Định nghĩa khái niệm và định nghĩa khái niệm

50

V. Nakhshin

Khái niệm định nghĩa và định nghĩa về hiểu

Petya Sharikov đến trường với tư cách là một cô dâu.

• Sao hôm nay cậu ủ rũ thế? - chị gái Tanya hỏi. - Hay bạn đã mang theo một deuce?
  “Ừ,” Petya trả lời. “Dựa trên lịch sử.”
• Tin tức! - Tanya nói. - Nhưng bạn đang chuẩn bị học kế toán?
• Tôi đang chuẩn bị. Và nói chung, tôi biết rõ tài liệu này hơn nhiều bạn trong lớp: thời Trung cổ. Tôi đã đọc rất nhiều sách về điều này.
• Thế tại sao anh ta lại cho cậu điểm kém?
• Tôi không biết! Ivan Mironovich gọi cho tôi và nói: “Và bây giờ Sharikov sẽ xác định khái niệm” chủ nghĩa liên bang “cho chúng tôi.” Tôi nghĩ - anh ấy muốn gì? Định nghĩa có nghĩa là “tìm”…
• Tất nhiên rồi! — Em trai của Petya, Kolya bước vào cuộc trò chuyện. “Hôm nay chúng tôi được hỏi bài toán trong môn toán, nơi chúng tôi phải xác định diện tích của cánh đồng.” Vì vậy - hãy tìm nó.
• Ờ, đó là điều tôi nghĩ.

Và anh bắt đầu nhìn vào bản đồ đất nước nơi có chủ nghĩa liên bang. Tôi cảm thấy có gì đó không ổn. Và giáo viên nói: “Ngồi xuống, Sharikov, bạn không biết gì cả!” Và đã cho nó hai!
“Ồ,” Tanya thông cảm. “Bạn không hiểu rằng “định nghĩa” có nghĩa là “đưa ra một định nghĩa” sao?

• Cảm ơn, tôi đã sống. “Học là học.” “Đi bộ - đi dạo.” Và nếu tôi hỏi bạn “định nghĩa” nghĩa là gì, bạn sẽ nói “định nghĩa” chứ?
• Không, tôi sẽ không nói thế! - Tanya lắc đầu.
  “Và tôi biết,” Sharikov trẻ hơn lại xen vào cuộc trò chuyện. “Bây giờ chúng ta đang học qua tiếng Nga: định nghĩa là thành viên phụ của câu trả lời câu hỏi: câu nào?” cái mà? cái mà? Ví dụ: Tôi bị điểm kém.
• Vậy theo em, cô giáo muốn tìm hiểu xem chủ nghĩa liên bang có những loại gì? Nó có nghĩa là gì - cái nào? Tốt, bằng phẳng, lạc hậu, u ám, bất công? Bạn không bao giờ biết bạn có thể nghĩ ra bao nhiêu định nghĩa! Và liệu tất cả chúng có đúng không?
  “Petya, cậu có nhớ không, hôm kia có một chương trình trên TV tên là “Con người và pháp luật”, và ở đó tòa án nhân dân đã đưa ra “phán quyết riêng”, Kolya chợt nhớ ra.

51

Vâng, tôi biết, đây là lúc họ viết thư để làm việc cho một người có tội nhưng không bị kết án. Nhưng tôi cũng nhớ: giáo viên dạy lớp chúng tôi nói rằng mỗi học sinh trong vườn trường cần được phân công một khu vực làm việc… Vậy trong trường hợp này, chúng ta có nên phân bổ một thứ gì đó không?

Và tôi nhớ bố tôi đã kể về việc ông bắt đầu làm việc tại nhà máy và mức lương của ông được ấn định là 120 rúp. “Quyết tâm” ở đây có nghĩa là đã được xác lập? Bổ nhiệm? Từ lạ! Có rất nhiều ý nghĩa, và tất cả đều khác nhau! Giáo viên muốn gì ở bạn?

Tanya nói:

—Bạn quên rằng một từ có thể có nhiều nghĩa à? Nhân tiện, Petyunya, trong số tất cả các nghĩa của từ “định nghĩa”, bạn không nêu tên một nghĩa nào nữa, cụ thể là: “Định nghĩa là một câu cho biết ý nghĩa của một khái niệm nhất định”. Nhưng đây chính xác là những gì giáo viên mong muốn ở bạn. Anh ấy muốn bạn nói rằng anh ấy sẽ đưa ra khái niệm “chủ nghĩa liên bang”! Và để bạn biết cách thực hiện điều này, trước tiên bạn cần biết “khái niệm” là gì. Bạn có biết điều này không?

“Tôi không biết gì về ý tưởng này,” Petya viết.

• Bỏ chuyện đùa sang một bên đi. Thực tế là từ “khái niệm” trong tiếng Nga cũng có nhiều nghĩa khác nhau, điều này có thể thấy rõ ngay cả từ trí thông minh của bạn. Vậy “khái niệm” là gì?

Cả hai Sharikov đều bắt đầu suy nghĩ. Người trẻ sụt sịt, người lớn thở dài nhưng không ai dám nói gì.

“Nhìn này,” Tanya nói và nhanh chóng vẽ ba hình tam giác khác nhau.

• Cái gì thế này?
• Tam giác!
• Còn cái này?
• Và đây là một hình tam giác.
• Còn cái này?
• Và đây là một hình tam giác.

— Hỏi các bạn: tại sao các bạn lại dùng cùng một từ “tam giác” để gọi những thứ khác nhau như vậy? Giường và kích cỡ của họ khác nhau. Và màu sắc là khác nhau. Và nhìn chung chúng có chút giống nhau!

• Giống như “tại sao”! - cả hai cùng hét lớn. - Đã rõ rồi! Bởi vì chúng đều là hình tam giác!

– Nó không rõ ràng. Tại sao chúng là hình tam giác?

• Đúng, vì chúng có ba góc! - Kolya nói.

Petya nói thêm: “Được hình thành bởi một đường gãy khép kín gồm ba đoạn.

• Trẻ! Hãy làm theo suy nghĩ của bạn. Về mặt tinh thần, bạn đã loại bỏ tất cả các thuộc tính không quan trọng của nhiều đồ vật và để lại, theo ý kiến ​​​​của bạn, những thứ thiết yếu nhất! Đây là cách CONCEPT phát sinh! Đối với cả một lớp đối tượng, thậm chí có thể là vô số đối tượng, các thuộc tính không quan trọng sẽ bị loại bỏ và chỉ còn lại một thuộc tính - thuộc tính chung nhất và thiết yếu nhất! Và chú ý. Trong trường hợp này, khái niệm tam giác “nói chung” nảy sinh, mặc dù về bản chất không có “tam giác nói chung”: mỗi tam giác được vẽ là duy nhất! Vì vậy, các bạn của tôi, hãy điền nó một lần và mãi mãi: bất kỳ khoa học nào cũng bắt đầu chính xác khi các khái niệm nảy sinh trong đó chứ không phải các đối tượng cụ thể.

• Tại sao chúng ta lại thực sự cần đến “khái niệm” đến vậy? Tôi không hiểu.

• Bạn không hiểu sao? Hãy tưởng tượng một chút rằng không có khái niệm nào trong hình học và chúng ta đang xử lý các đối tượng cụ thể. Bạn có biết tổng các góc trong một tam giác là 180° không?

• Ai mà không biết điều này!

“Vậy,” Tanya nói. “Bạn có một hình tam giác cụ thể - bằng gỗ hoặc kim loại.” Bạn áp dụng thước đo góc vào các góc của nó và đảm bảo rằng tổng các góc là 180°. Nhưng đây là của bạn, một cái cụ thể. Và cái còn lại, có hình dạng khác?

• Tôi sẽ đo lại!

• Và cái mới… thứ một nghìn? Phần triệu? Bạn sẽ dành cả cuộc đời để thực hiện những thay đổi này mà vẫn không chứng minh được điều gì. Bạn có thể chắc chắn rằng đối với một triệu đầu tiên, số tiền này sẽ giống nhau không? Không, cho đến khi giả định của bạn được chứng minh. Khi bạn chứng minh định lý này trên lớp trong một bài học hình học, bạn đang ở trong chứng minh của mình.

52

những cái ban đầu không dựa vào một hình tam giác cụ thể được vẽ trên bảng đen bằng phấn! Bạn đã chứng minh định lý này dựa trên các tính chất của khái niệm tam giác, và từ đó chứng minh nó cho từng đại diện của khái niệm này! Thưa anh em, đây chính là lý do tại sao khoa học lại cần đến khái niệm. Họ chỉ đơn giản là tiết kiệm thời gian và công sức của mọi người. Tuy nhiên, “lưu” không phải là từ đúng. Họ là những người biến khoa học thành hiện thực. Có một nhà khoa học vĩ đại như vậy - Henri Poincaré. Người ta hỏi: “Toán học là gì?” và anh ấy trả lời: “Toán học là nghệ thuật gọi những thứ tưởng chừng như khác nhau bằng cùng một từ.”

• Nghệ thuật!
  — Đúng, và các khái niệm không chỉ tồn tại trong toán học. Mỗi khoa học đều có vòng tuần hoàn rõ ràng của riêng nó. Và “định nghĩa” có thể hiểu được và giúp làm chủ vòng tròn này.
  — Định nghĩa này giúp nắm vững các khái niệm như thế nào? - Petya hỏi.
• Đơn giản lắm các bạn ạ. Một ví dụ từ cùng một hình học. Hình vuông là gì?
• Quảng trường? Một hình thoi trong đó tất cả các góc đều vuông.
• Cảm ơn Peter Sharikov. Vậy là bạn đã phát âm được định nghĩa của hình vuông. Vâng, hình thoi là gì?
• Một hình paraallogograph trong đó tất cả các cạnh đều bằng nhau.
• Và một lần nữa - định nghĩa, lần này là hình thoi. Bây giờ hãy xem bạn đã làm điều đó như thế nào. Đầu tiên bạn nói: “Hình vuông là hình thoi”, nghĩa là bạn đã rút gọn khái niệm hình vuông thành khái niệm hình thoi. Hình vuông là trường hợp đặc biệt của hình thoi, vì mọi hình vuông đều là hình thoi, nhưng không phải hình thoi nào cũng là hình vuông. Nếu khái niệm đầu tiên là trường hợp đặc biệt của khái niệm thứ hai, thì nó được gọi là cụ thể cho khái niệm thứ hai và khái niệm thứ hai được gọi là chung cho khái niệm thứ nhất!
• Tôi biết điều đó! Bởi vì trong thực vật học có chi và loài.
• Hoàn toàn đúng! Nhưng hãy tiếp tục lý luận hình học của chúng ta. Trong định nghĩa thứ hai, paraallograph trở thành khái niệm chung, và hình thoi trở thành một khái niệm cụ thể cho nó, nghĩa là ở đây bạn cũng tiếp tục thao tác tương tự: bạn rút gọn khái niệm cụ thể thành khái niệm chung.

Nhưng đó không phải là tất cả! Suy cho cùng, bạn không chỉ nêu ra một khái niệm chung chung. Bạn đã lưu ý trường hợp cụ thể nào của khái niệm chung được thể hiện bằng khái niệm loài. Hình vuông không chỉ là một para-allog mà còn là một para-allog với các cạnh dựng. Phần kết luận? Trong bất kỳ định nghĩa nào về một khái niệm mới, hai thao tác được thực hiện: thứ nhất, chúng tôi chỉ ra khái niệm chung gần nhất, đã biết trước đó và thứ hai, chúng tôi thông báo trường hợp cụ thể nào của khái niệm chung mà khái niệm mới của chúng tôi là*).

• Chà, Tatyana, bạn là người đứng đầu! - Petya Sharikov nói với hệ thống của mình. - Bạn thành thạo nghệ thuật này một cách khéo léo!
  Tanya, sinh viên đại học năm thứ nhất, khiêm tốn nói: “Tôi vẫn đang học, các bạn ạ.
• Tại sao bạn lại nói “khái niệm chung gần nhất?” Làm thế nào để hiểu điều này?
• Bởi vì, chẳng hạn, đối với một hình vuông, không chỉ hình thoi mà còn hình bình hành, hình tứ giác, hình sẽ là hình gốc, nhưng khi đó việc định nghĩa sẽ trở nên cồng kềnh hơn. Ví dụ: một hình vuông được gọi là paraallograph với các góc vuông và các cạnh dựng. Khái niệm chung càng xa thì càng đưa ra nhiều sự khác biệt về loài - điều đó đơn giản là không kinh tế! Bây giờ hãy dành thời gian của bạn, các chàng trai! Dưới đây là một vài cụm từ dành cho bạn. Chúng có phải là định nghĩa không? “Hổ là một con vật.”
  “Không, đây không phải là một định nghĩa,” Petya nói. “Ở đây mọi thứ đều được quy giản thành một khái niệm chung chung, nhưng không chỉ rõ trường hợp cụ thể nào.”
• Phải. Và đây: “Euclid, nhà toán học Hy Lạp cổ đại nổi tiếng, tác giả cuốn Cơ bản.”?
  “Đúng!” các chàng trai kêu lên.
  “Than ôi, không,” Tanya nói. “Định nghĩa chỉ có thể là dado về một người chứ không phải một vật thể cụ thể, ít nhất là một người.” Và đây là một cụm từ khác: “Hà mã là hà mã.”

*) Sinh viên năm nhất Tanya vẫn chưa biết rằng không phải tất cả các định nghĩa đều phù hợp với sơ đồ này - ví dụ, xem «Kvant», 1978, Số 6, tr. 33. (Chú thích của biên tập viên)

53

• Không. Ở đây khái niệm này được thay thế bằng một từ đồng nghĩa, nhưng không bị quy giản thành một từ chung chung.
• Chà, đối với tôi, có vẻ như bạn hiểu mọi thứ. Vậy thì hãy cho tôi biết: mọi khái niệm có thể được đưa ra một định nghĩa không?
  Petya nghĩ:
• Rõ ràng không phải, bằng cách đưa ra một định nghĩa, chúng ta quy giản khái niệm này sang một khái niệm khác, chung chung cho nó. Đổi lại, đối với cái chung này thì có cái chung của riêng nó. Và vân vân, vân vân. Nếu chúng ta xem xét tất cả dữ liệu theo chuỗi định nghĩa, chúng ta sẽ chuyển sang các khái niệm ngày càng tổng quát hơn, mỗi khái niệm đó sẽ được diễn đạt bằng một số từ trong ngôn ngữ. Nếu chúng tôi cho rằng chuỗi định nghĩa này tiếp tục vô tận, thì hóa ra có rất nhiều từ trong ngôn ngữ của cái vô hạn! Nhưng điều đó không đúng. Điều này có nghĩa là sẽ có một điểm dừng ở đâu đó.
• Vâng, bạn đã nghĩ theo cách nguyên bản! Tôi có thể nói rằng bây giờ bạn đã đưa ra một lời giải ngôn ngữ học của một vấn đề tổng quát. Nhưng vấn đề ở đây không phải là những hạn chế của ngôn ngữ mà là sự tồn tại của những khái niệm chung nhất. Hãy quay lại ví dụ về hình vuông. Rốt cuộc, cho đến nay chúng ta mới chỉ đề cập đến hai mắt xích trong chuỗi định nghĩa. Nhưng bạn có thể đi xa hơn. “hình bình hành” là gì?
• Tứ giác có các cặp cạnh đối song song.
• Đi xa hơn, bạn có thể nhận được “hình”, “đường gãy”, “đoạn”, “đường thẳng” và cuối cùng là “điểm”. Ở đây chúng tôi buộc phải ở lại! Đường và điểm là những khái niệm phổ biến nhất trong hình học. Không có khái niệm chung cho họ. Vì thế, chúng không thể được định nghĩa!
• Lạ lùng! Những khái niệm đơn giản và sâu sắc như vậy nhưng không thể đưa ra định nghĩa. Tanyusha, làm sao các nhà toán học biết được điều đó là không thể? Làm thế nào mà chính Euclid đã nghĩ ra điều này?
• Và nhân tiện, Euclid đã cố gắng làm điều này. Trong “Các nguyên tắc” của mình, ông đã viết “Điểm là một cái gì đó không có kích thước” và “Đường thẳng là một đường thẳng có hướng bằng nhau đối với tất cả các điểm của nó”. Euclid rõ ràng coi những cụm từ này là định nghĩa.
• Đợi một chút. Tại sao chúng không phải là định nghĩa?
• Hãy tìm ra nó. Cụm từ đầu tiên không phải là jorsh ở chỗ “that” không phải là khái niệm chung cho một điểm.
• Được rồi. Hoặc có thể chúng tôi sẽ cố gắng cải thiện nó, Petya gợi ý. - Tại sao không thể nói: “Điểm là hình không có kích thước”?
  — Bởi vì bản thân “hình” được định nghĩa là “một tập hợp các điểm”. Nhưng những điểm đó là gì? Và thứ hai: “sự vắng mặt của một điểm” cũng không có chiều kích! Vì vậy, toàn bộ chuyện Libra này thật mơ hồ. Và liên quan đến “định nghĩa” thứ hai - trực tiếp - Felix Klein, một nhà toán học người Đức, đã viết: “Ý nghĩa của nó hoàn toàn mù mờ. Ví dụ, cả một đường tròn và một đường xoắn ốc sẽ nằm gọn trong đó.”
  Petya nói: “Tuy nhiên, đối với tôi, dường như chúng ta có thể đưa ra định nghĩa về một đường thẳng.
• Bằng cách cố gắng! Nhưng tôi phải nói rằng - trước bạn, tôi đã cố gắng làm điều này trong nhiều thế kỷ bằng rất nhiều môn toán. Và mọi nỗ lực của họ đều vô ích. Đó là lý do tại sao điểm và đường thẳng được coi là những khái niệm tổng quát nhất.
• Đây là điều tôi không đồng ý. Suy cho cùng, “thẳng” là trường hợp đặc biệt của đường thẳng phải không?
• Phải. Vì vậy, hãy bắt đầu định nghĩa của bạn: “Đường thẳng là một đường có tính chất thẳng. Không, làm ơn, điều này không tốt - bản thân” tính chất đường thẳng" này nghe giống như một khái niệm chung nhất.
• Tất nhiên rồi.
• Nhưng chờ đã, tôi chưa nói xong. Tại sao chúng ta không thể nói: đường thẳng là một đường thẳng có khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ của nó ngắn hơn độ dài một đoạn của bất kỳ đường thẳng nào khác đi qua cùng hai điểm đó?
• Khoảng cách là gì?
• Khoảng cách là độ dài đoạn thẳng nối hai điểm.
• Đoạn là gì?
• Đoạn thẳng là… một phần của đường thẳng. Vâng, tôi hiểu rồi. “Và nó là gì (Phần kết, xem trang 56)”

56

hàm $g$ âm trên một khoảng nào đó ở bên phải điểm 0 (tại sao?). Nhưng đối với $x$ lớn (như các nhà toán học nói, “về độ phẳng”) $g(x) > 0$. Điều này có nghĩa là ở đâu đó bên phải điểm 0 đa thức $g(x)$ (hàm liên tục!) có nghiệm $x_1$. Vì hàm $g$ là số lẻ nên $g(-x_1) = -g(x_1) = 0$. Vì vậy, đa thức $g(x)$ có nghiệm $x_1, 0, -x_1$, tạo thành một cấp số cộng. Điều này có nghĩa là các nghiệm $a, \beta, \gamma$ của đa thức $f(x)$ đã cho cũng tạo thành một cấp số cộng.

Vì vậy, điều kiện “$g$ là số lẻ và $g'(0) < 0$”, tức là
$$\begin{cases} A = 0 \\ C = 0 \\ B < 0 \end{cases}$$

sự tồn tại của ba nghiệm tạo thành một cấp số cộng là loại trừ như nhau.

Định nghĩa khái niệm và định nghĩa khái niệm

(Để bắt đầu, xem trang 50)

Đây có phải là thẳng không?》 Một câu chuyện cổ tích về một con bò trắng! Nhưng đây là một định nghĩa khác dành cho bạn. Hãy thử điều này: “Đường thẳng là một đường có đặc tính là nếu bạn đặt con ngươi của một mắt lên đó, nó sẽ biểu diễn đôi mắt như một điểm”.

Tanya thế chỗ:
“Bạn thấy đấy, “định nghĩa” của bạn giả định rằng ánh sáng truyền theo đường thẳng - nếu không thì bạn có thể nhìn thấy những điểm khác. Nhưng cái gì là đơn giản? Theo đường thẳng! Và chúng ta lại đang đánh dấu thời gian.

• Vâng, tất cả điều này rất thú vị. Tôi vẫn cố suy nghĩ. Nhưng tại sao giáo viên không bao giờ nói với chúng tôi về tất cả những điều này? Rốt cuộc, tất cả điều này là dễ hiểu!

• Ý bạn là giáo viên nào?

• Tất nhiên là về toán học.

• Nhưng phải chăng tài liệu về định nghĩa, khái niệm chỉ áp dụng cho môn toán? Đây là những câu hỏi có tính chất chung. Mỗi khoa học đều có những khái niệm chung và cụ thể riêng. Vì vậy, tất cả những điều này không thể quy cho bất kỳ môn học nào ở trường! Tài liệu này liên quan đến triết học, đến phần nghiên cứu kiến ​​thức khoa học.

• Tuyệt quá! - Kolya nói. - Bây giờ chúng ta, những nhà triết học, đã biết bất kỳ khoa học nào được xây dựng như thế nào.

• Ồ không, các bạn, các bạn và tôi vẫn còn xa mới có được những kiến ​​thức như vậy. Các khái niệm và định nghĩa là những yếu tố quan trọng của khoa học, nhưng không phải là điều quan trọng nhất trong đó.

• Việc chính là gì? Bằng chứng?

• Không. Cái chính là ý tưởng, phát biểu.

• Cái gì thế này? Hãy nói cho tôi biết, Tanya!

• Nói thêm về chuyện này nhé các chàng trai, vào lúc khác nhé. Tôi bắt đầu nói chuyện với bạn, tôi sợ phải tham dự buổi giảng! Hãy suy nghĩ về cuộc trò chuyện ngày hôm nay. Khái niệm này nằm trong “các định nghĩa khái niệm”, như trong “Những tên cướp Cossacks”! Nó đáng giá, tôi đảm bảo với bạn.