Đại học bang Tajik được đặt theo tên. V. I. Lênin

43

2. Giải phương trình
   $(\sin x + \cos x)^2 = \mathrm{tg} x \cdot \cos 2x$.

3. Tìm miền xác định của hàm
   $$y = \sqrt{\log_{0.3} |x-2|} / |x|.$$

4. Đơn giản hóa biểu thức
   $$f(x, y) = \left( \frac{\sqrt[4]{x^3} - \sqrt[4]{xy^3}}{\sqrt{y} - \sqrt{x}} + \frac{1 + \sqrt{xy}}{4\sqrt{xy}} \right)^{-2} \times \left( 1 + 2\sqrt{\frac{y}{x}} + \frac{y}{x} \right)^{\frac{1}{2}}$$
   và đánh giá ở mức $x=9, y=0,04$.

Tùy chọn 4
(Khoa Kinh tế)

1. Đường chéo của một hình bình hành hình chữ nhật có chiều dài $d$ và tạo thành các góc tắc nghẽn với hai mặt bên liền kề, độ lớn của chúng bằng $a$. Tìm thể tích của song song và cho biết giá trị $a$ mà tại đó thể tích này sẽ đạt giá trị lớn nhất.

2. Giải phương trình
   $$2 \cos 2x - \sin x + 1 = 0.$$

3. Giải bất đẳng thức
   $$\log_3 \frac{4x^2 - 1}{x} \leq 1.$$

4. Tính diện tích của hình được giới hạn bởi parabol $y=x^2$, tiếp xúc với nó tại điểm có hoành độ 2 và trục x.

Tùy chọn 5
(Khoa Địa chất)

1. Tìm chiều dài chiều cao của hình trụ có thể tích lớn nhất nếu hình trụ là hình cầu có bán kính $R$.

2. Giải phương trình
   $$3 \cos^2 x - \sin^2 x - \sin 2x = 0.$$

3. Tìm miền xác định của hàm
   $$f(x) = \sqrt[6]{x+x^2-2x^3}.$$
   Ấn phẩm đã được chuẩn bị
   H. Karapetyants, H. Kovalenko,
   B. Nói đùa

Đại học bang Tajik được đặt theo tên. V. I. Lênin
Matematika
Bài thi viết

Tùy chọn 1
(Khoa Cơ và Toán)

1. Một phần của hình nón song song với đáy của nó đi qua tâm của một quả cầu ngoại tiếp quanh hình nón. Thể tích của hình nón bị cắt bằng một nửa thể tích của hình nón. Tìm góc nghiêng của đường sinh của hình nón với mặt phẳng đáy của nó.

2. Khám phá và vẽ đồ thị hàm số $y=3x^2-x^3$.

3. Tìm mẫu số và tổng của bảy số hạng của cấp số nhân nếu $a_1=36, a_7=\frac{4}{81}$.

4. Giải phương trình
   $$25\sqrt{x}-124 \cdot 5\sqrt{x}=125.$$

5. Giải bất đẳng thức
   $$\log_3 x + \log_{\sqrt{3}} x + \log_{\frac{1}{3}} x < 6.$$

Tùy chọn 2
(Khoa Vật lý)

1. Trong một hình thang đều $ABCD$ $|AB|=|CD|=a$ cm. Đường chéo chia góc ở đáy dưới, độ lớn của nó là $a$, làm đôi. Tìm diện tích của hình thang.

2. Tìm diện tích của hình được giới hạn bởi parabol $y=x^2$, tiếp xúc với nó tại điểm có hoành độ 2 và trục x.

3. Giải quyết hệ thống
   $$\begin{cases} \log_y x + \log_x y = \frac{5}{2} \\ x \cdot y = 27. \end{cases}$$

4. Giải phương trình
   $$\frac{1}{\sin^2 x} - \frac{3}{\cos^2 x} = 1.$$

5. Giải bất đẳng thức
   $$\left(\frac{1}{3}\right)^{\sqrt{x+2}} < 3^{-x}.$$

Tùy chọn 3
(Khoa Địa chất)

1. Cho một địa hình $ABCD$ có cạnh bằng $a$. Một mặt phẳng được vẽ qua đỉnh $B$ và giữa các cạnh $AD$ và $DC$. Tìm chu vi của các hình thu được trong phần này.

2. Xét hàm $y=(5+\cos x) \times (12-\cos x)$ để tìm cực trị.

3. Tìm các giá trị của $x$ nếu
   $$\left( 6 \frac{3}{7} - \frac{3}{4} \cdot x - 2 \right) \cdot 2,8 - 1 \frac{3}{4} : \frac{1}{20} = 35.$$

4. Giải quyết hệ thống
   $$\begin{cases} 3^x \cdot 2^y = 972 \\ \log_{\sqrt{3}} (x-y) = 2. \end{cases}$$

5. Giải bất đẳng thức
   $$\sin x + \sin 2x < 0.$$

Tùy chọn 4
(Khoa Kế hoạch và Kinh tế)

1. Trong tam giác $ABC$, vẽ đường thẳng $A_1B_1$ song song với đáy $AB$ sao cho diện tích góc vuông $A_1B_1C_1D_1$ là lớn nhất ($C_1$ và $D_1$ nằm trên $AB$).

2. Tìm diện tích của hình được giới hạn bởi parabol $y=-x^2+2x+8$ và trục x.

3. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} x^2+2xy+y^2-x-y = 6 \\ x-2y = 3. \end{cases}$$

4. Giải phương trình
   $$2 \sin^2 x - 3 \cos x = 3.$$

5. Giải phương trình
   $$x^{1-\frac{1}{3}} \lg x^2 = 10^{-\frac{2}{3}}.$$
   Ấn phẩm đã được chuẩn bị
   B. Aliyev