Плоскость в пространстве

38

Плокость в пространстве

В § 45 пособия «Геометрия 9—10» доказывается, что график любого уравнения первой степени*) $ax+by+cz+d=0$ есть плоскость, перpendикулярная вектор с координатами $(a; b; c)$.

Отсюда вытекает, что плоскости, заданные уравнениями

$$a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0 \quad (1)$$
$$a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0 \quad (2)$$

паралельны тогда и только тогда, когда существует такое $\lambda$, что $a_2=\lambda a_1$, $b_2=\lambda b_1$, $c_2=\lambda c_1$.

Очевидно, плоскости с уравнениями (1), (2) совпадают тогда и только тогда, когда существует такое $\lambda$, что $a_2=\lambda a_1$, $b_2=\lambda b_1$, $c_2=\lambda c_1$, $d_2=\lambda d_1$.

Подчерком еще раз. Переход от уравнения первой степени к плоскости (его графику) однозначен: каждое уравнение первой степени является графиком единственной, выполняет определенной плоскости. (Позному говорят «плоскость с уравнениям $ax+by+cz+d=0$» или даже «плоскость $ax+by+cz+d=0$».) Обратный же переход — от плоскости (в координатном пространстве) к уравнению — совсем не однозначен: каждая плоскость может быть задана бесконечным множество уравнений; если плоскость $\Delta$ является графиком уравне-

пия $ax+by+cz+d=0$, то она является также графиком любого уравнения $(\lambda a)x+(\lambda b)y+(\lambda c)z+(\lambda d)=0$. Каждое из этих уравнений называется уравнением плоскости $\Delta$.

В том же параграфе пособия доказывается, что в координатном пространстве каждой плоскость есть график неокоторого уравнения первого степени.

В частности, уравнение плоскости, проходящей через точку $M(x_1; y_1; z_1)$ и перpendикулярной (ненульевому) вектору $\vec{n}=(a; b; c)$, имеет вид $a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0$.

Если решение задачи 28 к тому же параграфу, изложенное в пособии, повторить «в обшем виде», мы получим, что расстояние от точки $K(x_0; y_0; z_0)$ до плоскости $ax+by+cz+d=0$ равно

$$\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.$$

Задача 1 (МГМИ, 1981). Составьте уравнение плоскости, перpendикулярной оси $Ox$, перpendикулярная вектор с координатами $(1; 0; 0)$. Поэтому искomme уравнение имеет вид $1(x-3)+0(y-2)+0(z-4)=0$ или $x-3=0$, $x=3$. Впрочем, последнюю форму ответа можно сообщить и непредставенно.

Задача 2 (МИЭТ, 1981). Найдите расстояние между паралельными плоскостями $x-y+2z-4=0$ и $x-y+2z-10=0$.

Искomme расстояние равно, очевидно, расстоянию от произвольной точки плоскости $x-y+2z-4=0$, например от точки $K(0; 0; 2)$, до плоскости $x-y+2z-10=0$. По готовой формуле получаем ответ $\sqrt{6}$.

Задача 3 (МИИВТ, 1980). Найдите уравнение плоскости, проходящей через точки $M(0; 1; 0)$, $N(1; 1; 1)$ и $K(0; 0; 1)$.

Пусть $ax+by+cz+d=0$ — искomme уравнение. Подставив в него координаты точки $M, N, K$, получаем систему трех уравнений с четырьмя

39

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

нензвестными:

$$\begin{cases} b+d=0 \\ a+b+c+d=0 \\ c+d=0 \end{cases}$$

Отсюда $b=-d, c=-d, a=d$. Значит, искомое уравнение имеет вид $dx-dy-dz+d=0$ или (поскольку $a, b$ и $c$ одновременно не равны $0, d \neq 0$) $x-y-z+1=0$.

Задча 4 (МГМИ, 1981). Составьте уравнение плоскости, проходящей через Ox и точку M(3; 2; 4).

Плоскость, проходящая через Ox, содержит, например, точки (1; 0; 0) и (2; 0; 0) — задача свелась к предыдущей. Можно, впрочем, и сразу сообщить, что уравнение плоскости, проходящей через Ox, имеет вид $by+cz=0$.

Задча 5 (МИФИ, 1978). Точка A(1; 0; 3), B(-1; 3; 4) и C(1; 2; 1) принадлежат плоскости α. При каком значении k точка M(k; 2; 5) тоже принадлежит плоскости α?

Находим уравнение плоскости ABC (задча 3) и подставляем в него координаты точки M. Несколько короче, пользовясь компланарностью векторов $\vec{AB}, \vec{AC}$ и $\vec{AM}$, разложить вектор $\vec{AM}$ по векторам $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$: $\vec{AM}=\mu \vec{AB}+\nu \vec{AC}$; переписав это векторное равенство в координатной форме, получим систему трех уравнений с третья переменными μ, ν, k.

Задча 6 (МИХМ, 1981). Найдите уелем между плоскостями $-3y+z+2=0$ и $2y+z-5=0$.

Искомый угол α мы найдем при помощи угла β между векторами, перpendикularными к данным плоскостям. Углы α и β могут не совпадать. По определению («Геометрия 9—10», § 38) $0^\circ \leq \alpha \leq 90^\circ$. Угол же β между векторами по определению («Геометрия 9—10», § 24) заключен между $0^\circ$ и $180^\circ$. Очевидно (рис. 1), $\alpha=\beta$ или $\alpha=180^\circ-\beta$. Поэтому $\cos \alpha=|\cos \beta|$.

Задча 7 (МИСИС, 1980). Найдите уелем между плоскостью, проходящей через точки A(0; 0; 0), B(1; 1; 1) и C(3; 2; 1), и плоскостью, проходящей через точки A(0; 0; 0), B(1; 1; 1) и D(3; 1; 2).

Сначала находим уравнение плоскостей ABC и ABD (задча 3), затем — уелем ними (задча 5).

Задча 8 (МИИВТ, 1981). Вправильно четырехуровленной признаме отношение длины бокового ребра и стороны основания равно 2. Найдите уелем диагональю BD$_1$ признамы и плоскостью BC$_1$D.

Введем систему координат, как показано на рис. 2, и положим $|AB|=a$. Далее последовательно находим координаты точки B, C$_1$ и D, уравнение плоскости BC$_1$D (задча 3), координаты точки D$_1$ и вектора $\vec{BD}_1$.