Khi |a + b| = |a| + |b|?

38

Khi
$$|a + \theta| = |a| + |\theta|$$?

L. B. PECHERSKY

Như đã biết (“Đại số và nguyên tắc phân tích 9-10”, đoạn 3),
$$|a| - |b| \leqslant |a+b| \leqslant |a| + |b|$$ (1)

Từ ý nghĩa hình học của mô hình, dễ dàng suy ra rằng $|a+b| = |a| + |b|$ nếu và chỉ khi $a$ và $b$ là các số cùng dấu, chính xác hơn (vì không cấm bất kỳ số nào trong số chúng bằng 0) - khi $a \geqslant 0$ và $b \geqslant 0$ hoặc khi $a \leqslant 0$ và $b \leqslant 0$.

Rõ ràng, tiêu chí đẳng thức được xây dựng có thể được viết như sau:
$$|a+b| = |a| + |b| \Leftrightarrow ab \geqslant 0.$$ (2)

Kể từ đây,
$$|a+b| < |a| + |b| \Leftrightarrow ab < 0.$$

Tiêu chí đẳng thức “ở dạng phức” có giá trị với bất kỳ số hạng nào: $|a_1+a_2+\dots+a_n| = |a_1| + |a_2| + \dots + |a_n|$ khi và chỉ khi $a_1, a_2, \dots, a_n$ là các số cùng dấu (chính xác hơn là khi trong số các số $a_1, a_2, \dots, a_n$ không có số nào khác dấu).

Nhân tiện, câu $|a+b+c| = |a| + |b| + |c| \Leftrightarrow abc \geqslant 0$ là không chính xác (tại sao?).

Ví dụ 1. Giải phương trình
$$|\lg(2x-3) + \lg(4-x^2)| = (3) = |\lg(2x-3)| + |\lg(4-x^2)|.$$

Theo tiêu chí (2) thì phương trình này tương đương với phương trình
$$\lg(2x-3) \cdot \lg(4-x^2) \geqslant 0$$,
đến lượt nó, tương đương với hệ thống
$$\begin{cases} \lg(2x-3) \cdot \lg(4-x^2) \geqslant 0 \\ 2x-3 > 0 \\ 4-x^2 > 0 \end{cases}$$

Vì $\frac{3}{2} < x < 2 \Leftrightarrow 0 < 2x-3 < 1$ nên hệ sau tương đương với hệ
$$\begin{cases} \lg(2x-3) < 0 \\ \lg(4-x^2) \leqslant 0 \\ \frac{3}{2} < x < 2 \end{cases}$$

$$\begin{cases} \frac{3}{2} < x < 2 \\ 0 < 4-x^2 \leqslant 1 \end{cases}$$

$$\begin{cases} \frac{3}{2} < x < 2 \\ x^2 \geqslant 3 \end{cases}$$

$$\begin{cases} \frac{3}{2} < x < 2 \\ x \geqslant \sqrt{3} \end{cases}$$

Đáp số. $[\sqrt{3}; 2]$.

Lời giải bất bình đẳng
$$|\lg(2x-3) + \lg(4-x^2)| < |\lg(2x-3)| + |\lg(4-x^2)|$$

có thể thu được bằng cách loại bỏ $\frac{3}{2}; 2$ [lời giải $[\sqrt{3}; 2]$ khỏi miền định nghĩa của nó (3). Đáp số. $\frac{3}{2}; \sqrt{3}$[.

Ví dụ 2. Giải “phương trình có tham số”
$$|a-2\sin x| + 2|\sin x-\cos x| + |2\cos x-1| = a-1.$$

Với $a < 1$ phương trình này rõ ràng không có nghiệm. Bây giờ hãy $a \geqslant 1$. Bởi vì
$$(a-2\sin x) + 2(\sin x-\cos x) + (2\cos x-1) = a-1,$$

Bạn có thể sử dụng tiêu chí đẳng thức cho ba số hạng. Ngoài ra, vì các phương trình $a-1 \geqslant 0$, lời giải tương đương với hệ
$$\begin{cases} a-2\sin x \geqslant 0 \\ \sin x-\cos x \geqslant 0 \\ 2\cos x-1 \geqslant 0 \end{cases}$$

hay “bộ ba bất bình đẳng”
$$\frac{1}{2} \leqslant \cos x \leqslant \sin x \leqslant \frac{a}{2}.$$

40

Máy tạo tinh thể bất thường

(Để bắt đầu, xem trang 31)
rằng nhiều lỗ tích tụ hơn là bị ném ra ngoài. Điều này sẽ dẫn đến sự gia tăng số lượng lỗ trống trong vùng dao động, nói cách khác, dẫn đến sự gia tăng dao động và sự tràn vào của một số lượng electron tự do bổ sung. Kết quả là, độ sâu của trường nhúng sẽ tăng lên, điều này sẽ làm tăng thêm số lượng lỗ bị bắt, v.v. - tất cả các biến động nói chung sẽ tăng lên. Tuy nhiên, cũng có những nguyên nhân khiến biến động giảm bớt. Trước hết, đây là tính hữu hạn của thời gian sống của điện tử và sự khuếch tán của điện tử và lỗ trống.

Kích thước đặc trưng của một dao động - chiều rộng của nó - không thể nhỏ hơn chiều dài khe hở của các lỗ tự do, tức là khoảng cách mà chúng chiếu ra giữa hai lần bắt trên bẫy. Nếu không, các lỗ sẽ “LET” qua sự dao động mà không bị cuốn vào đó. Mặt khác, các electron phải ở trạng thái tự do chừng nào sự dao động còn xảy ra. Do đó, đối với quá trình đang được xem xét, cả trong không gian và thời gian, có những khoảng đặc trưng xác định khả năng xảy ra bước sóng và chu kỳ của nó.

Lan truyền trong tinh thể, sóng tạo ra các vùng giàu và cạn kiệt chất mang. Khi đến hết mẫu, những vùng này dần biến mất. Kết quả là điện trở của mẫu thay đổi định kỳ và dòng điện dao động trong mạch được quan sát thấy. Đây là cách các rung động được tạo ra trong tinh thể. Vì những dao động này có liên quan đến quá trình tái hợp nên chúng và do đó các sóng do chúng tạo ra được gọi là tái hợp.

Nghiên cứu đặc thù của sóng tái hợp, các nhà khoa học nhận thấy rằng tần số và biên độ của chúng không chỉ phụ thuộc vào đặc điểm của tinh thể tạo ra mà còn phụ thuộc vào các điều kiện bên ngoài - áp suất, nhiệt độ, ánh sáng và sự hiện diện của từ trường. Điều này có nghĩa là một tinh thể như vậy có thể được sử dụng như một bộ chuyển đổi thu nhỏ các ảnh hưởng cơ học, nhiệt, ánh sáng và các ảnh hưởng khác thành tín hiệu điện.