36
Ф. Бартенев
Кантование кубика
Природа говорит языком математики. Даже бросание игralной кости или общного детского кубика tant в себе немало математических неожиданностей. Но чтобы научиться читать книгу природы, нужно не только смотреть, но и наблюдать. Однако и этого мало: нужно научиться экспериментировать.
Для опытов с кубиком нам потребуется «квадратная сетка» — лист бумаги, разграфленный на квадраты, равные граным кубика. По квадратной сетке мы будем катать наш кубик.
сетки, которые образуют головой многоугольник, показанный на рис. 1. Проверьте экспериментом, что при этом каждая грань косется сетки по одному разу, и поэтому головой многоугольник является разверткой кубика.
Нетрудно показать, что ломанная MNKLHT тоже определяит развертку кубика, но отличшуюся от первого.
Задача 1. Используя кантование, найдите опытным путем еще две развертки кубика, отличные от указанных на рисунке 1.
Задача 2. На рисунке 2 изображена одна и та же церральная часть в двух различных положениях. Какая ее грань содержит четверку?
Задача 3. Итераная часть на нижнем левом поле сетки 3×10 (3 стольца из 10 клеток) в таком начальном по-
Кубик вырисовывает свою развертку
Положим кубик на квадрат с центром M (рис. 1); а затем повернем кубик на 90° вокруг его ребра AB, совпадающего со стороны квадрата сетки. Кубик лежет новый грань на квадрат с центром N. Этот поворот (кантование) можно задать стрелкой MN. Выполним пять последовательных кантований, определяемых ломанной MNRSPQ. При перемещении кубик сорриchetся последовательно с шестю квадратами
Рис. 1.
37
Рис. 2.
ложения, как на рисунке 2, а. Может ли кость обойти все поля сетки, если запрещается класс граны с тройкой на какое-либо ее поле?
Кубик раскрашивает плоскость
Обратимся теперь к кубикам с разноцветными гранями. Будем считать, что каждая грань кубика окружает в соответствии цвет то поле сетки, с которым она соприкасается. На каждом квадрате кубик разрешается пользовать только один раз. Разберем теперь такую задачу: может ли кубик с разноцветными гранями кантованцем раскрашить сетку 4×4 так, чтобы на ней не было двух однозначных соседних квадратов?
Особенности рассматриваемых ситуаций легче всего выявить опитным путем, рассматривая вначале сетки меньших размеров.
При обходе сетки 2×2 первый и последний квадраты всегда будут и соседними и однозначными. Значит, при кантованнии нельзя делать «крутыше» повороты типа RNKL (рис. 1). Но без таких «крутых» поворотные нельзя обойти сетку 3×3, а также сетку 4×4. Значит, требуемую раскраску получить нельзя.
Задча 4. Решите предыдущую задачу для сетки 5×5.
Задча 5. Может ли кубик с разноцветными гранями кантованцем обойти все клетки сетки 4×5 так, что сетка оказывается раскрашенной только в пять цветов?
Катаем игralhyю кость
Рассмотрим несколько задач, в которых речь вновь будет идти об игralhyю кости, изображенной на рисунке 2. Условия о правилах, по которым будет кантовать кость (кубик). Договоримся, что в каждом случае кость находится в начальном положении, представленном на рисунке 2,a; кость можно кантовать только вправо и вверх; на каждом поле сетки кость может находиться только один раз.
Начнем с такого примера: церальная кость в своем начальном положении находится на левом нижнем поле сетки 4×4; Может ли перекантовать ее по нашим правилам в верхнее правое угловое поле так, чтобы кость лежала на нем гранью, содержащей тройку (рис. 3)?
И в этом случае целесообразно вначале раскрашивать сетки 2×2 и 3×3. Обыт показет, что гранью, содержащей тройку, кубик будет соприкасаться только с теми квадратами, которые расположены на третий вертикали или третьей горизонтали, считая сизу. Естественно, что нужно дать отрицательный ответ на вопрос задачи.
Разберем последний пример с игralhyю костью: снова, как на рисунке 3, имеется квадрата сетка 4×4, на левом нижнем квадрате которой лежит кубик; сколькими различными способами кубик можно перекантовать на каждое поле сетки (по нашим правилам)?
Прежде чем смотреть ответ на рисунке 4, пожершиментурийте с кубиком. Подметили ли вы закономерность, указанную на этом рисунке: число в каждом поле равно сумме (двух) чисел, расположенных непосредственно под и непосредственно слева от этого поля?
Задча 6. Иеральная кость находится в начальном положении на нижнем поле сетки 4×4. На какие поля сетки можно перекантовать ее так, чтобы она вновь находилась в начальном положении? Решите задачу для сетки 5×5.