Киевский государственный университет им. Т. Г. Шевченко

41

Киевский государственный университет им. Т. Г. Шевченko

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1
(механико-математический факультет)

1. В окружности радиуса $r$ на расстоянии $\frac{r}{8}$ от центра проведена хорда. В менший из образованных сегментов помещены две окружности одинакового радиуса так, что они касаются одна другой и каждой из них касается данной окружности и проведенной хорды. Определите радиус этих двух окружностей.

2. $SABC$ — треугольная парамida, $P$ — середина ребра $AB$, $Q$ — точка пересечения медиан грани $SBC$. Разложите вектор $\vec{PQ}$ по векторам $\vec{a} = \vec{SA}$, $\vec{b} = \vec{SB}$, $\vec{c} = \vec{SC}$.

3. Решите уравнение
   $$4 \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right) \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right) + 2 \sin^2 \frac{x}{2} - \cos x \Bigg]^{\frac{1}{2}} = 3 \cos x.$$

4. При каком значении параметра $c$ из промежутка [1; 4] площадь фигуры, ограниченной линиями $y=0$ и $y=|x-c|$ — $\frac{c^2-c+1}{c^2-3c+3}$, будет наиболее?. Когда эта площадь будет наиболее? Чему равны обе эти площади?

Вариант 2
(физический и радиофизический факультеты)

1. В прямой круговой конус вписан шар радиуса $R$. Радиус окружности, по которым боковая поверхность конуса касается шара, равен $\frac{3}{5} R$. Найди площадь боковой поверхности конуса.

2. Решите уравнение
   $$\log_3-x \frac{1}{|x|} > 1.$$

3. Решите систему уравнений
   $$\begin{cases} \sin^2 x + \sin^2 y = \frac{1}{2} \\ x-y = \frac{4\pi}{3} \end{cases}.$$

4. При каком $a$ площадь фигуры, ограниченной параболой $y=2x^2$ и прямой $y=a$, равна $\frac{20\sqrt{2}}{3}$?

Вариант 3
(экономический факультет)

1. При каких значениях $k$ кривые $y=2x^2$ и $y=k \cdot \ln x$ имеют одну общую точку?

2. Решите уравнение
   $$16 \cdot 9 \log \frac{1}{3} \left( \sin^2 x - \frac{7}{2} \sin 2x + \frac{7}{2} \right) = 1.$$

3. Решите неравенство
   $$|\log \sqrt{2} x - 2| - |2 - \log_2 x| > 1.$$

4. Одна вершина равностороннего треугольника совпадает с вершиной квадрата, а две другие его вершины лежат на сторонах квадрата. Сторона квадрата равна $\sqrt{2\sqrt{3}+3}$ см. Найди площадь треугольника. Вариант 4
   (географический факультет)

5. Основанием параметры служит трапеця, боковые стороны и меньше основание кторой равны $b$, а острый угол равен $a$. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом $φ$. Найди объем параметры.

6. Решите уравнение
   $$\sin^2 x + \sin^2 2x = \sin^2 3x + \sin^2 4x.$$

7. Решите неравенство
   $$\lg(9^{\lg x} + 1) \geqslant \lg \frac{10}{3} + \lg x \cdot \lg 3.$$

8. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = \frac{1}{2} (\sin x + \sqrt{1-\cos^2 x})$ на промежутке [0; $\pi$] и осью абсцисс.

Задачи устного экзамена

1. Избраните на координатной плоскости множество точек $(x; y)$, координаты которых удовлетворяют условиям.

a) $\log_{xy}|x| > 1$;

b) $\log_{|xy|}x^2 < 2$.

2. Пусть $f(x) = \ln \frac{1-x}{1+x}$. При каких $a$ и $b$ выполняется равенство $f(a) + f(b) = f\left(\frac{a+b}{1+ab}\right)$?

3. Вычислите $x_1^4 + x_2^4$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $3x^2 - 5x - 1 = 0$.

4. Сколько корней имеет уравнение a) $x^4 + x^3 = 10$?

b) $3|x| \cdot |2 - |x|| = 1$?

b) $x^2 - 2x - \log_2 |1-x| = 3$?

5. При каких $a$ уравнение a) $x^3 + ax + 2 = 0$;

b) $x^2 \cdot e^x = a$;

b) $|\ln x| - ax = 0$;

имеет три корня?

6. Решите уравнение a) $3^x + 1 - |3^x - 1| = 2 \log_5 |6-x|$;

b) $|x-1| \cdot |\lg^2 x - \lg x^2| = |x-1|^3$;

b) $2\pi \cdot \cos x = |x| - |x-\pi|$.

7. Решите неравенство a) $\sqrt{25-x^2} \leqslant \frac{12}{x}$;

b) $\log \frac{1+x^2}{2|x|} (5-x^2) \geqslant 0$.