Bài toán M761—M765; F773—F777

33

Bài toán

M761 — M765; F773 — F777

M761. Thông qua một điểm tùy ý $P$ trên cạnh $AC$ của tam giác $ABC$, song song với các đường trung tuyến $AK$ và $CL$, các đường thẳng lần lượt được vẽ giao nhau với các cạnh $BC$ và $AB$ tại các điểm $E$ và $F$ (Hình 1). Chứng minh rằng các đường trung tuyến $AK$ và $CL$ chia đoạn $EF$ thành ba phần bằng nhau.

E. Gotman

M762. Chứng minh rằng với mọi số dương $a, b, c$ thì bất đẳng thức sau đúng:

$$a + b + c \leq \frac{a^2 + b^2}{2c} + \frac{b^2 + c^2}{2a} + \frac{c^2 + a^2}{2b} \leq \frac{a^3}{bc} + \frac{b^3}{ca} + \frac{c^3}{ab}.$$

M763*. Cho một hình bình hành $ABCD$, khác với hình thoi. Một đường thẳng đối xứng với đường thẳng $AB$ so với đường chéo $AC$ cắt nhau tại điểm $Q$ một đường thẳng đối xứng với đường thẳng $DC$ so với đường chéo $DB$ (Hình 2). Tìm hệ thức $|QA|:|QD|$ nếu biết hệ thức $|AC|:|BD| = k$.

V. Dubrovsky

M764*. Chứng minh rằng mỗi phương trình a) $x^2 + y^3 = z^5$; b) $x^2 + y^3 + z^5 = t^7$ có ​​vô số lời giải số tự nhiên.

O. Mazurov

M765. Cho $B$ là tập hợp hữu hạn các điểm trên mặt phẳng không thuộc cùng một đường thẳng. a) Chứng minh rằng có ba điểm thuộc tập hợp $B$ và đường tròn đi qua chúng không chứa các tập hợp $B$ khác.

b) * Bằng cách tam giác hóa tập hợp $B$, chúng ta xác định một họ các tam giác có tập hợp các đỉnh $B$ không chồng lên nhau và tạo thành một đa giác lồi (có thể thu được tam giác của tập hợp $B$ bằng cách nối các điểm của nó với các đoạn rời rạc, miễn là điều này có thể thực hiện được). Chứng minh rằng với mọi $B$ đều tồn tại một tam giác sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác bất kỳ của tam giác này không chứa các tập hợp $B$ bên trong chính nó. Chỉ định biện pháp thi công

34

của tam giác như vậy.
c) * Chứng minh rằng nếu không có điểm nào của tập hợp $B$ nằm trên cùng một đường tròn thì tam giác mô tả ở đoạn 6) là duy nhất.

F. Vayshtein

F773.*) Trên một mặt phẳng nghiêng gồ ghề có góc nghiêng $\alpha$ là một vật thể được buộc vào một sợi chỉ nhẹ, lỏng. Đầu tự do của sợi chỉ được luồn qua một lỗ nhỏ trên mặt phẳng. Tại thời điểm ban đầu, vật nằm trên một mặt phẳng sao cho sợi dây nằm ngang (Hình 3). Sợi chỉ bắt đầu được kéo ra từ từ; trong trường hợp này, khi nó chạm tới lỗ, vật thể mô tả một nửa vòng tròn. Tìm hệ số ma sát của vật trên mặt phẳng. (10)

F774. Đối với nhiều đuôi, có các giá trị nhiệt độ $T_{\text{tr}}$ và áp suất $p_{\text{tr}}$ tại đó cả ba pha của chất - khí, lỏng và rắn - đều cân bằng với nhau - cái gọi là điểm ba. Đối với nước $T_{\text{tr}} = 0,0075^{\circ}\text{C}$, $p_{\text{tr}} = 4,58$ mm Hg. st; nhiệt độ hóa hơi riêng tại điểm ba là $r = 595,8$ cal/g, nhiệt độ nóng chảy riêng là $\lambda = 79,7$ cal/g. Tìm tính chất cụ thể (sự chuyển đổi cơ bản từ trạng thái rắn sang trạng thái khí) của nước gần điểm ba.

V. Davydov

F775. Ampe đa giới hạn có độ chính xác cao chứa một công tắc riêng biệt được sửa đổi cho từng giới hạn. Ampe bật ở giới hạn 10 mA và nó hiển thị dòng điện $I_1 = 2,95$ mA; khi nó được chuyển sang giới hạn 3 mA, nó hiển thị $I_2 = 2,90$ mA. Cường độ dòng điện trong mạch trước khi kết nối bộ khuếch đại là bao nhiêu? (9)

A. Zilberman

F776. Một ấm đun nước nhỏ được đổ đầy nước ấm ($t_1 = 30^{\circ}\text{C}$) lên trên. Ấm duy trì ở mức 1 độ trong $\tau = 5$ phút. Để tránh ấm bị nguội, nước nóng được nhỏ vào ấm ($t_2 = 45^{\circ}\text{C}$). Khối lượng của một giọt là $m_k = 0,2$ g. Phải nhỏ bao nhiêu giọt mỗi phút vào ấm để nhiệt độ duy trì ở mức $30^{\circ}\text{C}$? Hỏi nước còn lại bao nhiêu độ trong một phút nếu bạn bắt đầu nhỏ giọt vào cốc thứ hai?

Giả sử nhiệt độ của nước trong ấm cân bằng rất nhanh. Nước dư thừa chảy ra khỏi vòi. Ấm đun nước chứa 0,3 lít nước. Nhiệt độ không khí xung quanh $t_0 = 20^{\circ}\text{C}$. (8)

A. Zilberman