Задачи наших читателей

9

Рис. 8.

но, зная величины дугранного угла (задача 19), можно попытаться склить требуемый правильный многогранник: один правильный $n$-угольник приклеиваем под нужным углом к другому, к ним приклеиваем третий и т. д. Но где уверенность, что скленваемый многогранник «замкнется», а не получится что-то вроде изображенного на рисунке 8?

Существование можно доказать фактическим построением правильного многогранника в координатах. Поместим начало координат в центр описанной около будущего многогранника сферы. Будем считать, для простоты, что вершина $A$ лежит на положительной полуоси абсцисс, то есть имеет координаты $(R; 0; 0)$, а соседние с ней вершины $B_1, \dots, B_k$ имеют абсциссу $x = R \cos \alpha$, где $\alpha$ — угол, под которым ребро видно из центра описанной сферы. Так как многоугольник $B_1 \dots B_k$ — правильный и находится в плоскости, перпендикулярной $(OA)$, можно считать, что точка $B_l$ имеет координаты $(R \cos \alpha; r \cos \frac{2\pi l}{k}; r \sin \frac{2\pi l}{k})$; $l = 1, \dots, k$, где $r$ — радиус описанной около многоугольника $B_1 \dots B_k$ окружности. В случае, например, искается это дает вершины $A, B_1, \dots, B_5$. Остальные вершины симметрины этим относительно начала координат (рис. 9). Наиболее простые выражения для координат получаются при $R = \sqrt{5}$ (тогда $R \cos \alpha = 1, r = 2$): $A = (\sqrt{5}; 0; 0)$; $B_5 = (1; 2; 0)$; $B_1 = \left(1; \frac{\sqrt{5} - 1}{2}; \sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}}\right)$; $B_2 = \left(1; -\frac{1 + \sqrt{5}}{2}; \sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}}\right)$.

координаты остальных точек получаются изменением знаков. Чтобы проверить, что действительное получился правильной икоаздр, достаточно убедиться в конструктивности всех ребер; это нетрудно сделать с помощью формулы расстояния между точками в координатах.

Задачи наших читателей

1. Найдите все выпukлы четырехугольники, удовлетворяющие следующему условию: четыре прямые, проходящие через вершины четырехугольника и делящие его a) площадь

6. перimetр пополам, пересекаются в одной точке.
   В. Дубровский, Н. Жук

2. a) Впише квадрат в правильный пятугольник.
   • b) Докажите, что пра-

вильный пятугольник нельзя в правильный шестиугольник.
в) Докажите, что при $n > 5$ правильный $n$-угольник нельзя в правильный $(n + 1)$-угольник.

3. Положим
   $\sin_1(x) = \sin x,$
   $\sin_2(x) = \sin(\sin_1(x)),$
   $\sin_3(x) = \sin(\sin_2(x)),$
   $\cos_1(x) = \cos x,$
   $\cos_2(x) = \cos(\cos_1(x)),$
   $\cos_3(x) = \cos(\cos_2(x)),$
   a) Постройте графики функций
   $y = \sin_2(x), y = \sin_3(x),$

$y = \cos_2(x), y = \cos_3(x).$
6) При каких $n$ уравнение $\sin_n(x) = \cos_n(x)$ имеет решение на $[0; \pi/2]$?

И. Жук

4. Докажите неравенства $9r \leq h_a + h_b + h_c \leq \frac{2}{3} \frac{m_a^2 + m_b^2 + m_c^2}{R}$,
   где $h_a, h_b, h_c$ — длины высотданного треугольника, $m_a, m_b, m_c$ — длины его медиан, $r$ — радиус высанной в треугольник окружности, $R$ — радиус окружности, описанной около него.

М. Ибрацимов