Viện năng lượng Moscow

49

5. (Khoa Vật liệu và Thiết bị bán dẫn). Một dòng điện $I=10$ có hướng vuông góc với mặt phẳng của tấm đi qua một tấm đồng có tiết diện $S=ab$. Nhựa được đặt trong từ trường vuông góc với cạnh $b$ và theo hướng của dòng điện. Từ trường riêng $|\vec{B}|=0,6$ T, độ dày nhựa $a=0,1$ mm. Xác định hiệu điện thế ngang thu được, giả sử rằng mỗi nguyên tử nhận được một electron dẫn. Mật độ đồng $q=8,6 \cdot 10^3$ kg/m$^3$, khối lượng mol $M=63,5 \cdot 10^{-3}$ kg/mol.

V. Buzanov, N. Kvacheva, O. Malyuchkov, V. Trenodin

Viện Kỹ thuật Điện tử Moscow

Toán học

Bài thi viết
Tùy chọn 1

1. Tìm diện tích của hình nằm giữa đồ thị hàm số $y=2x^2-3x+2$ và $y=x+8$.

2. Giải phương trình
   $$7^{2x} \cdot 1g^2 - 10 = |2x \cdot 1g^7 + 3 - 10|.$$

3. Kiểm tra xem hàm $y = \sqrt[3]{6x+1}$ có thỏa mãn điều kiện $y' = \frac{2}{y^2}$ hay không và tìm hàm $y=f(x)$ thỏa mãn điều kiện tương tự và đồ thị của nó đi qua điểm $M(4;3)$.

4. Đường $l$ đi qua các điểm $(3;0)$, $(0;4)$. Điểm $A$ nằm trên parabol $y=2x-x^2$. Tìm khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $l$ trong trường hợp $A$ trùng với gốc tọa độ và cho biết tọa độ của điểm $A$ trên parabol sao cho khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng $l$ là nhỏ nhất.

5. Tìm $a=1$ tất cả các phương trình lời giải $\sin 2(x-\pi) - \sin (3x-\pi) = a \cdot \sin x$ nằm trên khoảng $[0; \frac{\pi}{2}]$ và tìm ra $a$ phương trình này có một lời giải duy nhất trên khoảng này.

Tùy chọn 2

1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\cos \left(2x-\frac{\pi}{3}\right)+2$ tại điểm có trục hoành $x_0=\frac{\pi}{2}$.

2. Hàm nào sau đây $2x^2-1$, $\cos 2x$, $2^{\cos x}$, $2^x+x+2$, $1-5tg\frac{x}{2}$, $3\sin x$ có thể liên kết và hàm nào không tuần hoàn? Đối với các hàm tuần hoàn, hãy chỉ ra chu kỳ của chúng.

3. Trên mặt phẳng dữ liệu tọa độ, các điểm $A(-2;0)$ và $B(0;4)$ và đường $l:y=x$. Tìm thấy

Viện năng lượng Moscow

Toán học

Bài thi viết
Tùy chọn 1

1. Rút gọn biểu thức, tìm giới hạn $\lim_{x \to a} \left[ \frac{(x^3-2ax^2-a^2x+2a^3)(x-2a)^{-1}+2a(x+a)}{x^3-a^2x} \right] - \frac{2}{x-a}$.

2. Tìm miền định nghĩa của hàm số $f(x)=\log_3[(3 \cdot 2^x)^x+3 \cdot 2^{x^2}+1-2 \cdot 3^{x+1}-9^x]$.

3. Tính trung bình tất cả các tam giác thẳng của mặt phẳng $S$ và tìm tam giác có diện tích hình tròn ngoại tiếp nhỏ nhất.

4. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình $\cos^4x-3\cos 3x=3\cos x-\cos^3x \cdot \cos 3x$ nằm trên đoạn $[-\pi; \frac{\pi}{2}]$.

5. Xác định thể tích của một hình bình hành nếu tất cả các mặt của nó đều là hình thoi, độ dài các cạnh bằng $a$ và các góc nhọn bằng $a$.

Tùy chọn 2

1. Rút gọn biểu thức cho $f(x)$, tìm $f'(x)$ nếu
   $$f(x) = \left[ \frac{x-4}{x^2-8\sqrt{x}+2\sqrt{x^3}+16} \right]^{-1} + \sqrt{2} 2+\log_2 x$$

2. Giải phương trình
   $$2(\lg 2-1)+\lg(5^{\sqrt{x}}+\lg 10)=\lg(5^{1-\sqrt{x}}+5).$$

3. Số 26 được biểu diễn dưới dạng tổng của ba số hạng dương sao cho tổng bình phương của chúng nhỏ nhất và sao cho số hạng thứ hai lớn hơn số hạng thứ nhất.

50

4. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình
   $$\left(tg^2 x - 1\right)^{-1} = 1 + \cos 2x,$$
   thỏa mãn bất đẳng thức $2^{x+1} - 8 > 0$.

5. Một hình thang đều được nội tiếp trong một hình tròn sao cho đường kính của hình tròn đóng vai trò là đáy của hình thang. Tìm tỉ số diện tích của hình tròn và hình thang nếu góc đặc trưng của hình thang là $\alpha$.

Bài toán thi vấn đáp

1. Giải bất đẳng thức
   a) $\frac{x^2(x+2)}{2x+3} \leq 0$;
   b) $\left(\frac{1}{2}\right)^{x-2\sqrt{x}} > 1$;
   c) $\log_{1-x^2}(x^2+x+5) < 0$.

2. Giải hệ đồ họa bất phương trình
   $$\begin{cases} y-x^2 \geq -5 \\ x+y \leq 0 \\ \sqrt{x^2-4} \geq x. \end{cases}$$

3. Vẽ đồ thị hàm số
   a) $y=x^2+5|x|$;
   b) $y=\lg|x-2|$;
   c) $y=\log_{1-\sin^2x}\cos x$;
   d) $y=3^{x+\frac{x^2}{|x|}}$.

4. Vẽ một tam giác vuông khi biết một góc nhọn và cạnh đối diện.

5. Đơn giản hóa một biểu thức
   $$\left(\frac{2\sin \alpha-\sin 2\alpha}{2\sin \alpha+\sin 2\alpha}\right)^{\frac{1}{2}} + \frac{\sin \alpha}{1-\cos \alpha},$$
   nếu $3\pi < \alpha < 4\pi$.

6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $f(x) = |x^2-|x||$ tại điểm hoành độ $-2$.

7. Với $a$ thì bất đẳng thức có giá trị gì?
   $$\int \frac{dx}{2-1} < \ln(a-2) ?$$

Vật lý
Tùy thuộc vào khoa được mô tả, ứng viên sẽ làm bài kiểm tra vật lý bằng văn bản hoặc bằng miệng. Bài kiểm tra viết có 4 giờ thiên văn.

Bài thi viết
Lựa chọn

1. Định luật phản xạ và khúc xạ ánh sáng. Chỉ số khúc xạ, ý nghĩa vật lý của nó.
2. Một điểm vật chất có thể di chuyển thẳng dọc theo trục $X$. Sử dụng đồ thị đã biết về sự phụ thuộc của hình chiếu $v_x$ của vận tốc của một điểm cho trước theo thời gian $t$ (xem hình), xây dựng đồ thị về sự phụ thuộc của hình chiếu $a_x$của gia tốc và tọa độ $x$ của điểm theo thời gian. Điều kiện ban đầu: tại $t=0$ $x=0$.
3. Mỗi giọt nước trong số hai giọt nước hình cầu giống hệt nhau có điện tích bằng một electron và lực phản ứng điện của các giọt nước cân bằng với lực hấp dẫn lẫn nhau của chúng. Xác định bán kính $r$ của giọt nước. Điện tích $e=1,6 \cdot 10^{-19} \text{KJ}$, hằng số hấp dẫn $G=6,67 \times 10^{-11} \text{m}^3/(\text{кг} \cdot \text{с}^2)$, hằng số điện $\varepsilon_0=8,85 \cdot 10^{-12} \text{Ф/m}$, mật độ nước $\rho=1000 \text{kg/m}^3$.
4. Lò hồ quang điện tiêu thụ dòng điện $I=200 \text{A}$ từ mạng có điện áp $U=220 \text{B}$. Một điện trở giới hạn có điện trở $R=0,2 \Omega$ được mắc nối tiếp với lò. Xác định công suất $P$ mà lò tiêu thụ.
5. Trên một chiếc xe chở cát có tổng khối lượng $M=20 \text{kg}$, chuyển động thẳng trên mặt phẳng nằm ngang với vận tốc $|\vec{v}|=5 \text{m/c}$, một hòn đá có khối lượng $m=5 \text{kg}$ rơi thẳng đứng từ độ cao $H=3 \text{m}$ và bị kẹt trong cát. Xác định lượng nhiệt $Q$ toả ra trong trường hợp này.

Bài toán thi vấn đáp

1. Vận động viên trượt băng sau khi tăng tốc đến tốc độ $|\vec{v}|=6 \text{m/c}$ sẽ lăn đường trượt băng lên. Độ cao tối đa $h$ nó tăng lên bao nhiêu nếu góc giữa mặt phẳng nghiêng của đường trượt và đường chân trời là $\alpha=30^\circ$ và hệ số ma sát của giày trượt trên băng là $\mu=0,1$?
2. Một hình trụ thẳng đứng được đóng ở đầu bằng một piston nặng. Bình chứa khí oxi có khối lượng là $m=2 \cdot 10^{-2} \text{kg}$. Sau khi tăng nhiệt độ lên $\Delta T=100 \text{K}$, pít-tông có diện tích $S=10^{-2} \text{m}^2$, tăng lên độ cao $h=0,14 \text{m}$. Xác định khối lượng $M$ của piston nếu áp suất bên ngoài không thay đổi trong quá trình thực hiện và bằng $p_0=10^5 \text{Pa}$. Có thể bỏ qua ma sát của piston lên thành xi lanh. Khối lượng mol của oxy là $\mu=32 \times 10^{-3} \text{kg/mоль}$. Hằng số khí phổ quát $R=8,31 \text{Дж/(моль} \cdot \text{К)}$.
3. Một khung có hình tam giác đều được đặt trong một từ trường đơn có cảm ứng $\vec{B}(|\vec{B}|=0,1 \text{T})$. Vuông góc với mặt phẳng của khung tạo một góc $\alpha=30^\circ$ với hướng của từ trường. Xác định độ dài $a$ của các khung bên nếu, với sự giảm đồng đều của từ trường về 0 theo thời gian $\tau=0,01 \text{с}$, trong khuôn khổ cảm ứng $\exists \Delta C \varepsilon=10^{-3} \text{B}$.
   B. Nitusov,
   B. Prokhorenko,
   B. Chudov