Bài toán M631—M635; F643—F647

22

Bài toán

M631 — M635; F643 — F647

M631. Các số có hai chữ số từ 19 đến 80 được viết thành một hàng. Kết quả là số 192021… …7980 có chia hết cho 1980 không? (8)

V. Fedotov

M632. Hàng hóa được đóng gói trong container phải được chuyển đến trạm vũ trụ quỹ đạo Salyut. Số lượng container tối thiểu là 35 container, tổng trọng lượng hàng hóa là 18 tấn. Có bảy tàu vận tải Progress, mỗi tàu có thể chở 3 tấn hàng hóa lên quỹ đạo. Được biết, các tàu này có thể đồng thời vận chuyển 35 container bất kỳ trong số 35 container hiện có. Chứng minh rằng họ có thể đưa tất cả hàng hóa có sẵn lên quỹ đạo cùng một lúc. (8-9)

A. Kolotov

M633. Cho điểm E trên đường kính AC của một đường tròn. Vẽ dây BD đi qua nó sao cho diện tích của tứ giác ABCD là rộng nhất. (9)

I. Sharytsin

M634. Hãy ký hiệu S(n) tổng của tất cả các chữ số của số tự nhiên n.
a) Có số tự nhiên n sao cho n + S(n) = 1980 không?
b) Chứng minh rằng ít nhất một trong hai số tự nhiên liên tiếp bất kỳ có thể biểu diễn dưới dạng n + S(n) với số tự nhiên thứ ba n nào đó. (8)

S. Konyatsin

M635. Những người lùn sống ở Thành phố hoa bỗng trở nên giống bệnh cúm hơn. Một ngày nọ, một số chú lùn bị cảm lạnh và bị ốm, và mặc dù sau đó chúng không bao giờ bị cảm lạnh nữa nhưng những chú lùn khỏe mạnh lại bị ốm, mãi mãi là những người bạn ốm yếu của chúng. Được biết, mỗi người lùn đều bị cúm hơn một ngày, và sau đó người đó có khả năng miễn dịch ít nhất một ngày nữa - tức là người đó khỏe mạnh và không thể bị bệnh trở lại vào ngày hôm đó. Bất chấp dịch bệnh, mỗi chàng trai khỏe mạnh đều đến thăm tất cả những người bạn ốm yếu của mình mỗi ngày. Khi dịch bệnh bắt đầu, những người lùn bị bệnh tiêm chủng và không tiêm chủng. Chứng minh rằng:
a) nếu trước ngày đầu tiên xảy ra dịch, một số người lùn đã được tiêm phòng và có miễn dịch vào ngày đầu tiên thì dịch bệnh có thể tiếp tục lâu nhất có thể:

23

6. nếu ngày đầu tiên không ai có miễn dịch thì dịch bệnh sớm muộn gì cũng sẽ kết thúc. (8)

A. Kolotov

F643. Hai gói hàng có vận tốc ban đầu giống hệt nhau, hướng theo phương ngang, đồng thời phóng từ cực nam và cực bắc của Trái đất. Sau thời gian τ = 3 giờ 20 phút, các gói tin ở khoảng cách tối đa với nhau. Xác định khoảng cách tối đa giữa các gói hàng. Gia tốc rơi tự do trên Trái đất được coi là đã biết. Bán kính Trái đất là $R_3 = 6400$ km. (10)

S. Kozel

F644. Một mạch điện gồm hai tụ điện có điện dung $C_1$ và $C_2$ ($C_2 > C_1$) và hai điốt lý tưởng $\varDelta_1$ và $\varDelta_2$ (Hình 1) được nối với nguồn điện áp xoay chiều $u = U_0$ cos $\omega t$. Xác định sự phụ thuộc của điện áp vào tụ điện theo thời gian ở chế độ cài đặt. Vẽ các phụ thuộc kết quả trên biểu đồ. Điện trở của một diode lý tưởng ở chiều thuận bằng 0, ở chiều ngược lại là vô cùng. (10)

V. Skorovarov

F645. Loa có bộ khuếch tán với mặt phẳng cắt ngang $S = 300$ cm$^2$ và khối lượng $m = 5$ g. Phần cộng hưởng của bộ khuếch tán là $v_0 = 50$ Hz. Phần cộng hưởng của nó là gì nếu bạn đặt loa lên tường của một hộp kín có âm lượng $V = 40$ l (Hình 2). Việc tính toán được thực hiện với giả định rằng nhiệt độ không khí bên trong hộp không thay đổi khi bộ khuếch tán dao động. (10)

A. Zilberman

F646. Một dòng điện có hướng phát ra từ một khe rộng mỏng với tốc độ $v = 10^5$ m/s (Hình 3). Nồng độ electron trong dòng là $n = 10^{10}$ hạt/m$^3$. Ở khoảng cách bao nhiêu từ khe thì độ dày của chùm tia sẽ tăng gấp đôi? Khối lượng electron $m = 9 \cdot 10^{-31}$ kg, điện tích electron $e = 1,6 \cdot 10^{-19}$ C, hằng số điện môi $\varepsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12}$ F/m. (9)

A. Zilberman

F647. Một giọt dzhedeva lớn để lại những đám mây trong thời tiết yên tĩnh ở độ cao lớn. Tại thời điểm gia tốc rơi bằng 7,5 m/s$^2$ thì tốc độ của nó là 20 m/s. Ở gần Trái đất, giọt nước rơi với tốc độ không đổi và tự động chạm vào kính bên, để lại dấu vết trên đó một góc 30° so với phương thẳng đứng. Thanh tra cảnh sát giao thông có phạt người lái xe chạy quá tốc độ nếu tốc độ cho phép là 60 km/h không? Coi lực cản của không khí tỉ lệ với bình phương vận tốc rơi. (9)

V. Belonukkin