Kvant
Bài toán Kvant

Bài toán M621—M625; F633—F637

Kvant 1980, số 5tr. 36, 37, 39, 40, 41Thẻ HJNK

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

36

Bài toán

M621—M625; F633—F637

M621. Một nn-giác được bao quanh một vòng tròn. Một điểm tùy ý PP bên trong đường tròn được nối với tất cả các đỉnh và điểm tiếp tuyến của nó. Các hình tam giác 2n2n thu được có màu đỏ và xanh xen kẽ. Chứng minh rằng tích diện tích các tam giác bằng tích diện tích các tam giác màu xanh.

U. Alla

M622. Chứng minh rằng đại lượng lời giải của phương trình
x3+y2=z3+t2+1x^3 + y^2 = z^3 + t^2 + 1
bằng số tự nhiên, không quá 10610^6, nhỏ hơn số lời giải của phương trình
x3+y2=z3+t2x^3 + y^2 = z^3 + t^2
bằng số tự nhiên, không vượt quá 10610^6.

V. Vavilov

M623. a) Hình lập phương có bao nhiêu trục đối xứng? Paramid tam giác đều?
b) * Chứng minh rằng nếu một số khối đa diện có trục đối xứng kk (k≥1k \ge 1) thì kk là số lẻ.

V. Người gửi

M624. Tìm chuỗi (an)(a_n) được xác định bởi các điều kiện a1=1a_1 = 1,
1+∑d(−1)n/dad=0,1 + \sum_{d} (-1)^{n/d} a_d = 0,
trong đó tổng ∑\sum được lấy trên tất cả các ước dd của nn (bao gồm d=1d = 1 và d=nd = n).

Ví dụ: nếu n=pn = p là số nguyên tố thì (*) có dạng 1+(−1)p/1a1+(−1)p/pap=01 + (-1)^{p/1} a_1 + (-1)^{p/p} a_p = 0, do đó ap=2a_p = 2 nếu p=2p = 2 và ap=0a_p = 0 nếu p>2p > 2.

V. Abramovich

M625.* Trên mặt phẳng tọa độ, cho bốn điểm có tọa độ hữu tỉ không nằm tại các đỉnh của hình bình hành và không có ba điểm nào thuộc cùng một đường thẳng. Được phép vẽ một đường thẳng đi qua hai điểm bất kỳ đã có và đánh dấu giao điểm của hai đường thẳng đã vẽ bất kỳ. Chứng minh rằng tập hợp các điểm thu được theo cách này là tập hợp tất cả các điểm trên mặt phẳng.

37

xúc xắc có tọa độ hợp lý nếu:
a) bốn điểm này là đỉnh của hình thang; b) Bốn điểm này là các đỉnh của một tứ giác tùy ý.

Yu. Mikheev

F633. Ba điện trở giống nhau, một tụ điện có công suất CC và một cuộn cảm có công suất LL được mắc trong mạch điện như hình 1. Tần số ω\omega của dòng điện xoay chiều trong mạch sao cho ωL=1/ωC\omega L = 1/\omega C.
Tại điện trở nào RR điện trở tok ở phần không tái tạo của mạch nhỏ hơn nn lần so với dòng điện trong mỗi nhánh?

G. Savkun

F634. Thanh ABAB có chiều dài ll và khối lượng mm tựa vào tường bằng đầu dưới của nó và được giữ ở vị trí nghiêng với sự trợ giúp của một sợi chỉ (Hình 2).
Sợi chỉ được buộc vào tường tại điểm CC và vào thanh tại điểm DD sao cho ∣AD∣=1/3∣AB∣|AD| = 1/3|AB|. Góc tạo bởi sợi dây và thanh với tường lần lượt là α\alpha và β\beta. Tìm giá trị có thể có của hệ số ma sát giữa thanh và tường.

F635. Hai ô tô tự động giống hệt nhau có khối lượng m=103m = 10^3 kg đang chuyển động trên cùng một con đường núi. Sự phụ thuộc của độ cao hh của đường vào khoảng cách xx trước khi bắt đầu leo ​​dốc được thể hiện trên Hình 3. Mỗi xe số tự động phát triển công suất P=12P = 12 kW và lực cản đối với chuyển động của xe số tự động tỉ lệ với bình phương tốc độ của nó: ∣F⃗∣=α∣v⃗∣2|\vec{F}| = \alpha|\vec{v}|^2, trong đó α=1,4\alpha = 1,4 kg/m. Ở đoạn nằm ngang cuối cùng, khoảng cách giữa các máy là 100 m. Khoảng cách tối thiểu giữa các máy khi chúng di chuyển là bao nhiêu?

“Tạp chí toán học trung học cơ sở”, Budapest

F636. Một bình hình trụ, được đóng kín bằng một pít-tông không trọng lượng có diện tích mặt cắt ngang SS, chứa khí dưới áp suất khí quyển p0p_0. Thể tích của khí bằng V0V_0. Tàu được ngâm trong nước (mật độ ρ0\rho_0) như Hình 4. Tìm sự phụ thuộc của khoảng cách xx giữa piston và mặt nước trên mô hình FF của lực giữ sợi dây buộc vào piston.

“Tạp chí toán học trung học cơ sở”, Budapest

F637. Trong cuộn dây siêu dẫn có độ tự cảm L1L_1 và L2L_2, mắc song song, một dòng điện được kích thích. Độ tự cảm L1L_1 của một trong các cuộn dây giảm về 0. Cường độ dòng điện trong mạch và năng lượng của hệ thay đổi bao nhiêu lần?

P. Zubkov

39

nên tỉ số diện tích nhỏ nhất là a2xmax⁡2=15\frac{a^2}{x_{\max}^2} = \frac{1}{5}.

Đối với trường hợp 6)

xmax⁡=2a,x_{\max} = 2a,

nên tỉ số diện tích nhỏ nhất là 14\frac{1}{4}.

Như trước đây, chúng tôi kết luận rằng tỷ lệ diện tích nhỏ nhất cần thiết là 15\frac{1}{5}.

Tất nhiên, lời giải thứ hai là độ dài của cái thứ nhất; nhưng nó dựa trên một lý luận hình học đẹp đẽ có thể áp dụng cho các tình huống khác. Ví dụ, khi xem xét các hình tam giác tùy ý. Bạn có thể xác minh điều này bằng cách tự mình giải quyết bài toán này:

Cho một tam giác ABCABC, hãy mô tả một tam giác đồng dạng A1B1C1A_1B_1C_1 (A^=A^1\hat{A} = \hat{A}_1, B^=B^1\hat{B} = \hat{B}_1, C^=C^1\hat{C} = \hat{C}_1) sao cho A1∈[BC]A_1 \in [BC], B1∈[CA]B_1 \in [CA], C1∈[AB]C_1 \in [AB] và diện tích tam giác A1B1C1A_1B_1C_1 là nhỏ nhất. bài toán tổng quát hơn đã được giải quyết trong «Kvant» (M207, lời giải - «Kvant», 1974, số 2).

V. Batyrev, A. Sosinsky

M567. Các số tự nhiên pp và qq là số nguyên tố cùng nhau. Đoạn [0;1][0; 1] được chia thành p+qp+q các đoạn giống hệt nhau (Hình 1). Chứng minh rằng mỗi phân số này, ngoại trừ hai phân số cực trị, chứa đúng một trong các số p+q−2p+q-2

1p,2p,…,p−1p,\frac{1}{p}, \frac{2}{p}, \dots, \frac{p-1}{p},

1q,2q,…,q−1q.\frac{1}{q}, \frac{2}{q}, \dots, \frac{q-1}{q}.

Hãy cho hai lời giải.

Đầu tiên là lời giải. Nó tuân theo điều kiện là mỗi số pp và qq nguyên tố cùng nhau với số n=p+qn=p+q, nên không có hai điểm i/p,j/q,k/ni/p, j/q, k/n (trừ 0 và 1) trùng nhau. Vì 1/p>1/n1/p > 1/n và 1/q>1/n1/q > 1/n, hai điểm bất kỳ từ điểm i/pi/p nằm trong các phân đoạn khác nhau [kn;k+1n]\left[\frac{k}{n}; \frac{k+1}{n}\right] và hai điểm bất kỳ từ điểm j/qj/q cũng vậy. Bạn chỉ cần chứng minh hai điểm i/pi/p và j/qj/q không thể cùng thuộc một đoạn [kn;k+1n]\left[\frac{k}{n}; \frac{k+1}{n}\right] (k=1,2,…,n−2k=1, 2, \dots, n-2). Nhưng điều này ngay lập tức xuất phát từ thực tế là phân số kn=i+jp+q\frac{k}{n} = \frac{i+j}{p+q} nằm giữa ip\frac{i}{p} và jq\frac{j}{q} (xem trong Hình 1).

p=8,q=5,n=8+5=13p=8, q=5, n=8+5=13

Ví dụ: Hình 2: hệ số góc của đường chéo của hình bình hành lồng vào nhau giữa các hệ số góc của cạnh nó*).

Thứ hai lời giải. Hãy vẽ một hình chữ nhật có kích thước p×qp \times q ô trên giấy ca rô và vẽ một đường chéo OEOE trong đó (Hình 3) - nó sẽ đóng vai trò là đoạn [0;1][0; 1] của bài toán của chúng ta. Các đường của một hướng (màu xanh) chia nó thành pp phần bằng nhau, hướng còn lại (màu đỏ) - thành qq phần bằng nhau. Chúng ta hãy vẽ một chuỗi đường thẳng song song khác xuyên qua các đỉnh của ô - nghiêng một góc 45∘45^\circ với các đường lưới (trong hình đây là các đường thẳng màu đen x+y=kx+y=k, trong đó k=1,2,…,p+q−1k=1, 2, \dots, p+q-1). Họ chia OEOE thành n=p+qn=p+q các đoạn bằng nhau. Tuyên bố bài toán gần như trở nên rõ ràng. Trên thực tế, trên OEOE nhất thiết phải có một chấm đen giữa hai điểm đồng màu bất kỳ: xét cho cùng, khi đi qua một ô nào đó, OEOE cũng phải cắt đường chéo màu đen của nó. (Thay vào đó, bạn có thể nói điều này: giữa bất kỳ điểm giao nhau nào của OEOE với các đường màu đen liền kề đều có một điểm giao nhau với đường màu xanh lam hoặc đỏ.)

Trong lời giải này, tính nguyên tố lẫn nhau của các số pp và qq đảm bảo rằng OEOE không đi qua các nút lưới ngoài OO và EE (nhìn vào bức tranh nhỏ của chúng ta, người ta có thể nghi ngờ điều này).

*) Việc “trung vị” của hai phân số i/pi/p và j/qj/q nằm giữa chúng đã được sử dụng trong bài “Phân số gần” («Kvant», 1975, số 8).

40

Bài toán M567 cho phép khái quát hóa thay thế. Cho α và β là các số dương bất kỳ có quan hệ 1/α + 1/β = 1.

Hãy đánh dấu trên trục số các số tự do có dạng iα và jβ (i ∈ Z, j ∈ Z). Khi đó mỗi đoạn [k; trục k+1] (k ∈ Z), không có đầu nào chứa số bù, chứa chính xác một trong các số bù iα, jβ.

bài toán của chúng tôi tương đương với thực tế này đối với α và β hợp lý: chúng tôi cần lấy α = n/p, β = n/q (vai trò của phân đoạn [0; 1] bây giờ sẽ được thực hiện bởi phân đoạn [0; n]). Thực tế tương tự (đối với α và β vô tỷ) đã được đề cập gần đây trong lời giải bài toán M538 («Kvant», 1979, số 11), rất giống với lời giải M567 thứ hai của chúng tôi.

N. Vasiliev

M569. Một số số hiện đã được gửi đến. Được phép gán cho những số này một số bằng giá trị trung bình số học của độ dài hoặc một vài trong số chúng, nếu nó khác với tất cả các số đã được viết. Chứng minh rằng, bắt đầu từ hai số 0 và 1, sử dụng các phép tính đã mô tả, bạn có thể nhận được
a) số 1/5;
b) bất kỳ số hữu tỉ nào trong khoảng từ 0 đến 1.

Hình 4.

13=12+38+183;\frac{1}{3} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{8} + \frac{1}{8}}{3};
15=12+14+18+332+1325\frac{1}{5} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{3}{32} + \frac{1}{32}}{5}

Hình 2.

Hãy bắt đầu bằng việc biểu diễn số 1/5 và 1/q nói chung. Các số 1/2, 1/4, 3/4 rất dễ có được:

12=0+12,14=0+122,34=12+12.\frac{1}{2} = \frac{0+1}{2}, \frac{1}{4} = \frac{0+\frac{1}{2}}{2}, \frac{3}{4} = \frac{\frac{1}{2}+1}{2}.

Cũng có thể, rất ít, thu được bất kỳ phân số hữu tỷ kép nào, tức là một phân số có dạng p/2^m, p<2^m (Hình 1).

Để có được phân số 1/q, chỉ cần biểu thị 1 là tổng của q các phân số hữu tỉ kép khác nhau là đủ: trung bình số học của chúng sẽ chính xác là 1/q. Hãy chứng minh bằng quy nạp rằng điều này có thể xảy ra. 1 có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của hai phân số như vậy (ví dụ: 1=3/4+1/4).

Từ biểu diễn 1 dưới dạng tổng của n-1 phân số hữu tỷ kép khác nhau, chúng ta có thể thu được biểu diễn của nó dưới dạng tổng của n phân số như vậy:

1=a1+a2+⋯+an−1=12+a12+a22+⋯+an−12.1 = a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1} = \frac{1}{2} + \frac{a_1}{2} + \frac{a_2}{2} + \dots + \frac{a_{n-1}}{2}.

Đặc biệt, theo cách xây dựng này, chúng tôi có được

1=34+14=12+38+18=1 = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} + \frac{3}{8} + \frac{1}{8} =
=12+14+316+116=12+14+18+332+132,= \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{16} + \frac{1}{16} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{3}{32} + \frac{1}{32},

trong đó đưa ra biểu diễn của số 1/5.

Geler có thể đi theo nhiều con đường khác nhau để chứng minh khẳng định thứ hai bài toán. Hãy cho hai trong số họ.

  1. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng nếu một số tự nhiên p có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của n-1 phân số hữu tỉ kép khác nhau:

p=a1+a2+⋯+an−1(0<an−1<⋯<a2<a1<1),p = a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1} \quad (0 < a_{n-1} < \dots < a_2 < a_1 < 1),

thì nó có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của n phân số như vậy. Đặt 2^m là giá trị thấp nhất trong các giá trị của số hạng a_i. Thay thế a_n-1 bằng tổng (an−1−12m+2)+12m+2\left(a_{n-1} - \frac{1}{2^m+2}\right) + \frac{1}{2^m+2}, chúng ta có được biểu diễn mong muốn. Vì vậy, mỗi phân số 1q,2q,…,q−1q\frac{1}{q}, \frac{2}{q}, \dots, \frac{q-1}{q} có thể được biểu diễn dưới dạng trung bình số học của các phân số hữu tỉ kép thích hợp khác nhau, sau đó các phân số 1q+1,2q+1,…,q−1q+1\frac{1}{q+1}, \frac{2}{q+1}, \dots, \frac{q-1}{q+1} có ​​thể được biểu diễn dưới dạng tương tự. Để chứng minh phép chứng bằng quy nạp (cơ số quy nạp là cách biểu diễn số 1/2), ta vẫn phải biểu diễn phân số qq+1\frac{q}{q+1} ở dạng yêu cầu. Nó có thể thu được từ cách biểu diễn số 1q+1\frac{1}{q+1} bằng cách thay thế tất cả các phân số a_i bằng 1—a_i.

  1. Hãy xem xét ba số đã thu được: 0, 1/q, 1. Tuy nhiên, trong hai số ở giữa, 0+12,1/q+12\frac{0+1}{2}, \frac{1/q+1}{2} là phân số có dạng p_0/q, 1<p_0<q (если q>2). Tuy nhiên, trong số hai cái ở giữa 0+p0/q2,1/q+p0/q2\frac{0+p_0/q}{2}, \frac{1/q+p_0/q}{2} -

41

Phân số p1/qp_1/q, trong đó 1<p1<p01<p_1<p_0 (nếu q>3q>3). Rõ ràng là bằng cách tiếp tục quá trình này, chúng ta sẽ thu được phân số 2/q2/q. Sau đó, sau khi tách bộ ba số 1/q,2/q,p0/q1/q, 2/q, p_0/q, chúng ta thu được phân số 3/q3/q bằng cách sử dụng cùng một gốc, sau đó (nếu q>4q>4) 4/q4/q, …, (q−1)/q(q-1)/q, v.v. (Hình 2).

Lưu ý rằng chúng ta chỉ cần tìm trung bình số học của nhiều hơn hai số một lần.

M. Serov

F578. Đầu A và B của thanh AB trượt dọc theo các cạnh của góc vuông (Hình 1). Gia tốc ở giữa thanh (điểm C) phụ thuộc như thế nào vào góc α tạo bởi thanh ở một phía của góc này, nếu đầu B của thanh chuyển động với tốc độ không đổi vv?

Hình 1.

Hình 2.

F580. Trong mạch điện như hình vẽ, suất điện động của pin là E, điện trở trong là r, điện trở của điện trở là R. Khi khóa K1 đóng, kim điện kế lệch một góc α. Kim điện kế lệch đi một góc bao nhiêu nếu phím K1 đóng và phím K2 đóng? Độ lệch của kim tỷ lệ thuận với điện tích truyền qua điện kế.

Hình 3.

Hình 4

◆

Điểm C, đối với bất kỳ vị trí nào của thanh, đều cách đỉnh O của góc vuông một khoảng l/2l/2 (đường trung tuyến vẽ từ đỉnh của góc vuông bằng một nửa cạnh huyền). Do đó, điểm C di chuyển dọc theo đường tròn bán kính l/2l/2 có tâm tại điểm O. Tốc độ vcv_c của điểm C có hướng tiếp tuyến với quỹ đạo và vuông góc với OC tại bất kỳ thời điểm nào.

Vì thanh không dãn nên hình chiếu vận tốc của các điểm C và B lên phương của thanh là bằng nhau (Hình 2).

vcos⁡α=vccos⁡β=vccos⁡(2α−π2)=vcsin⁡2α.v \cos \alpha = v_c \cos \beta = v_c \cos \left( 2\alpha - \frac{\pi}{2} \right) = v_c \sin 2\alpha.

Bởi vì

vc=vcos⁡αsin⁡2α=v2sin⁡α.v_c = \frac{v \cos \alpha}{\sin 2\alpha} = \frac{v}{2 \sin \alpha}.

Hình chiếu của gia tốc a⃗c\vec{a}_c của điểm C lên bán kính OC = l/2l/2 phải bằng vc2l/2=v22lsin⁡2α\frac{v_c^2}{l/2} = \frac{v^2}{2l \sin^2 \alpha}. Hướng của vectơ a⃗c\vec{a}_c là gì? Lưu ý rằng hình chiếu vận tốc v⃗c\vec{v}_c của điểm C lên trục hoành bằng vccos⁡(α−β)=vccos⁡(π2−α)=v2v_c \cos (\alpha - \beta) = v_c \cos \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) = \frac{v}{2}. Đại lượng này không phụ thuộc vào α và do đó không đổi. Điều này có nghĩa là vectơ a⃗c\vec{a}_c được định hướng theo chiều dọc.

Như vậy,

accos⁡(π2−a)=v22lsin⁡2α,a_c \cos \left( \frac{\pi}{2} - a \right) = \frac{v^2}{2l \sin^2 \alpha},

Ở đâu

ac=v22lsin⁡3α.a_c = \frac{v^2}{2l \sin^3 \alpha}.

◆

Sau khi đóng phím K1, chiều của tụ bằng E. Trong trường hợp này, điện tích của tụ bằng

q1=Cε.q_1 = C \varepsilon.

Điện tích này đi qua điện kế khi công tắc K1 đóng. Kể từ đây,

α=kq1=kCε,\alpha = kq_1 = kC \varepsilon,

trong đó k=constk = \text{const} là hệ số tỷ lệ.

Sau khi đóng công tắc K2, chiều đi qua tụ điện bằng điện trở chạy qua điện trở, tức là U=IRU = IR, trong đó I là dòng điện chạy qua điện trở. Vì điện trở được nối sau áp suất với nguồn, I=ε/(R+r)I = \varepsilon / (R + r). Vì vậy, U=εR/(R+r)U = \varepsilon R / (R + r). Điện tích của tụ điện sau khi đóng phím K2 trở nên bằng nhau

q2=CU=CεRR+r.q_2 = CU = C \varepsilon \frac{R}{R + r}.

Do đó, một điện tích đi qua điện kế sau khi đóng phím K2

q=q1−q2=CεrR+rq = q_1 - q_2 = C \varepsilon \frac{r}{R + r}