Đại học bang Rostov được đặt theo tên. M. A. Suslova

42

8. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} |x-y|=1 \\ |x|-|y|=1. \end{cases}$$

9. Dựa vào định nghĩa giới hạn của dãy số, chứng minh dãy $a_n = \frac{n^2+1}{n^2+2}$ có giới hạn bằng 1.

10. Tìm các khoảng đơn thức và điểm cực trị của hàm số $y = |2-x^2| - 2|$. Vẽ đồ thị của hàm này.

11. Tìm các khoảng đơn điệu và điểm cực trị của hàm số $a)$ $y = x \cdot e^{-3x}$;
    $6)$ $y = \frac{x}{\ln x}$.

12. Chứng minh rằng hàm số $y = 3x^4 - 4x^3 + 6x^2 + ax + b$ với mọi $a$ và $b$ chỉ có một điểm cực trị.

13. Tại thời điểm nào trong khoảng ] 0; $\frac{\pi}{2}$ [
    hàm $y = \mathrm{tg} x + \frac{3}{4} \text{ctg } x$ có nhận giá trị nhỏ nhất không?

14. Đối với những giá trị nào của tham số $a$ thì hàm $y = (\sqrt{3} \text{ctg } x + a^2)^3 \cdot \text{ctg } x$ đạt giá trị tối thiểu trong khoảng ] 0; $\frac{\pi}{2}$ [
    tại điểm $x = \frac{\pi}{3}$?

15. Tại giá trị nào của tham số $a$ thì giá trị nhỏ nhất của hàm $y = x^2 - 4ax - a^4$ là lớn nhất?

16. Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, hãy tính
    $$\int_0^2 \sqrt{2x-x^2} \, dx.$$

17. Tính thể tích của hàm không gian được hình thành bằng cách quay quanh trục x của hàm mặt phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm $y = 1 - e^{-|x|}$ và đường thẳng $y = \frac{2}{3}$.

18. Điểm $M$ và $N$ là trung điểm của cạnh $AC$ và $BC$ của tam giác $ABC$, còn điểm $M_1$ và $N_1$ là trung điểm của cạnh $A_1C_1$ và $B_1C_1$ của tam giác $A_1B_1C_1$. Nếu $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A_1B_1}$ thì vectơ $\overrightarrow{M_1}, \overrightarrow{N_1}$ và $\overrightarrow{C_1}$ là đồng phẳng. Chứng minh điều đó.

19. Trong tam giác $ABC$ vẽ đường trung tuyến $CM$. Giả sử rằng $l$, song song với $(CM)$, lần lượt cắt các đường $BC$, $CA$ và $AB$ tại các điểm $A_1$, $B_1$ và $C_1$. Chứng minh rằng trên các đường thẳng, cạnh của tam giác $a < b < c$ tạo thành một cấp số cộng, khi đó $ac = 6rR$, trong đó $r$ và $R$ lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp. Chứng minh điều đó.

20. Nếu độ dài cạnh của một tam giác $a < b < c$ tạo thành một cấp số cộng, thì $ac = 6rR$, trong đó $r$ và $R$ lần lượt là bán kính của đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp. Chứng minh điều đó.

21. Qua điểm $B$ của dây cung $AB$ một đường tiếp tuyến được vẽ với đường tròn và từ điểm $A$ một đường vuông góc $AC$ được hạ xuống nó. Chứng minh rằng trong đường thẳng $\frac{|AB|^2}{|AC|}$ không phụ thuộc vào dây $AB$.

22. Giả sử rằng một đường tròn có thể nội tiếp trong một $n$-giác. Gọi $r$ là bán kính của hình tròn này và $P$ là chu vi của $n$-giác. Chứng minh rằng diện tích của $n$-giác là $S = \frac{1}{2} Pr$.

23. Nếu một quả bóng có thể nội tiếp thành một khối đa diện, thì thể tích $V$ và diện tích bề mặt của nó $S$ có liên hệ với nhau bởi hệ thức $V = \frac{1}{3} Sr$ ($r$ là bán kính của quả bóng nội tiếp). Chứng minh điều đó.

24. Nếu điểm $(x; y; z)$ nằm trên mặt phẳng $x+y+z=3$ thì $x^2+y^2+z^2 \geq 3$. Chứng minh điều đó.

Ấn phẩm đã được chuẩn bị
V. Vyshensky, N. Perestok,
A. Samoilenko

Đại học bang Rostov được đặt theo tên. M. A. Suslova

Matematika
Bài thi viết
Tùy chọn 1
(Khoa Toán, Khoa Cơ và Toán)

1. Một đường tròn bán kính $r$ được nội tiếp vào một đồ thị đều có góc tù có độ lớn $a$. Tìm chiều dài của vòng tròn được mô tả xung quanh cùng một biểu đồ.

2. Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y(x) = -x^2 - 2x$, nếu biết các tiếp tuyến đi qua điểm có tọa độ $(0; a)$.

3. Giải phương trình
   $$5 \sin \frac{x}{2} + \cos x - 3 = 0.$$

4. Cho một khối lập phương $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Tìm góc giữa các cạnh bên của một đường thẳng tam giác đều nếu góc nhị diện tạo bởi cạnh bên với đáy bằng $a$.

5. Hai vật thực hiện chuyển động thẳng tuân theo các định luật $s_1(t) = \frac{1}{3} t^3 + \frac{1}{2} t^2 + \frac{1}{2} t + 4$, $s_2(t) = \frac{2}{3} t^3 + \frac{5}{2} t^2 + 12t + 3$, trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây, $s_1(t)$ và $s_2(t)$ lần lượt là khoảng cách tính bằng mét mà vật thứ nhất và vật thứ hai đi được. Tại mỗi thời điểm tính từ $t=0$, tốc độ chuyển động của vật thứ nhất sẽ kém tốc độ của vật thứ hai bốn lần?

6. Giải phương trình
   $$\cos 7x + \sin^2 2x = \cos^2 2x - \cos x.$$

7. Giải bất đẳng thức
   $$\log_{\frac{x+3}{x-3}} 4 < 2(\log_2 \frac{1}{2} (x-3) - \log_{\frac{\sqrt{2}}{2}} \sqrt{x+3}).$$

Tùy chọn 3
(Khoa Vật lý)

1. Một hình trụ có chiều cao có chiều dài $H$ và bán kính đáy là $r$ được nội tiếp trong một hình nón. Tìm góc ở đỉnh mặt cắt trục của hình nón để thể tích của hình nón nhỏ nhất.