Задачи

35

Задания

1. Число $\bar{ab}$ ($a>b, b\neq0$) такое, что разность $\bar{ab}-\bar{ba}$ — точный квадрат. Найдите все двузначные числа, обладающие этим свойством.

А существуют ли трехзначные числа с аналогичным свойством: $abc-cba$ ($a>c$) — точный квадрат?

2. В ребрах, изображенных на рисунке (по-англійски two — это два, six — шесть, twelve — двенадцать), одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным — разные. Звездочки могут быть любыми цифрами. Расшифруйте эти ребрысы.

3. У Тани и Наташи, взятых вместе, волос на голове на 40 большие, чем у Пети и Васи, а у Тани и Пети — на 20 большие, чем у Наташи и Васи. «Если бы у меня,— подумал Иван Иванович, их сосед,— выросло столько волос, сколько их у Тани, а потом еще три раза по столько, сколько у Пети, то их у меня стало бы столько, сколько у Васи и трех Наташ, вместе взятых». Какого цвета волосы у Ивана Ивановича?

4. В каждой клетке квадрата $5\times5$ сидит либо котенок, либо кошка (на рисунке котята — черные, а кошки — белые). Если на прямой между двумя котятами находится кошка, то котята не видят друг друга. Какое наиболее количество котят можно расположить в клетках квадрата так, чтобы ни один котенок не видел остальных котят?

Эти задания нам предложили
Ф. Бартенев, Э. Рекстин,
С. Сефибеков, Д. Фукс