Đại học bang Novosibirsk được đặt theo tên. Lênin Komsomol

48

Đại học bang Novosibirsk
họ. Lênin Komsomol

Toán học

Bài thi viết
5 giờ đã được đưa ra để hoàn thành công việc.
Tùy chọn 1
(cơ học, toán học, vật lý và kinh tế)

1. Giải phương trình
   $$\cos \left( \frac{4+\sqrt{5}}{2} \sin x + 2 \cos x \right) = \sin \left( \left( \frac{\sqrt{5}}{2} - 2 \right) \sin x \right).$$
2. Tam giác $ABC$ nội tiếp trong đường tròn bán kính $R$. Điểm $D$ nằm trên cung $BC$, dây $AD$ và $BC$ cắt nhau tại điểm $M$. Tìm độ dài cạnh $BC$ nếu $BMD=120^\circ$, $|AB|=R$, $|BM|:|MC|=2:3$.
3. Với những giá trị nào của tham số $a$ có các giá trị $x$ sao cho các số $5^{1+x}+5^1x$, $\frac{a}{2}$, $25^x+25^{-x}$ tạo thành một cấp số cộng?
4. $SABC$ là bộ tứ đơn đúng. Hình cầu trải dài qua các cạnh $AS$, $AC$, $AB$ và đi qua giữa cạnh $BC$. Tìm bán kính của hình cầu nếu biết tâm của nó nằm bên trong hình tứ giác.
5. Với những giá trị nào của $a$ thì bất kỳ $b$ nào cũng có ít nhất một $c$ sao cho hệ phương trình
   $$\begin{cases} bx+y=ac^2, \\ x+by=ac+1 \end{cases}$$
   có ít nhất một lời giải?

Tùy chọn 2
(Khoa Địa chất và Địa vật lý và Khoa Khoa học Tự nhiên)

1. Giải phương trình
   $$\cos^2 x(1-\sin x)=1+\sin^3 x.$$
2. Cho một tứ giác lồi $ABCD$ có đường chéo $AC$ bằng $\sqrt{2}$. Tìm diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác $ABD$, nếu biết rằng $ABC=105^\circ$, $ACD=42^\circ$, $DAC=63^\circ$.
3. Tìm các giá trị không âm của $x$ thỏa mãn phương trình
   $$\log_6 2(1+2^{-x})-\frac{x}{1-\log_{\frac{1}{2}}3}=\log_6 a.$$
4. Hình cầu kéo dài dọc theo cạnh bên $AA'$ và các cạnh không song song của các đáy $AB$ và $A'D'$ của một khối lập phương $ABCDA'B'C'D'$ và đi qua điểm $M$ nằm trên cạnh bên $CC'$, $|CM|=\frac{1}{3}$. Tìm bán kính của hình cầu.
5. Cho $x$ chạy qua tập lời giải bất đẳng thức
   $$x^4-4x^2+3\leq 0.$$
   Giá trị lớn nhất của biểu thức là bao nhiêu
   $$1+ax-x^2?$$
   Vẽ biểu đồ có giá trị tối đa này theo tham số $a$.

Vật lý

Bài thi viết
Khoa Vật lý
Mỗi người tạo ra một gia tài từ gót chân bài toán của ba loại. Năm giờ đã được dành cho lời giải bài toán.
Ba bài toán đầu tiên được tính toán, có độ khó khác nhau: từ tiêu chuẩn đến so sánh, đòi hỏi sự khéo léo, kiến ​​thức sâu sắc và khả năng hiểu được một tình huống vật lý thông thường hoặc thông thường.
bài toán thứ tư là điểm bài toán. Đối với lời giải của nó, cần phải hiểu hiện tượng vật lý đang được xem xét, đưa ra một mô hình vật lý đơn giản (vì chỉ cần ước tính) của hiện tượng này, chọn các giá trị hợp lý của các đại lượng vật lý và cuối cùng, thu được kết quả bằng số ít nhiều tương ứng với thực tế. Trong văn bản bài toán có nêu rõ rằng người nộp đơn có thể tự mình chọn các đại lượng vật lý cần thiết cho lời giải bài toán và các giá trị số của chúng. Kinh nghiệm tổ chức các kỳ thi liên tiếp tại NSU cho thấy một tỷ lệ đáng kể thí sinh đăng ký vào Khoa Vật lý đạt điểm bài toán.
bài toán thứ năm là một minh chứng bài toán, trong đó hiện tượng vật lý được thể hiện ở khán giả phải là bắt buộc. Ở đây điều quan trọng là phải hiểu các hiện tượng và môi trường thiết yếu của các yếu tố vật lý khác nhau để làm nổi bật yếu tố chính.

Tùy chọn 1

1. Cho vào ở nhiệt độ $t_0=90^\circ C$ nước có thời hạn sử dụng theo khối lượng mạt bạch kim nóng đỏ định lượng. Tìm nhiệt độ ban đầu của mùn cưa nếu biết sau khi ngừng sôi thì mực nước vẫn ở mức ban đầu. Mật độ của bạch kim $Q_{пл}=21,4 \cdot 10^3$ kg/m³, nhiệt dung riêng của bạch kim $c_{пл}=128$ J/(kg K),

49

nhiệt dung riêng của nước $c_B = 4190$ J/(kg K), nhiệt dung riêng bay hơi của nước $\lambda = 2,26 \cdot 10^6$ J/kg. Những thay đổi về mật độ khi yêu cầu bồi thường được làm nóng.

2. Ở giữa một tụ điện phẳng, khoảng cách giữa các bản tụ là $2l$, có một lưới tích điện (Hình 1). Hiệu điện thế giữa hạt tích điện dương và đạt đến một điểm nằm cách tấm $B$ một khoảng $l/2$. Xác định khoảng cách từ điểm xuất phát mà hạt chạm vào tấm $A$. Trọng lực không được tính đến.

3. Một buồng hình trụ (Hình 2) có chiều dài $2l$ với một pít-tông có tiết diện bệ $S$ (tổng khối lượng $M$) có thể chuyển động dọc theo mặt phẳng nằm ngang với hệ số ma sát $\mu$. Ở bên trái của piston, nằm ở trung tâm buồng, có khí ở nhiệt độ $T_0$ và áp suất $p_0$. Một lò xo tăng cứng $k$ được đặt giữa ống cố định và piston. Phải tăng nhiệt độ của khối khí ở bên trái pít-tông lên bao nhiêu lần để thể tích của nó tăng đột ngột nếu không có ma sát giữa buồng và pít-tông? Áp lực bên ngoài $p_0$.

4. Ước tính bán kính tối đa của khoang hình thành trong vụ nổ dưới nước ở độ sâu $h = 1$ km của chất nổ có khối lượng $m = 1$ t. Năng lượng nổ của 1 gam chất nổ xấp xỉ $\lambda = 4$ kJ.

5. Bản chất của lực bật lại của một quả bóng lơ lửng trên sợi điều khiển sau khi loại bỏ phép biến đổi khỏi nó, biên độ của lực bật lại giảm mạnh. Giải thích hiện tượng đó.

Tùy chọn 2

1. Khoảng cách $|AB|$ (Hình 3) một quả bóng sẽ ném theo góc $\alpha$ so với mặt phẳng nằm ngang với vận tốc $\vec{v}$ là bao nhiêu nếu nó chạm trần nhà? Chiều cao trần $H$, tháo lắp đàn hồi, không ma sát.

2. Một thanh đồng chất có khối lượng $m$ nằm trên một mặt phẳng nằm ngang ở một đầu và trên một mặt phẳng nghiêng (Hình 4). Góc giữa các mặt phẳng là $\alpha$. Lực nào $\vec{F}$ hướng dọc theo mặt phẳng nghiêng phải tác dụng lên thanh để nó cân bằng? Không có ma sát.

3. Các đường ray dọc $KD$ và $LN$, một thanh $AC$ trượt dọc theo chúng và một pin có lực điện động $\varepsilon$ tạo thành một mạch điện (Hình 5). Vuông góc với mặt phẳng $KDNL$ chúng ta đi đến một từ trường cảm ứng không đổi $B$. Chiều dài của thanh $AC$ là $l$, điện trở của nó là $R$ và khối lượng của nó là $m$. Tìm tốc độ ổn định khi thanh đi lên. Yêu cầu về lực cản của đường ray, pin và ma sát.

4. Vận động viên thể dục bật nắng trên quầy bar. Hãy ước tính lực mà nó tác dụng lên xà ngang tại thời điểm nó đi qua vị trí thấp hơn.

5. Giải thích tại sao một chiếc đinh có thể dễ dàng rút ra nếu nó bị uốn cong và kéo đồng thời xoay quanh trục của nó.

Tùy chọn 3

1. Mạch điện trong Hình 6 bao gồm hai phần tử có emf $\varepsilon$ và $\varepsilon_2$ ($\varepsilon_2 > \varepsilon_1$) và các điện trở trong $r_1$ và $r_2$. Khả năng chịu tải $R$. Vôn kế sẽ chỉ hướng nào?

2. Khi hai quả bóng tích điện bằng nhau (điện tích của mỗi quả q) dao động, khoảng cách giữa chúng thay đổi từ $l$ thành $4l$. Các quả bóng được nối với nhau bằng một lò xo, chiều dài tự do của nó là $2l$. Xác định độ cứng của lò xo.

3. Trong một khớp trụ đứng thẳng đứng có tiết diện $S$ có chất khí nằm dưới một piston có khối lượng $m$. Bình được chia bằng vách ngăn thành hai phần giống hệt nhau với chiều cao mỗi phần là $l$ (Hình 7). Áp suất ở phần dưới $p$, áp suất bên ngoài $p_0$, nhiệt độ khí ở cả hai phần của bình $T$. Piston sẽ di chuyển bao nhiêu nếu bạn loại bỏ

50

Hình 7.

phân vùng? Nội năng của một mol khí là $U=CT$. Thành bình và piston không dẫn nhiệt, không có ma sát.

4. Tính thời gian để nước chảy ra khỏi một bồn tắm đầy nước.

5. Một quả cầu kim loại treo giữa mặt đất và được tích điện bằng những quả cầu kim loại trên một sợi dây cách điện. Giải thích hành vi của nó khi di chuyển một quả bóng tích điện.

Lời giải bài toán biến thể 1

1. Từ định luật bảo toàn năng lượng (phương trình cân bằng nhiệt), xét đến sự bằng nhau về thể tích của mạt bạch kim và nước bay hơi, chúng ta có

$$t_H = t_K + \frac{c_B}{c_{пл}} (t_K - t_0) + \frac{Q_B}{Q_{пл}} \frac{\lambda}{c_{пл}} \approx 1250^\circ C$$

(ở đây $t_K = 100^\circ C$ là nhiệt độ sôi của nước).

Một số người nộp đơn không thể giải được bài toán này vì họ không hiểu rằng các điều kiện để duy trì mực nước sẽ biểu thị sự bằng nhau giữa thể tích của mạt bạch kim và nước bay hơi.

2. Đặt mô hình gia tốc và thời gian chuyển động của hạt giữa tấm $A$ và lưới $C$ bằng $a_1$ và $t_1$, giữa lưới và tấm $B$ - lần lượt là $a_2$ và $t_2$, và các điện thế như sau: $\varphi_A = 0$, $\varphi_C = \varphi$ và $\varphi_B = 3\varphi$. Đồng thời

$$a_2 = 2a_1 = \frac{e}{m} \frac{2\varphi}{l}.$$

Đi xuống từ điểm cao của quỹ đạo tới lưới, hạt di chuyển theo phương thẳng đứng

$$\frac{l}{2} = a_2 \frac{t_2^2}{2}.$$

Theo định luật bảo toàn năng lượng,

$$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv_0^2 \cos^2 \alpha}{2} + 2e\varphi,$$

trong đó $v_0$ là vận tốc ban đầu của hạt. Ngoài ra, các điều kiện để hình chiếu vận tốc theo phương thẳng đứng bằng 0 tại điểm cao sẽ cho

$$v_0 \sin \alpha - a_1 t_1 - a_2 t_2 = 0.$$

Từ các phương trình kết quả, chúng tôi tìm thấy khoảng cách cần thiết:

$$L = v_0 \cos \alpha \cdot 2(t_1 + t_2) = 2(4 - \sqrt{2}) l \text{ ctg } \alpha.$$

Hầu hết những người giải được bài toán này đều coi chuyển động của hạt không phải từ điểm trên cùng của quỹ đạo mà từ tấm $A$. Điều này một mặt dẫn đến việc tính toán rườm rà, mặt khác làm tăng khả năng mắc sai lầm. Vì vậy, nhiều người đã quên rằng chuyển động của một hạt từ lưới sang tấm $B$ xảy ra với một tốc độ ban đầu nhất định.

3. Ở đây chúng ta cần xét hai trường hợp: a) $\mu Mg \geqslant kl$ và b) $\mu Mg < kl$.

Trong trường hợp a) máy ảnh sẽ tích lũy. Từ điều kiện cân bằng của piston $(p - p_0)S = kl$ và từ phương trình Clapeyron cho khí $\frac{pS2l}{T_a} = \frac{p_0Sl}{T_0}$ ta tìm được tỉ số cần tìm:

$$\frac{T_a}{T_0} = 2 \left( 1 + \frac{kl}{p_0S} \right) \text{ при } \mu Mg \geqslant kl.$$

Trong trường hợp b) buồng sẽ chỉ tích lũy cho đến khi đạt được giá trị lớn nhất của lực ma sát tĩnh. Tại thời điểm này, nó giảm xuống $x = \mu Mg/k$ và nhiệt độ của khí trở nên bằng

$$T_1 = T_0 \left( 1 + \frac{\mu Mg}{p_0S} \right) \left( 1 + \frac{\mu Mg}{kl} \right).$$

Sau khi buồng bắt đầu vôi hóa, thể tích khí sẽ tăng lên ở áp suất không đổi; kể từ đây,

$$\frac{T_6}{T_1} = \frac{V}{V_1} = \frac{2lS}{(l+x)S} = \frac{2}{1 + \mu Mg/(kl)}.$$

Thay giá trị $T_1$ vào đây, ta được

$$\frac{T_6}{T_0} = 2 \left( 1 + \frac{\mu Mg}{p_0S} \right) \text{ при } \mu Mg < kl.$$

Lỗi nghiêm trọng và phổ biến nhất với lời giải bài toán này là thiếu khoảng cách là phần khi máy ảnh lần đầu tiên đào lên. Điều đáng ngạc nhiên là nhiều người đã không tính đến áp lực bên ngoài $p_0$.

4. Năng lượng nhiệt giải phóng trong vụ nổ chủ yếu có tác dụng chống lại lực áp suất thủy tĩnh:

$$Q = p(V_{\text{кон}} - V_{\text{нач}}) \approx pV_{\text{кон}},$$

hoặc

$$m\lambda \approx Q_B gh \frac{4}{3} \pi r^3.$$

Từ đây

$$r \sim \sqrt[3]{\frac{3m\lambda}{4\pi\varphi gh}} \sim 5 \text{ m}.$$

Khi đánh giá thể tích của khoang, một số ứng viên đã bỏ sót yếu tố chính - tác dụng chống lại áp lực bên ngoài khi bụng nở ra, lầm tưởng rằng gần như toàn bộ năng lượng đều được dồn vào việc hình thành hơi nước trong bụng.

5. Độ bật lại tối đa đạt được nếu hình chiếu của xung truyền tới quả bóng theo hướng dọc theo sợi là tối thiểu. (Nếu tại thời điểm đường bị kéo ra xa, tâm vuông góc với sợi chỉ, hình chiếu theo hướng dọc theo sợi chỉ bằng 0 và lực bật lại là lớn nhất có thể.) Khi con mồi tròn di chuyển, hình chiếu của xung lực dọc theo sợi chỉ tăng lên, và do đó, phần năng lượng dành cho chuyển động của quả bóng giảm đi.

Một số ứng viên chắc chắn đã cố gắng phân biệt giữa động học của các tác động trung tâm và không trung tâm.

G. Meledin,
M. Fokin