Thực hành và kiểm tra bản thân

41

Hãy thử giải bài toán, được giới thiệu vào năm 1978–1979. trong kỳ thi viết đầu vào tại các khoa vật lý, vật lý kỹ thuật và vật lý phóng xạ của Đại học bang Kharkov. A. M. Gorky là một trong những trường đại học lâu đời nhất ở nước ta, năm nay kỷ niệm 175 năm thành lập.

1. Tìm giá trị lớn nhất trong ví dụ a) và nhiều nhất trong ví dụ b) ​​của các hàm $\varphi_q(x)$ tùy thuộc vào tham số $q$:

a) $\varphi_q(x) = \frac{q^2}{x} - \frac{1}{x-2}$, $x \in [3; 4]$, $q \in ]1; +\infty[$;

b) $\varphi_q(x) = \frac{1}{x^4-4qx^2+5q^2}$, $x \in [-1; 2]$, $q \in \mathbb{R}$.

2. Tại giá trị nào của tham số $a$ các tiếp tuyến của parabol $y_1(x)$ và $y_2(x)$ tại điểm giao nhau của chúng tạo thành một góc $\varphi$:

a) $y_1(x) = x^2 + 3x$, $y_2(x) = x^2 + x + a$, $\varphi = \pi/3$, $a > -1$;

b) $y_1(x) = x^2 + 3x - 4$, $y_2(x) = x^2 - x + a$, $\varphi = \pi/4$, $a > -2$.

3. Với tất cả các giá trị hợp lệ của tham số $a$, hãy tìm các giá trị $x$ thỏa mãn phương trình:

a) $\int_0^{2x} (t - \log_2 a) dt = 2 \log_2 \frac{2}{a}$;

b) $\int_0^{4 \cdot \log_2 a} (t^3 - 2at) dt = 5a^2$.

4. Tìm $L(a)$ bằng cách chuyển đến giới hạn cho tất cả các giá trị cho phép của tham số $a$:

a) $L(a) = \sqrt{\lim_{x \to a} \frac{3(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}) (x^2-4ax+3a^2)}{2x(x^3-a^3)}}$;

b) $L(a) = \log_{2a} \left[ \lim_{x \to 0} \frac{ax(a^2-a+x)}{\sqrt{1-ax}-\sqrt{1+ax}} \right]$.

5. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm $f(x)$:

a) $f(x) = a^{2x} - 2 \cdot a^{x+2} + 4 \cdot a^2 + 7$;

b) $f(x) = \log_2^2 x + \log_2 x^{4a} - 6a + 2$.

6. a) Tìm tổng $S$ của tất cả các tích vô hướng theo cặp của các vectơ khác nhau, phần đầu của vectơ nằm ở một trong các đỉnh của hình bát diện và phần cuối nằm ở các đỉnh còn lại của nó, nếu chiều dài cạnh của hình bát diện là $l$.

6. Tìm tổng $S$ của tất cả các tích vô hướng theo cặp của các vectơ khác nhau, phần đầu của vectơ này nằm ở một trong các đỉnh của hình lập phương và các phần cuối nằm ở các đỉnh còn lại của nó, nếu chiều dài cạnh của hình lập phương là $l$.

7. a) Cho hình lập phương $ABCDA_1B_1C_1D_1$ có cạnh $a$. $P \in [C_1D_1]$, $|C_1P| = |PD_1|$, $Q$ — tâm của khuôn mặt $AA_1B_1B$. Tìm thấy:

$1^\circ$ khoảng cách giữa các đường giao nhau ($PQ$) và ($AC$);

$2^\circ$ là khoảng cách giữa các đường giao nhau ($PQ$) và ($AC$).

6. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $i_1$ và $i_2$ cắt nhau một góc $a$ là $h$. Tìm khoảng cách của các điểm $A \in i_1$ và $B \in i_2$, xích đạo từ các điểm $C \in i_1$ và $D \in i_2$ đã hứa sẽ phân phối lại ($CD$) cho các đường này, nếu $|AC| = |BD| = a$.

8. Tìm $p$ và $q$ từ điều kiện:

a) $\lim_{x \to \infty} \left( \frac{px^2+1}{qx+2} + x-2 \right) = -1$;

b) $\lim_{x \to \infty} \left( \frac{2x^2-1}{x+1} + px+q \right) = 1$.

9. Khám phá hàm $y(x)$ và vẽ đồ thị của nó:

a) $y = \cos (3\arcsin x)$;

b) $y = \sin (2\arctg x)$.

10. Giải bất đẳng thức cho tất cả các giá trị hợp lệ của tham số $a$: