phẳng vuông góc với bức tường này và chịu va chạm đàn hồi absilton với bức tường. Bậc thang nằm cách điểm va chạm l=15l=15 m. Ở khoảng cách nào xx tính từ điểm va chạm thì quả bóng sẽ rơi xuống đất? Bỏ qua sức cản của không khí.

  3. Không khí khô lấp đầy một bình kín có thể tích V=25V=25 l ở áp suất p1=105p_1=10^5 Pa và nhiệt độ t1=−23∘Ct_1=-23^\circ\text{C}. Một miếng nước đá nặng m=9m=9 g được đặt vào một chiếc bình và đun nóng bình này đến nhiệt độ t2=127∘Ct_2=127^\circ\text{C}. Xác định áp suất của không khí ẩm. Hằng số khí là R=8,3R=8,3 J/(mol·K), áp suất của hơi nước bão hòa ở nhiệt độ t2=127∘Ct_2=127^\circ\text{C} là ph=2,5⋅105p_h=2,5 \cdot 10^5 Pa.

  4. Một hình nón nhôm có góc giữa trục và ma trận bằng α=30∘\alpha=30^\circ đứng trên một bàn nằm ngang. Một vòng sắt mỏng được đặt trên hình nón, mặt phẳng của nó cách đỉnh hình nón h=5h=5 cm. Khoảng cách từ đỉnh hình nón đến mặt phẳng của vòng thay đổi một lượng bao nhiêu Δh\Delta h nếu nhiệt độ của hình nón và vòng tăng một giá trị Δt=100∘C\Delta t=100^\circ\text{C}? Hệ số giãn nở tuyến tính của nhôm a1=2,4⋅10−5a_1=2,4 \cdot 10^{-5} K−1^{-1} và sắt a2=1,2⋅10−5a_2=1,2 \cdot 10^{-5} K−1^{-1}. Không có ma sát của vòng trên bề mặt hình nón.

  5. Các bản của tụ điện phẳng có cạnh hình vuông a=20a=20 cm. Khoảng cách giữa chúng là d=6d=6 mm. Các tấm được nối với nguồn dòng điện một chiều, suất điện động của nó là ε=500\varepsilon=500 V. Một tấm thủy tinh hình vuông, có kích thước sao cho lấp đầy toàn bộ không gian bên trong tụ điện, được đẩy vào khoảng trống giữa các tấm, như trong Hình 7, với tốc độ không đổi v⃗\vec{v} (∣v⃗∣=2|\vec{v}|=2 mm/s). Tìm dòng điện II chạy qua dây dẫn từ nguồn đến tụ điện khi tấm chuyển động. Bỏ qua hiệu ứng biên. Hằng số điện môi của ngăn xếp là ε=7\varepsilon=7. Hằng số điện ε0=8,85×10−12\varepsilon_0=8,85 \times 10^{-12} Ф/m.

  6. Mạch điện bao gồm một nguồn điện áp không đổi mắc nối tiếp, điện trở R=500R=500 Ohm và một tụ điện phẳng có diện tích bản tụ là S=4S=4 cm2^2, khoảng cách giữa các bản có thể thay đổi. Nếu các tấm dịch chuyển cho đến khi chúng tiếp xúc với nhau thì dòng điện trong mạch là I=0,2I=0,2 A. Các điện tích trên các tấm sẽ có độ lớn bao nhiêu nếu các tấm đặt cách nhau một khoảng d=2d=2 mm? Bỏ qua điện trở trong của nguồn. Hằng số điện ε0=8,85⋅10−12\varepsilon_0=8,85 \cdot 10^{-12} Ф/m.

  7. Một khung dẫn cứng hình vuông nằm trên một bề mặt không dẫn điện nằm ngang và nằm trong một từ trường có đường cảm ứng song song với hai cạnh của khung. Khối lượng của khung là m=20m=20 g, chiều dài các cạnh của nó là a=4a=4 cm, giá trị tuyệt đối của cảm ứng từ là ∣B⃗∣=0,5|\vec{B}|=0,5 T. Cường độ dòng điện một chiều II phải chạy qua khung là bao nhiêu để một trong các cạnh của nó bắt đầu dâng lên?

  8. Bề mặt bên trong của hình nón được phủ một lớp phản chiếu, tạo thành hạt cuối cùng. Một sợi dây sáng mỏng được căng dọc theo trục của hình nón bên trong. Ở góc tối thiểu nào aa của hình nón thì các tia sáng chỉ của sợi dây sẽ bị phản xạ khỏi bề mặt của hình nón không quá một lần?

  9. Vật đặt cách thấu kính hội tụ một khoảng d=10d=10 cm có tiêu cự F=20F=20 cm. Hỏi độ lớn của ảnh thay đổi bao nhiêu lần nếu đặt một thấu kính phân kì có cùng tiêu cự vào vị trí của thấu kính hội tụ?

S. Krotov, L. Mikheeva