Seventeen bài toán cho sự khéo léo

44

B. Kordemsky

mười bảy
bài toán
dựa trên trí thông minh của bạn

Trong số bài toán được hỗ trợ dành cho những người nộp đơn vào đại học, cũng có những khoản hỗ trợ ở lời giải mà bạn có thể vượt qua sự tháo vát và tính đảo.

Tất nhiên, theo quy luật, những bài toán này có thể được giải quyết bằng các phương pháp tiêu chuẩn, tuy nhiên, lời giải, sử dụng các thông báo đảo, không chuẩn, thường ngắn hơn và đỏ hơn so với các phương pháp truyền thống.

Chúng tôi cung cấp một số bài toán này cho độc giả của chúng tôi.

Bài toán 1. Đi qua 3/8 chiều dài địa điểm $AB$, một người đàn ông nghe thấy tiếng còi súng máy phía sau, đang tiến đến địa điểm với vận tốc không đổi 60 km/h. Nếu người này chạy lại sẽ gặp súng máy ở $A$; nếu anh ta chạy về phía trước, máy tự động sẽ đuổi kịp anh ta trong $B$. Người này chạy nhanh đến mức nào?

Bài toán 2. Từ điểm $A$ của dòng sông, quả bóng đồng thời trôi theo dòng nước và ngược dòng. Sau 10 phút, vận động viên bơi lội quay lại và bắt bóng dưới một địa điểm cách $A$ 1 km. Được biết, vận động viên bơi lội không hề thay đổi thể trạng trong suốt quá trình di chuyển. Tìm vận tốc của dòng sông này.

Bài toán 3. Có dung dịch muối trong bình. Đổ 1/n phần dung dịch từ bình vào ống nghiệm và làm bay hơi cho đến khi phần trăm muối trong ống nghiệm tăng gấp đôi. Sau đó, dung dịch thu được được đưa trở lại bình và trộn với dung dịch còn lại ở đó. Kết quả là hàm lượng muối trong dung dịch tăng lên %. Xác định phần trăm khối lượng muối trong dung dịch ban đầu.

Bài toán 4. 27 cơ chế giống hệt nhau có thể hoàn thành một nhiệm vụ cụ thể trong 35 giờ hoạt động liên tục. Nhưng sau 11 giờ, một số cơ chế như vậy nữa đã được kết nối với nhiệm vụ này và công việc đã hoàn thành sớm hơn 6 giờ. Có bao nhiêu cơ chế bổ sung đã được kết nối?

Bài toán 5. Một mảnh có khối lượng bằng nhau được cắt từ hai mảnh hợp kim có cùng khối lượng, nhưng có tỷ lệ phần trăm đồng khác nhau. Mỗi mảnh cắt được hợp nhất với phần còn lại của mảnh kia, sau đó tỷ lệ phần trăm đồng trong tổng số mảnh trở nên như nhau. Mảnh cắt nhỏ hơn cả mảnh bao nhiêu lần?

Bài toán 6. Có hai hợp kim của bạc và vàng: về một lượng, các kim loại này có tỷ lệ 2:3, còn lượng kia theo tỷ lệ 3:7. Cần phải lấy bao nhiêu mỗi hợp kim để thu được 8 kg hợp kim mới trong đó bạc và vàng có tỷ lệ 5:11?

Bài toán 7. Một điểm tùy ý $E$ được lấy trên cạnh $BC$ của hình vuông $ABCD$. Các bissertis của góc $DAE$ cắt cạnh $CD$ tại điểm $F$, $|AE| = a$. Tìm $|BE| + |DF|$.

Bài toán 8. Dân $\triangle ABC$. a) Chứng minh tồn tại một tam giác $A_1B_1C_r$ có ​​độ dài các cạnh bằng độ dài các đường trung tuyến của tam giác $A_1B_1C_1$, đồng dạng với tam giác $ABC$.

6. Chứng minh rằng tam giác $A_2B_2C_2$ có độ dài các cạnh bằng độ dài các đường trung tuyến của tam giác $A_1B_1C_1$ thì đồng dạng với tam giác $ABC$.

c) Tìm diện tích tam giác $A_2B_2C_2$ nếu diện tích tam giác $ABC$ là $S$.

Bài toán 9. Gọi điểm $K$ là trung điểm của đường trung tuyến $AM$ của tam giác $ABC$, $L$ là giao điểm của đường thẳng $(BK)$ với các cạnh $AC$. Tìm diện tích tứ giác $LKMC$ nếu $S_{ABC} = 1$.