Bài toán độc giả của chúng tôi

9

Hình 8.

nhưng, khi biết các giá trị của góc duhran (bài toán 19), bạn có thể thử dán khối đa diện đều cần thiết: dán một $n$-gon đều ở góc cần thiết với một góc khác, dán cái thứ ba vào chúng, v.v. Nhưng đâu là niềm tin rằng khối đa diện được dán sẽ “đóng lại” và không kết thúc bằng thứ gì đó giống như hình trong Hình 8?

Sự tồn tại có thể được chứng minh bằng cách xây dựng một khối đa diện đều trong tọa độ. Chúng ta hãy đặt gốc tọa độ ở tâm của hình cầu được mô tả xung quanh khối đa diện tương lai. Để đơn giản, chúng ta hãy giả sử rằng đỉnh $A$ nằm trên bán trục dương của abscissa, nghĩa là có tọa độ $(R; 0; 0)$ và các đỉnh lân cận $B_1, \dots, B_k$ có ​​hoành độ $x = R \cos \alpha$, trong đó $\alpha$ là góc mà cạnh được nhìn thấy từ tâm của hình cầu ngoại tiếp. Vì đa giác $B_1 \dots B_k$ là đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với $(OA)$, nên chúng ta có thể giả sử rằng điểm $B_l$ có tọa độ $(R \cos \alpha; r \cos \frac{2\pi l}{k}; r \sin \frac{2\pi l}{k})$; $l = 1, \dots, k$, trong đó $r$ là bán kính của hình tròn ngoại tiếp đa giác $B_1 \dots B_k$. Ví dụ: trong trường hợp tìm kiếm, điều này mang lại các đỉnh $A, B_1, \dots, B_5$. Các đỉnh còn lại đối xứng với điểm này so với gốc tọa độ (Hình 9). Các biểu thức đơn giản nhất cho tọa độ thu được tại $R = \sqrt{5}$ (sau đó $R \cos \alpha = 1, r = 2$): $A = (\sqrt{5}; 0; 0)$; $B_5 = (1; 2; 0)$; $B_1 = \left(1; \frac{\sqrt{5} - 1}{2}; \sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}}\right)$; $B_2 = \left(1; -\frac{1 + \sqrt{5}}{2}; \sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}}\right)$.

tọa độ của các điểm còn lại có được bằng cách thay đổi dấu hiệu. Để kiểm tra xem cái thật có phải là icoastra chính xác hay không, việc đảm bảo rằng tất cả các cạnh đều mang tính xây dựng là đủ; điều này rất dễ thực hiện bằng cách sử dụng công thức tính khoảng cách giữa các điểm trong tọa độ.

Bài toán độc giả của chúng tôi

1. Tìm tất cả các tứ giác lồi thỏa mãn điều kiện: bốn đường thẳng đi qua các đỉnh của tứ giác đó và chia tứ giác đó a) diện tích

6. chu vi làm đôi, cắt nhau tại một điểm.
   V. Dubrovsky, N. Zhuk

2. a) Viết hình vuông thành một hình ngũ giác đều.
   • b) Chứng minh rằng quyền

Một hình ngũ giác đều không thể chuyển thành hình lục giác đều.
c) Chứng minh rằng với $n > 5$ một $n$-giác đều không thể chuyển thành $(n + 1)$-giác đều.

3. Hãy đặt
   $\sin_1(x) = \sin x,$
   $\sin_2(x) = \sin(\sin_1(x)),$
   $\sin_3(x) = \sin(\sin_2(x)),$
   $\cos_1(x) = \cos x,$
   $\cos_2(x) = \cos(\cos_1(x)),$
   $\cos_3(x) = \cos(\cos_2(x)),$
   a) Vẽ đồ thị hàm số
   $y = \sin_2(x), y = \sin_3(x),$

$y = \cos_2(x), y = \cos_3(x).$
6) Đối với $n$ thì phương trình $\sin_n(x) = \cos_n(x)$ có lời giải trên $[0; \pi/2]$?

I. Chúc

4. Chứng minh bất đẳng thức $9r \leq h_a + h_b + h_c \leq \frac{2}{3} \frac{m_a^2 + m_b^2 + m_c^2}{R}$,
   trong đó $h_a, h_b, h_c$ là độ dài chiều cao của hình tam giác, $m_a, m_b, m_c$ là độ dài các đường trung tuyến của nó, $r$ là bán kính của hình tròn chèn vào tam giác, $R$ là bán kính của hình tròn ngoại tiếp xung quanh nó.

M. Ibratsimov