Об оптимальных траекториях движения

Квант 1982, №6 с. 30, 31, 33 Тег 4GXT

С. Кротов

Об оптимальных траекторных движений

Многим из вас приходилось решать задачи на определение оптимальных траекторий движения — задачи типа «определить траекторию, по которой — при определениях условий движения — из точки A в точку B можно добраться за минимальное время». В настоящее время заметке мы рассケjem о метода, позволяющим к заданному подобного рода подходить с единственным.

Начнем с простой задачи. Представим себе малчика, оказавшегося в некоторый момент времени $t_0$ посреднего поля в точке A. Нам известно, что из этой точки A он может перемещаться со скоростью $v$ в любом направлении (мы подразумеваем, что условия передвижения малчика из точки A одинаковы по всем направлениям). Поставим следующий вопрос: где может оказаться малчик через небольшой интервал времени $\Delta t$ ?

Будем считать, что на противженни этого интервала времени малчик, начавшийся

не меняет курс, и скорость его остается неизменной. В этом случае ответ оченьен: мальчик может оказаться в любой точке окружности с центром в начальном положении — в точке $A$ — и радиуса $v \cdot \Delta t$ .

Предположим теперь, что мальчик в процессе движения может в любой момент времени в любой точке своей траектории мгновенно менять произвольным образом направление скорости, сохраняя ее неизменной по величины (в данном случае нам придется надельить мальчика сверхъестественной силой). И в этом случае ответ на вопрос задачи достагоно прост: так как длины всех возможных траекторий мальчика равны $v \cdot \Delta t$ , конец произвольной траектории может оказаться в любой точке кругла радиуса $v \cdot \Delta t$ с центром в точке $A$ . Это следует из того факта, что перемещение мальчика, то есть расстояние между началом и концем произвольной траектории по прямой, по абсцидной величины не больше длины самой траектории, равной $v \cdot \Delta t$ . Таким образом, область достижимости (назовем так множество точек поля, где может оказаться мальчик к моменту времени $t_0 + \Delta t$ ) будет представлять собой кругла радиуса $v \cdot \Delta t$ .

Обратим внимание на то, что для любой внутренней точки области достижимости (например, точки $B$ на рисунке 1) можно указать бесконечное число траекторий, по которым мальчик мог бы в нее попасть. Для любой же точки границы области достижимости (например, точки $C$ на рисунке 1) существует единственная траектория «попадания» (в точку $C$ — по радиусу $AC$ ).

Если в дальнейшем (при $t > t_0 + \Delta t$ ) условия передвижения мальчика по полю остаются прежними, то и в последующем моменты времени границы области достижимости будут также представлять собой окружности (с центром в точке $A$ ). Границы области достижимости фронтом всевозможных перемещений, или просто фронтом. В предыдущем рассмотрении фронт представлял собой окружность, радиус которого увеличался со скоростью $v$ . Такая простая форма фронта была связана с тем, что условия передвижения мальчика из точки $A$ (и из любой точки области过剩ности) во все стороны были одинаковы. Нетрудно заметить, что и в более общем случае передвижения фронт обладает следующими свойствами:

рано или поздно фронт пройдет через любую точку (имеются в виду точки, куда вообще можно попасть);
ни при каком способе передшения нельзя оказаться dalышей фронта в соответствии момент времени;
для каждой точки фронта можно указать, как правило, единственный траекторию, оказывающегося в ней;
при определении фронта в последующем моменты времени (то есть при определении изменения фронта с течение времени) все точки исходного фронта одновременно будут выступать в роли точки $A$ , так что в любой момент времени фронт будет представлять собой огибающую множество окружностей, центры которых лежат на исходном фронте, а радиуса определяются условиями «разбегания» из соответствующих точек фронта (рис. 2);
возьмем два положения фронта — $M$ и $M'$ , разделенные интервалом времени $\Delta t$ (см. рис. 2). Для любой точки $E$ фронта $M$ существует единственная точка $E'$ фронта $M'$ , в которой можно добаваться в время $\Delta t$ ; траектория движения при этом единственная. Во все другие точки фронта $M'$ из точки $E$ можно добаваться лишь за большие времена.

Изложенный выше метод рассмотрения движения путем построения перемещающегося с течение времени фронта может быть с успехом применен при решении задачи определения оптимальных траекторий движения. Если

мы знаем, как меняется фронт с течение времени, то естьume его строить в каждой моменте времени,
уменьшать из всего множества траекторий движения ту, которая приводит в произвольную точку фронта, то задача определения оптимальной траектории перемещения решается следующим образом: установливаем вид фронта с течение времени, определяем момент времени, когда фронт достигнет интервалу нас точки, строим траекторию, реализующую попадание именно в эту точку фронта.

Для использования сказанного рассмотрим одну вспомогательную задачу.

Задча. Мальчик живет на берегу ОР залива МОР (рис. 3). Берега залива образуют узолл а. Дом мальчика — в точке $A$ . Расстояние от дома до берега равно $h$ , а расстояние от дома до точки $O$ (см. рис. 3) равно $l$ . Мальчик любит рыбу с берега ОМ. На каком расстоянии от точки $O$ он должен выбрать место для рыбки, чтобы добиться до этого места от дома за минимальное время? Чему

Рис. 6.

сторическая от которой до точки $A$ равно $|AE| = v \cdot \Delta t_1$ ( $|AE| = |AE'|$ ). Нетрудно убедиться, что к моменту времени $\Delta t$ фронт будет представлять собой кривую $M'K'KM$ , где $M'K'$ и $KM$ — касательные к полукружности радиуса $u \cdot \Delta t$ . с центром в точке $A$ . Эти касательные составляют с берегом угол $\alpha$ такой, что $\sin \alpha = u/v$ . (Возбше фронт будет представлять собой кривую $M'K'KM$ идуг окружности радиуса $AM$ ( $AM'$ ) с центром в точке $A$ , лежащей на берегу. Но нас интересует только та часть фронта, которая лежит в области «река». В любой другой момент времени фронт будет подобен построению нами фронту $M'K'KM$ .

Тепер пойнято, как найти оптимальный траекторию попадания (то есть траекторию попадания за наименьшее время) из точки $A$ в точку $B$ реки, находящую на расстоянии $h$ от берега. Эта траектория будет представлять собой ломанную ACB (см. рис. 5), отрезок CB которого перpendикулярен фронту, проходящему через точку $B$ . Точка $C$ — та точка берега, из которой малый должен начать плавить. Если расстояние вдоль берега от точки $A$ до точки $B$ равно $|AD| = l$ , то $|AC| = |AD| - |CD| = l - h$ тg $\alpha = l - h \frac{u}{\sqrt{v^2 - u^2}}$ .

Тепер учтем, что, по условию задачи, скорость течение реки $w \neq 0$ . Как будет выглядеть фронт через время $\Delta t$ от начала движения? Очевидно, что точка $M$ фронта (см. рис. 5) останется на месте; центр полукружности радиуса $u \cdot \Delta t$ сместится от точки $A$ влево (по направлению $w$ ) на расстояние $|AO| = w \cdot \Delta t$ . Фронт в области «река» будет представлять собой кривую $M'N'NM$ (на рисунке 6 показана часть NM фронта); касательная $MN$ составляет с берегом угол $\alpha_1$ такой, что

$\sin \alpha_1 = u/(w + v).$

По существу построение точек участка $MN$ фронта мы разбиваем на два этапа: для каждой точки $M_i$ берега, в которой малый оказывается через время $\Delta t_i$ , мы строим «вспомогательный фронт» — границу той области реки, в которой малый может оказаться через время $\Delta t - \Delta t_i$ . Эта граница — полукружность радиуса $u \cdot (\Delta t - \Delta t_i)$ с центром в точке $M_i$ . Затем мы смещаем эти полукружности влево (по направлению $w$ ) на расстояние, равное $w \cdot (\Delta t - \Delta t_i)$ . касательная ко всем таким смещенным полукружностям и есть участок $MN$ фронта.

Следовательно, чтобы попасть из точки $A$ в точку $B$ за наименьшее время, малый должен плавить из той точки $C_1$ берега, которая находится справа от точки $C$ (см. рис. 6) на расстоянии $|CC_1| = w\tau$ , где $\tau$ — время, в течение которого малый будет плавить. (Понятно, что отрезок $C_1B$ оптимальный траектории должен быть параллелен отрезку $AN$ .) Расстояние между точками $A$ и $C_1$ равно

$x = |AC_1| = |AD| + |DC_1| = l + |DC_1|.$

Найдем длину отрезка $DC_1$ :

$|DC_1| = |CC_1| - |CD| = w\tau - h \ tg \alpha_1;$

из $\Delta BDC$ находится

$\frac{h}{u\tau} = \cos \alpha_1 \Rightarrow \tau = \frac{h}{u \cos \alpha_1} =$

$= \frac{h}{u} \frac{(w + v)}{\sqrt{(w + v)^2 - u^2}}$

(напомним, что $\sin \alpha_1 = u/(w + v)$ $\cos \alpha_1 = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha_1}$ ); таким образом

$|DC_1| = \frac{hw}{u \cos \alpha_1} - \frac{h \sin \alpha_1}{\cos \alpha_1} =$

$= \frac{h(w^2 - u^2 + wv)}{u \sqrt{(w + v)^2 - u^2}}.$

Итак, чтобы добраться до бакена $B$ за наименьшее время, малый должен плавить из точки $C_1$ , на расстоянии

$x = l + h \frac{(w^2 - u^2 + wv)}{u \sqrt{(w + v)^2 - u^2}}.$

Рассмотренный нами метод решения кinemатической задачи путем построения фронта всевозможных перемещений основывается на хорошо известной физической картине распространения возможностей в среде; фронт при этом является реальной границы той области, куда должно возмущение к данному моменту времени. Нетрудно видеть, что при отискании оптимальных траекторий мы воспользовались теоной взаимосвязью, существующей между фронтом и лучами, а именно тем фактом, что луч является линейной, по которой возмущение распространяется за наименьшее время. Приципип построения фронта, которой мы предложили, является ни чем иным, как приципипом Гойгена — методом построения фронта распространения волнового возможения.