Đại học bang Kiev được đặt theo tên. T. G. Shevchenko

41

Đại học bang Kiev được đặt theo tên. T. G. Shevchenko

Toán học
Bài thi viết
Tùy chọn 1
(Khoa Cơ và Toán)

1. Một dây cung được vẽ thành một đường tròn có bán kính $r$ cách tâm $\frac{r}{8}$. Trong các đoạn nhỏ hơn của các đoạn đã tạo thành, hai vòng tròn có cùng bán kính được đặt sao cho chúng chạm vào nhau và mỗi vòng tròn đó chạm vào một vòng tròn nhất định và một dây rút. Xác định bán kính của hai đường tròn này.

2. $SABC$ là một cặp hình tam giác, $P$ là trung điểm của cạnh $AB$, $Q$ là giao điểm của các đường trung tuyến của mặt $SBC$. Phân tách vectơ $\vec{PQ}$ thành các vectơ $\vec{a} = \vec{SA}$, $\vec{b} = \vec{SB}$, $\vec{c} = \vec{SC}$.

3. Giải phương trình
   $$4 \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right) \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right) + 2 \sin^2 \frac{x}{2} - \cos x \Bigg]^{\frac{1}{2}} = 3 \cos x.$$

4. Tại giá trị nào của tham số $c$ từ khoảng [1; 4] diện tích của hình được giới hạn bởi các đường $y=0$ và $y=|x-c|$ - $\frac{c^2-c+1}{c^2-3c+3}$ sẽ là lớn nhất?. Khi nào khu vực này sẽ ở mức lớn nhất? Hai diện tích này bằng bao nhiêu?

Tùy chọn 2
(khoa vật lý và vật lý phóng xạ)

1. Một quả cầu có bán kính $R$ nội tiếp trong một hình nón tròn bên phải. Bán kính của hình tròn mà bề mặt bên của hình nón chạm vào quả bóng là $\frac{3}{5} R$. Tìm diện tích bề mặt bên của hình nón.

2. Giải phương trình
   $$\log_3-x \frac{1}{|x|} > 1.$$

3. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} \sin^2 x + \sin^2 y = \frac{1}{2} \\ x-y = \frac{4\pi}{3} \end{cases}.$$

4. Tại cái gì $a$ diện tích của một hình được giới hạn bởi một parabol $y=2x^2$ và thẳng $y=a$, bằng nhau $\frac{20\sqrt{2}}{3}$?

Tùy chọn 3
(Khoa Kinh tế)

1. Với những giá trị nào của $k$ thì các đường cong $y=2x^2$ và $y=k \cdot \ln x$ có ​​một điểm chung?

2. Giải phương trình
   $$16 \cdot 9 \log \frac{1}{3} \left( \sin^2 x - \frac{7}{2} \sin 2x + \frac{7}{2} \right) = 1.$$

3. Giải bất đẳng thức
   $$|\log \sqrt{2} x - 2| - |2 - \log_2 x| > 1.$$

4. Một đỉnh của tam giác đều trùng với đỉnh của hình vuông, hai đỉnh còn lại của nó nằm trên các cạnh của hình vuông. Cạnh của hình vuông là $\sqrt{2\sqrt{3}+3}$ cm. Tìm diện tích của hình tam giác. Tùy chọn 4
   (khoa địa lý)

5. Các tham số đáy là một hình thang, các cạnh và đáy nhỏ bằng $b$, góc nhọn bằng $a$. Các gân bên nghiêng với mặt phẳng đáy một góc $φ$. Tìm các thông số khối lượng.

6. Giải phương trình
   $$\sin^2 x + \sin^2 2x = \sin^2 3x + \sin^2 4x.$$

7. Giải bất đẳng thức
   $$\lg(9^{\lg x} + 1) \geqslant \lg \frac{10}{3} + \lg x \cdot \lg 3.$$

8. Tính diện tích hình giới hạn bởi đồ thị của hàm $y = \frac{1}{2} (\sin x + \sqrt{1-\cos^2 x})$ trên đoạn [0; $\pi$] và trục x.

Bài toán thi vấn đáp

1. Chọn tập hợp các điểm $(x; y)$ trên mặt phẳng tọa độ có tọa độ thỏa mãn điều kiện.

a) $\log_{xy}|x| > 1$;

b) $\log_{|xy|}x^2 < 2$.

2. Hãy để $f(x) = \ln \frac{1-x}{1+x}$. Đối với $a$ và $b$ thì đẳng thức $f(a) + f(b) = f\left(\frac{a+b}{1+ab}\right)$ đúng với trường hợp nào?

3. Tính $x_1^4 + x_2^4$, trong đó $x_1$ và $x_2$ là nghiệm của phương trình $3x^2 - 5x - 1 = 0$.

4. Phương trình a) $x^4 + x^3 = 10$ có bao nhiêu nghiệm?

b) $3|x| \cdot |2 - |x|| = 1$?

b) $x^2 - 2x - \log_2 |1-x| = 3$?

5. Đối với $a$ phương trình a) $x^3 + ax + 2 = 0$;

b) $x^2 \cdot e^x = a$;

b) $|\ln x| - ax = 0$;

có ba gốc?

6. Giải phương trình a) $3^x + 1 - |3^x - 1| = 2 \log_5 |6-x|$;

b) $|x-1| \cdot |\lg^2 x - \lg x^2| = |x-1|^3$;

b) $2\pi \cdot \cos x = |x| - |x-\pi|$.

7. Giải bất đẳng thức a) $\sqrt{25-x^2} \leqslant \frac{12}{x}$;

b) $\log \frac{1+x^2}{2|x|} (5-x^2) \geqslant 0$.