Máy bay trong không gian

38

Độ phẳng trong không gian

Trong § 45 của sách giáo khoa “Hình học 9-10” đã chứng minh rằng đồ thị của bất kỳ phương trình bậc một*) $ax+by+cz+d=0$ là mặt phẳng vuông góc với vectơ có tọa độ $(a; b; c)$.

Theo sau đó các mặt phẳng được xác định bởi các phương trình

$$a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0 \quad (1)$$
$$a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0 \quad (2)$$

song song khi và chỉ khi tồn tại $\lambda$ sao cho $a_2=\lambda a_1$, $b_2=\lambda b_1$, $c_2=\lambda c_1$.

Rõ ràng, các mặt phẳng có phương trình (1), (2) trùng nhau khi và chỉ khi tồn tại một $\lambda$ sao cho $a_2=\lambda a_1$, $b_2=\lambda b_1$, $c_2=\lambda c_1$, $d_2=\lambda d_1$.

Gạch dưới một lần nữa. Sự chuyển đổi từ phương trình bậc một sang mặt phẳng (đồ thị của nó) là không rõ ràng: mỗi phương trình bậc một là đồ thị của một mặt phẳng duy nhất thỏa mãn một mặt phẳng nhất định. (Người ta nói “một mặt phẳng có phương trình $ax+by+cz+d=0$” hoặc thậm chí là “một mặt phẳng $ax+by+cz+d=0$”.) Sự chuyển đổi ngược lại - từ một mặt phẳng (trong không gian tọa độ) sang một phương trình - hoàn toàn không rõ ràng: mỗi mặt phẳng có thể được cho một tập vô hạn các phương trình; nếu mặt phẳng $\Delta$ là đồ thị của phương trình

py $ax+by+cz+d=0$ thì nó cũng là đồ thị của bất kỳ phương trình $(\lambda a)x+(\lambda b)y+(\lambda c)z+(\lambda d)=0$ nào. Mỗi phương trình này được gọi là phương trình mặt phẳng $\Delta$.

Trong cùng một đoạn của sách hướng dẫn, người ta đã chứng minh rằng trong không gian tọa độ của mỗi mặt phẳng có đồ thị của một phương trình bậc một nhất định.

Cụ thể, phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M(x_1; y_1; z_1)$ và vuông góc với vectơ (khác 0) $\vec{n}=(a; b; c)$ là $a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0$.

Nếu lời giải bài toán 28 của cùng một đoạn được nêu trong sách hướng dẫn được lặp lại “ở dạng tổng quát”, chúng ta thu được rằng khoảng cách từ điểm $K(x_0; y_0; z_0)$ đến mặt phẳng $ax+by+cz+d=0$ là

$$\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.$$

Bài toán 1 (MGMI, 1981). Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$, vuông góc với vectơ có tọa độ $(1; 0; 0)$. Do đó, phương trình cần có dạng $1(x-3)+0(y-2)+0(z-4)=0$ hoặc $x-3=0$, $x=3$. Tuy nhiên, biểu mẫu cuối cùng đáp số cũng có thể được báo cáo là không thể hiện được.

Bài toán 2 (Miệt, 1981). Tìm khoảng cách giữa các mặt phẳng song song $x-y+2z-4=0$ và $x-y+2z-10=0$.

Khoảng cách cần thiết rõ ràng bằng khoảng cách từ một điểm tùy ý của mặt phẳng $x-y+2z-4=0$, ví dụ từ điểm $K(0; 0; 2)$, đến mặt phẳng $x-y+2z-10=0$. Sử dụng công thức đã hoàn thành, chúng ta nhận được đáp số $\sqrt{6}$.

Bài toán 3 (MIIVT, 1980). Tìm phương trình mặt phẳng đi qua các điểm $M(0; 1; 0)$, $N(1; 1; 1)$ và $K(0; 0; 1)$.

Đặt $ax+by+cz+d=0$ là phương trình ban đầu. Thay tọa độ của điểm $M, N, K$ vào đó, ta thu được hệ ba phương trình với bốn

39

Hình 1.

Hình 2.

Hình 3.

chưa biết:

$$\begin{cases} b+d=0 \\ a+b+c+d=0 \\ c+d=0 \end{cases}$$

Do đó $b=-d, c=-d, a=d$. Điều này có nghĩa là phương trình cần có dạng $dx-dy-dz+d=0$ hoặc (vì $a, b$ và $c$ không bằng $0, d \neq 0$ cùng lúc) $x-y-z+1=0$.

Vấn đề 4 (MGMI, 1981). Viết phương trình mặt phẳng đi qua Ox và điểm M(3; 2; 4).

Ví dụ, mặt phẳng đi qua Ox chứa các điểm (1; 0; 0) và (2; 0; 0) - bài toán đã được giảm xuống điểm trước đó. Tuy nhiên, chúng ta có thể nói ngay rằng phương trình mặt phẳng đi qua Ox có dạng $by+cz=0$.

Vấn đề 5 (MEPhI, 1978). Điểm A(1; 0; 3), B(-1; 3; 4) và C(1; 2; 1) thuộc mặt phẳng α. Với giá trị nào của k thì điểm M(k; 2; 5) cũng thuộc mặt phẳng α?

Ta tìm phương trình mặt phẳng ABC (bài 3) rồi thay tọa độ điểm M vào đó. Ngắn hơn một chút, bằng cách sử dụng tính đồng phẳng của các vectơ $\vec{AB}, \vec{AC}$ và $\vec{AM}$, hãy mở rộng vectơ $\vec{AM}$ thành các vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$: $\vec{AM}=\mu \vec{AB}+\nu \vec{AC}$; Viết lại đẳng thức vectơ này dưới dạng tọa độ, chúng ta thu được hệ ba phương trình với các biến thứ ba μ, ν, k.

Vấn đề 6 (MIHM, 1981). Tìm uelem giữa các mặt phẳng $-3y+z+2=0$ và $2y+z-5=0$.

Chúng ta sẽ tìm góc α cần tìm bằng cách sử dụng góc β giữa các vectơ vuông góc với các mặt phẳng này. Góc α và β có thể không trùng nhau. Theo định nghĩa (Hình học 9-10, § 38) $0^\circ \leq \alpha \leq 90^\circ$. Góc β giữa các vectơ, theo định nghĩa (“Hình học 9-10”, § 24), nằm trong khoảng $0^\circ$ và $180^\circ$. Rõ ràng (Hình 1), $\alpha=\beta$ hoặc $\alpha=180^\circ-\beta$. Vì vậy $\cos \alpha=|\cos \beta|$.

Nhiệm vụ 7 (MISIS, 1980). Tìm một mặt phẳng nằm giữa mặt phẳng đi qua các điểm A(0; 0; 0), B(1; 1; 1) và C(3; 2; 1) và mặt phẳng đi qua các điểm A(0; 0; 0), B(1; 1; 1) và D(3; 1; 2).

Đầu tiên, chúng ta tìm phương trình của các mặt phẳng ABC và ABD (bài toán 3), sau đó chúng ta tìm phương trình của chúng (bài toán 5).

Vấn đề 8 (MIIVT, 1981). Đối với một khía bốn cấp bên phải, tỉ số giữa chiều dài của cạnh bên và cạnh đáy bằng 2. Tìm đường chéo BD$_1$ của khía và mặt phẳng BC$_1$D.

Chúng ta hãy giới thiệu một hệ tọa độ, như trong Hình 2 và đặt $|AB|=a$. Tiếp theo, chúng ta lần lượt tìm tọa độ điểm B, C$_1$ và D, phương trình mặt phẳng BC$_1$D (bài toán 3), tọa độ điểm D$_1$ và vectơ $\vec{BD}_1$.