Bi-a

34

G. Galperin

Bi-a

Trong khi chơi bida, tôi đồng thời học vật lý và hình học.

S. M. Budyonny

Bạn đã bao giờ chơi bida chưa?
Nếu chưa, có lẽ bạn đã phải xem người khác chơi.

Hãy theo dõi quả bóng đang chuyển động. Cho đến khi va chạm với một bức tường hoặc một quả bóng khác, nó sẽ chuyển động theo một đường thẳng. Khi va vào tường, quả bóng bị phản xạ từ nó gần giống như cách một tia sáng bị phản xạ từ gương phẳng: góc phản xạ bằng góc phản xạ (Hình 1).

Trong bida thật có ma sát; Khi một quả bóng chạm vào, nó sẽ mất một phần năng lượng cơ học và có thể bắt đầu quay do tác động lệch tâm của cái cơ hoặc va chạm với các quả bóng khác. Lý thuyết chuyển động của quả bóng trong trò chơi bi-a được nhà vật lý người Pháp Corilis mô tả trong cuốn sách “Lý thuyết toán học của trò chơi bi-a”.

Ở đây chúng ta sẽ xem xét môn bida lý tưởng, nghĩa là chúng ta sẽ cho rằng các quả bóng là điểm, chuyển động không ma sát và khi va chạm (với một bức tường hoặc với các quả bóng khác) không bị mất cơ năng.

Hình 2 cho thấy đường đi khái niệm mà một quả bóng sẽ di chuyển sau khi bị đánh vào một cái cơ. Quỹ đạo có thể kết thúc nếu quả bóng rơi vào túi, nó có thể

Hình 1.

35

đóng lại, hoặc có thể peter vô thời hạn, lấp đầy ngày càng nhiều bàn.

Hãy xem xét điều này bài toán: đường đi trên bàn bi-a là một quả bóng; Nó phải được hướng theo một góc nào từ điểm $A$ để sau một số lần phản xạ nhất định, nó sẽ đến điểm $B$ (một phần, tại Louise)?

Đối với lời giải môn này và nhiều môn bi-a tương tự khác bài toán, vai trò chính được thực hiện bởi quá trình “phản chiếu gương” hoặc “làm thẳng quỹ đạo của bàn bi-a”: chúng ta hãy phản chiếu đối xứng hình chữ nhật (bàn bida ban đầu) so với tất cả các cạnh của nó, v.v. (Hình 3 cũng hiển thị hình ảnh của điểm $B$ đối với các đối xứng này); do những phản xạ này, bất kỳ quỹ đạo nào cũng “làm thẳng” (ví dụ: trong Hình 3, quỹ đạo $AC_1C_2C_3B$ lần lượt biến thành $AC_1D_1D_2B'$, $AC_1D_1E_1B''$, $AC_1D_1E_1B'''$). Nếu “quỹ đạo thẳng” thu được đi qua ảnh của điểm $B$ trong một trong các hình chữ nhật, thì rõ ràng quỹ đạo của quả bóng trong hình chữ nhật ban đầu đi qua $B$. Do đó, để giật bóng từ điểm $A$ sao cho sau một số phản xạ nhất định trên tường bida, nó sẽ kết thúc tại điểm $B$, bạn cần vẽ một đoạn như vậy với điểm bắt đầu là điểm $A$ và điểm kết thúc là một trong các ảnh của điểm $B$ sao cho nó cắt đường lưới của “mặt phẳng ca-rô” với số lần bằng nhau. Sau khi thực hiện quy trình ngược lại là “thu gọn” đoạn đã vẽ, chúng ta biến nó thành quỹ đạo ban đầu trong trò bida ban đầu (Hình 3).

Ngoài bida thông thường – hình chữ nhật – bida, bạn có thể xem xét bida trong tam giác đều. Vì toàn bộ mặt phẳng có thể được lát bằng các hình tam giác đều giống hệt nhau, không có khoảng trống và được che phủ nên quy trình “làm thẳng quỹ đạo bi-a” cũng được áp dụng ở đây (Hình 4).

Hóa ra quỹ đạo của một quả bóng bi-a giải quyết được câu hỏi nổi tiếng bài toán sau: con đường ngắn nhất mà một con ong phải bò từ điểm $A$ đến điểm $B$ bên trong một tam giác đều để trước tiên thưởng thức mật ong ở một cạnh của tam giác, sau đó là đường ở phía bên kia, và cuối cùng là mứt ở phía thứ ba? (Giả định rằng mặt bên đã bị cuốn trôi hoàn toàn

36

Hình 5.

chứa đầy chất ngọt tương ứng.) Đáp số được hiển thị trong Hình 5. Trong hình này, một đường chuyển động khác (tùy ý “không phải bi-a”) của con ong cũng được hiển thị bằng màu tương tự; sau khi phản xạ, nó biến thành một đường đứt nét màu xanh $AXYZB'''$ có chiều dài lớn hơn độ dài đoạn $AB'''$ - “quỹ đạo thẳng” của quả bi-a.

Những quỹ đạo kỳ lạ trên một bàn bida tròn (Hình 6,a). Thứ nhất, quỹ đạo (sau lần phản xạ đầu tiên) bao gồm các liên kết có cùng độ dài, dễ dàng đi theo sự đồng dạng của các hình tam giác $OAB$ và $OCB$ (Hình 6, b). Các điểm giữa của tất cả các mắt xích của quỹ đạo nằm ở cùng một khoảng cách tính từ tâm của bàn bi-a và do đó, nằm trên một vòng tròn có cùng tâm. Do đó, toàn bộ quỹ đạo bi-a nằm trong một vòng tròn (Hình 6,c).

Quỹ đạo này có thể đóng và sau đó nó tạo thành một đa giác đều nội tiếp trong một vòng tròn hoặc một ngôi sao tự giao nhau (Hình 7). Những quỹ đạo như vậy được gọi là nepodical.

Rõ ràng là câu hỏi “Làm thế nào để đưa một quả bóng từ điểm $A$ đi trên một vòng tròn sao cho sau $n$ phản xạ nó sẽ quay về điểm ban đầu?” tương đương với câu hỏi “Làm thế nào để dựng một $(n+1)$-giác đều có đỉnh tại $A$?” Việc tìm kiếm đáp số cho câu hỏi cuối cùng lẽ ra phải mất thời gian của hai nhà toán học người Peregreek, nhưng đáp số không bao giờ được tìm thấy. Chỉ vào đầu thế kỷ 19. nhà toán học vĩ đại người Đức Carl Friedrich Gauss đã chỉ ra trong những trường hợp nào việc xây dựng mong muốn có thể thực hiện được với sự trợ giúp của la bàn và thước kẻ, còn trường hợp nào là không thể («Kvant», 1977, số 8, trang 5).

Nếu quỹ đạo không đóng, thì nó sẽ lấp đầy gần như toàn bộ vòng, cụ thể là chuyển vòng được phóng to đến bất kỳ điểm nào của vòng.

Hãy chứng minh nhận định này. Chúng tôi sửa một trong các điểm phản chiếu trên vòng tròn và biểu thị nó bằng $A$. Di chuyển từ điểm $A$, chúng ta sẽ lần lượt thu được các điểm phản chiếu mới trên đường tròn ở cùng khoảng cách (cung) $a$ với nhau cho đến khi chúng ta giao nhau với điểm $A$. Điểm gần nhất trong hai điểm $A$ - trước khi nhảy và sau khi nhảy qua nó - sẽ được ký hiệu là $B$. Độ dài $B$ của cung $AB$ không lớn hơn $\frac{\alpha}{2}$:

$$\beta \leq \frac{\alpha}{2}.$$

Bắt đầu di chuyển từ một điểm $B$, sau một số lượng bóng nhất định chúng ta sẽ đến được một điểm trên đường tròn cách xa điểm đó $B$ ở một khoảng cách $\beta$; sau đó chúng ta đến một điểm cách xa $B$ TRÊN $2\beta$, v.v. (Hình 8). Chúng ta có thể giả sử rằng hiện tại chúng ta đang di chuyển quanh vòng tròn theo các bước có độ lớn $\beta$, ít nhất bằng một nửa kích thước bước trong quá trình di chuyển ban đầu từ điểm $A$. Sau khi xác định được số bóng chúng ta sẽ vượt qua điểm lần đầu tiên $B$ và sau đó chọn điểm gần nó nhất (từ hai điểm - trước và sau khi nhảy) $C$. Cho độ dài cung $BC$ bằng $\gamma$, Sau đó $\gamma \leq \frac{\beta}{2} \leq \frac{\alpha}{4}$. Như trên, chúng ta hiểu rằng chúng ta có thể

37

Hình 7.

bây giờ giả sử rằng độ lớn bước nhảy bằng γ. Bằng cách lặp lại quy trình được mô tả $k$ lần, chúng ta thu được giá trị bước nhảy không quá $\frac{\alpha}{2^k}$. Nhưng đối với $k$ lớn, giá trị $\frac{\alpha}{2^k}$ trở nên rất nhỏ, do đó chúng ta chắc chắn sẽ có bất kỳ giá trị nhỏ tùy ý nào được chọn trên vòng tròn.

Vì vậy, người ta đã chứng minh rằng các điểm phản xạ lấp đầy đường tròn một cách dày đặc. Bằng cách vẽ các tiếp tuyến với đường tròn bên trong của vòng từ tất cả các điểm phản xạ trên đường tròn, chúng ta thấy rằng quỹ đạo mạnh lấp đầy toàn bộ vòng, đó là điều cần thiết.

Silliard có hình dạng khác cũng có thể được xem xét; đặc tính chung của chúng là sự thoả mãn định luật Silliard: góc tới bằng góc phản xạ.

Trò chơi silliard Eden thường được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học hiện đại, đôi khi không mong đợi (ví dụ, trong lý thuyết số) và bản thân trò chơi silliard đóng vai trò là một mô hình tốt để thực hiện các quá trình vật lý, vì, chẳng hạn, các phân tử khí, khi tương tác với ranh giới của một bình và với nhau, hành xử giống như những quả bóng trên một nhánh silliard xanh.

Bạn có thể đọc về mối liên hệ sâu sắc hơn giữa silliard và toán học trong hai bài viết của A. Zemlykov - «Kvant», 1976, số 5 và 1979, số 9.

Bài tập

1. Tần số xuất hiện ở chính xác đáp số của silliard nguyên thủy và bắt đầu phản xạ từ các phía của nó theo định luật silliard. Liệu một hạt tại một thời điểm nào đó có thể bắt đầu di chuyển bên trong nghĩa địa theo một quỹ đạo khép kín không?

2. Trong một hình lăng trụ, một quả bóng chính xác chuyển động theo một quỹ đạo khép kín mà không đi qua các đỉnh. Góc giữa hai liên kết bất kỳ là 90°.

SỬA ĐỔI

Trong bài viết của L. Bakanina “Nhiệm vụ về vệ tinh” («Kvant», 1981, số 1), trong điều kiện bốn bài toán, giá trị gia tốc góc được xác định không chính xác - giá trị này phải dương: $\beta = 3 \cdot 10^{-13}$ rad/c$^2$. Về vấn đề này, đáp số bài toán sẽ khác - vệ tinh sẽ ở độ cao $H' = 497$ km.